TrAlg2s
.pdf21
|
|
|
|
|
|
Продолжение задачи 2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12 |
|
|
у которых суммы элементов |
B = |
|
|
2 |
4 |
|
−2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
Матрицы 3-го порядка, |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
любого столбца равны нулю |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
−1 |
−4 |
|
|
5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
любой строки и |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13 |
|
|
суммы элементов в обеих |
B = ( |
|
|
3 |
3 |
−3 ) |
|
||||||||||||
|
|
|
Матрицы (2 × |
3), у которых |
|
|
|
|
4 |
7 |
|
8 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
строках одинаковы |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|
|
|
|||||
14 |
|
|
Матрицы, перестановочные с |
МИРЭА |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
матрицей A = |
0 |
0 |
0 |
|
B = |
|
0 |
−1 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
2 |
|
|||||||
15 |
Матрицы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
антиперестановочные с |
B = |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
матрицей A = |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
−1 |
−3 |
|
−2 |
|
||||||||||
16 |
|
Решения матричного уравнения |
( |
|
|
|
|
|
1 ) |
|
||||||||||||
|
|
|
· −1 0 |
|
1 |
( 0 0 0 ) |
|
|
1 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−2 1 −2 |
|
|
|||||||
|
X |
0 0 |
|
−0 = |
0 0 0 |
B = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
Решения матричного уравнения |
( |
|
|
|
|
|
|
|
1 ) |
|
||||||||||
|
|
· |
1 |
|
ÌÃÒÓ( 0 0 0 ) |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
−2 |
|
−1 |
|
|
||||||
|
X |
|
0 |
−0 |
0 |
= |
|
0 0 0 |
B = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Продолжение задачи 2.8
18 |
Матрицы, перестановочные с |
B = |
2 |
|
3 |
0 |
|
|
|||||||||
|
матрицей A = |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
0 1 |
0 |
−2 −2 3 |
|||||||||||
19 |
Матрицы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
перестановочные с |
B = |
0 |
1 |
2 |
|
|||||||||
|
матрицей A = |
|
0 |
1 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
3 |
2 |
0 |
|
||||
20 |
Матрицы, |
|
|
|
|
|
- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||
21 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
ÂÌ |
22 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
22 |
3-го порядка с нулевыми |
BМИРЭА= 1 −1 −2 |
|
||||||||||||||
|
|
антиперестановочные с |
B = −1 |
−2 |
0 |
|
|||||||||||
|
матрицей A = |
|
1 |
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
0 1 |
0 |
−1 |
|
1 2 |
|||||||||
|
Матрицы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−0 |
|
|
|||
|
Кафедраэлементов первой строки |
−2 |
|
||||||||||||||
|
|
антиперестановочные с |
B = |
0 |
0 |
−0 |
|
||||||||||
|
матрицей A = |
|
0 |
1 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
2 |
0 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|||||||
|
Симметричные матрицы |
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ÌÃÒÓ |
|
−1 |
−2 |
|
3 |
|||||||||
|
и третьего столбцов |
|
|
||||||||||||||
|
суммами элементов первого |
|
− |
|
|
− |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
23 |
3-го порядка с нулевой суммой |
B = |
2 |
0 |
−3 |
|
|
||||||||||
|
Кососимметричные матрицы |
|
|
0 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
24 |
Нижнетреугольные матрицы |
|
4 |
2 |
|
0 |
|
|
|||||||||
3-го порядка с нулевым следом |
B = |
|
|
||||||||||||||
|
побочной диагонали |
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
||||||||
|
|
−2 |
5 |
−3 |
|||||||||||||
|
и нулевой суммой элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Продолжение задачи 2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
25 |
Симметричные матрицы 3-го |
B = |
|
|
|
1 |
|
1 |
−0 |
|
|
||||||||
суммы элементов строк, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
порядка, у которых одинаковы |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
а суммы элементов столбцов |
−1 |
−0 |
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
знакочередуются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26 |
Симметричные матрицы 3-го |
B = |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||
суммы элементов столбцов, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
порядка, у которых одинаковы |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
знакочередуются |
|
- |
|
|
|
|||||||||||||
|
а суммы элементов строк |
|
0 |
−21 −1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27 |
порядка, у которых суммa |
МИРЭА |
|
||||||||||||||||
B = |
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
Симметричные матрицы 3-го |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
равна нулю |
|
− |
0 |
|
1 |
−1 |
|
|||||||||||
|
элементов любого столбца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28 |
Кафедра |
B = −1 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
суммы элементов любого |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Матрицы (3 |
× |
2), у которых |
|
|
|
|
|
2 −3 |
|
|
|
|
||||||
|
столбца равны нулю |
|
|
|
−1 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
29 |
Симметричные матрицы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
перестановочные с матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
0 |
1 |
0 |
B = |
1 |
3 |
2 |
|
|
||||||||||
|
A = |
0 0 1 |
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|||||||||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Симметричные матрицы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
антиперестановочные с матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
||||||
|
ÌÃÒÓ0 1 0 |
|
0 |
−0 |
2 |
|
|||||||||||||
|
A = |
0 0 1 |
|
B = |
|
0 |
|
2 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3.1. Линейный оператор C в пространстве |
|
|
åñòü ïî- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
следовательное применение линейных операторов |
A è B. Найти |
|||
|
C? Если да, то описать его геометрическое |
|
b b |
|
матрицы операторов A, B, C в базисе i, j, k. Обратим ли опера- |
||||
|
b b |
b |
|
|
òîð |
•b |
Операторы |
действие. |
|
|
|
|
1Поворот вокруг оси: а) Oz íà 90◦, á) Oz íà 45◦,
|
â) Ox íà 45◦, ã) Ox íà 30◦, ä) Oy íà 90◦, å) Oy íà 60◦. |
|
|||||||||||||||
2 |
Проектирование на плоскость: а) xOy, á) xOz, â) yOz. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
||||
|
Проектирование на ось: а) Ox, á) Oy, â) Oz. |
||||||||||||||||
4 |
|
Отражение относительно плоскости: а) xOy, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
á) xOz, â) yOz. |
МИРЭА |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
Отражение относительно оси: а) Ox, á) Oy, â) Oz. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
Векторное умножение на вектор: а) a = i + j + k, |
||||||||||||||||
|
á) a = i + j − k, â) a = i − j + k, ã) a = i + 2k, |
||||||||||||||||
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ä) a = j − 2k, å) a = 2ÂÌi − j. |
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
Гомотетия с коэффициентом: а) k = 2, á) k = |
1 |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
â) k = −2. |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
• âàð. |
A |
B |
|
• âàð. |
A |
B |
|
|
• âàð. |
A |
B |
|
||||
|
1 |
|
b |
b |
|
2 |
b |
b |
|
|
3 |
b |
b |
|
|
||
|
|
|
1a |
2á |
ÌÃÒÓ |
1â |
|
|
|
3a |
4a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
4a |
7à |
5 |
5a |
3à |
|
|
6 |
6a |
2à |
|
|
|
||
|
7 |
|
7a |
5a |
8 |
1á |
4á |
|
|
9 |
2á |
6á |
|
|
|
||
|
10 |
|
3á |
6â |
11 |
4á |
1ã |
|
|
12 |
5á |
2â |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
13 |
|
4á |
3â |
14 |
7á |
2á |
|
|
15 |
1â |
5á |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
16 |
|
2â |
6ã |
17 |
3â |
7â |
|
|
18 |
4â |
2á |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
19 |
|
5â |
6ä |
20 |
6å |
1ä |
|
|
21 |
7â |
2à |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
Продолжение задачи 3.1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
1ã |
5á |
|
23 |
6ã |
3á |
|
|
24 |
1ä |
4â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
6ä |
3á |
|
26 |
1å |
6å |
|
|
27 |
6å |
4â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
2a |
5á |
|
29 |
4a |
6ä |
|
|
30 |
7a |
1å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.2. Линейный оператор b
A в пространстве V3 геометри- ческих векторов определяется действием отображения α на концы
радиус-векторов точек трехмерного пространства. |
|
|
|
||||||||
1) Найти матрицу линейного оператора A в подходящем2базисе |
|||||||||||
пространства V3, а затем в каноническом базисе i, |
- |
|
|||||||||
j, k. |
|||||||||||
2) В какую точку трехмерного |
пространства переходит точка с |
||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
координатами (1, 0, 0) под действием отображения α? |
|||||||||||
3) Найти An, ãäå A матрица оператора в базисе i, j, k. |
|||||||||||
|
|
ÂÌ |
|
||||||||
|
• âàð. |
Отображение α |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1, 16 |
Отражение относительно плоскости |
|
x + y + z = 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2, 17 |
Поворот на 180◦ вокруг оси x = y = z |
|
||||||||
|
3, 18 |
Проектирование на ось |
|
x = |
y |
|
= z |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4, 19 |
Проектирование на плоскость |
x + y + z = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
|||||
|
5, 20 |
Отражение относительно плоскости |
|
x + y − z = 0 |
|
||||||
|
6, 21 |
Поворот на 180◦ вокруг оси |
x = y = −z |
|
|||||||
|
7, 22 |
Проектирование на ось |
2x = 2y = −z |
|
|||||||
|
8, 23 |
Проектирование на плоскость |
x − y + z = 0 |
|
|||||||
|
|
Кафедра |
|
|
|
||||||
|
9, 24 |
Отражение относительно плоскости |
|
x − y + z = 0 |
|
||||||
|
|
Поворот на 180◦ вокруг оси |
|
|
|
||||||
|
10, 25 |
− x = y = z |
|
||||||||
|
11, 26 |
Проектирование на ось |
|
x = 2y = 2z |
|
||||||
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
||||||
|
12, 27 |
Проектирование на плоскость |
|
− x + y + z = 0 |
|
||||||
|
13, 28 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Отражение относительно плоскости |
− x + y + z = 0 |
|
26
Продолжение задачи 3.2
14, 29 |
Поворот на 180◦ вокруг оси |
x = −y = z |
15, 30 |
Проектирование на плоскость |
x + y − z = 0 |
Задача 3.3. Пусть A матрица оператора A èç задачи 3.2 в каноническом базисе i, j, k. Найдите собственные значения и
собственные векторы матрицы |
A |
. Объясните, как полученный ре- |
|
b |
|
зультат связан с геометрическим действием оператора A. |
||
|
|
2 |
|
|
-b |
3) Найти собственные значения и собственные векторы оператора. Является ли данный оператор оператором простого типа?
Задача 3.4. 1) Какое из перечисленных преобразований является |
|
линейным оператором в пространстве R3? |
|
2) Найти матрицу оператора в каноническом базисе |
|
пространства R3. |
ÂÌ |
|
МИРЭА |
4) Найти ядро оператора.
5) Обратим ли данный оператор? Если да, найти обратный оператор.
• |
|
|
|
Преобразования A, B, C |
|
||||||
1 |
Ax = (4x1 |
2x2 |
x3, x1 + 3xb2 |
x |
|
, |
|
2x2 + 2x3) |
|||
|
b3 |
bx1 |
|||||||||
16 |
bBx = (4 |
− 2x2 |
− x3, |
−x1 + 3x2 |
− x3, x1 |
− 2x2 + 2) |
|||||
|
|
|
|
− |
− |
− |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
− 2x2 + 2x3) |
|
CКафедраxb= (4x1 2x2 − x3, −x1 + 3x2 |
− x3, x1 |
|||||||||
2 |
b |
Ax−= (3x1 + 4, x1 + 3x2, x1 − x2 + 1), |
|||||||||
17 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B bÌÃÒÓ= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1 − x2 + x3), |
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
− |
|
|
||
|
|
Cx |
= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1 |
|
|
x2 + x3) |
|||||
|
|
b |
|
|
|
27
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение задачи 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
Ax = (−x1 − x2 − x3, 4 − x3, −x2 + 4), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
Bxb= (−x1 − x2 − x3, 4x2 − x3, −x2 + 4x3), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Cx = ( x |
1 |
− |
x4 |
− |
|
x |
|
, 4x |
2 − |
x |
|
, |
|
|
|
− |
x2 |
|
+ 4x |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
bAx = (3x1 − x2 − x3, 2x2 + x3, x2 + 2x3), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
|
bBx = (3x1 − 1 − x3, 2 + x3, x2 + 2x3), |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x = (3x2 |
|
− |
x |
2 − |
x |
, 2x |
2 |
+ x3, x |
2 |
+ 2x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Cb |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
|
(3 2x |
2 |
+ x |
|
, x |
1 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
x |
|
, x |
1 |
|
|
2 + x |
), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ax = b |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
3 |
|
|
|
− |
|
|
|
-3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 |
Bxb= (3x1 − 2x2 + x32, −x1 + 2x2 − x3, −x1 − 2x24 + x3), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cx = (3x |
1 |
|
− |
2x |
2 |
+ x |
|
, |
|
|
x |
1 |
|
+ 2x |
2 |
− |
x |
|
|
, |
|
|
|
|
x |
1 |
− |
2x |
2 |
+ x |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6 |
Кафедраb − 1 2 1 − 2 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b Ax = (3x1 |
+ x2 |
|
− |
x3 |
, 2 + 2x2 |
− |
x3, |
|
|
|
− |
2x1 |
|
+ x2 + 4), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
Bxb= (3x1 |
|
+ x2 |
− |
x3, 2x1 + 2x2 |
|
− |
xÂÌ3, 2x1 + x2 + 4x3), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7 |
Cx = (3x + x3 |
|
|
|
|
|
x , 2x + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
x2, |
|
|
|
|
|
2x + x + 4x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
Ax = (2x1− x3, 2x1 + x2 |
|
−x3, |
|
|
|
|
−x1 |
+ 2x3), |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
22 |
|
bBx = (2x1 − x3, 2x1 + x2 − |
МИРЭА1, −x1 + 2), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = (2x4 |
− |
x |
|
|
, 2x |
1 |
+ x2 |
|
− |
|
x |
, |
|
|
|
− |
x |
1 |
|
+ 2x |
3 |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Cb |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8 |
|
bAx = ( |
− |
2x1 + x2, x1 |
− |
2, x1 + x2 + 2), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
23 |
|
Bxb= (−2x1 + x23, x1 − 2x2, −x12 + x2 + 2x3), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Cx = ( 2x + x , x |
|
|
|
|
2x , x + x + 2x ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
bAx = (4x1 |
|
|
− |
x3, x1 + 5 + x3, |
|
|
− |
x1 + 4), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24 |
|
Bxb=ÌÃÒÓ(4x1 − x3, −x1 + 5x2 + x3, −x1 + 4x3), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Cx = |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(4x1 |
|
|
|
|
x3, |
|
|
x1 + 5x2 + x3, x1 + 4x3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение задачи 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
Ax = (4x1 − 3x2 − 7x3, x1 − x3, 3x1 − 3x2 − 6x3), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
bBx = (4x1 − 3 − 7x3, x1 − x3, 3x1 − 3x2 − 6), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Cxb= (4x12 |
|
|
3x2 |
|
|
7x3, x13 − x3, 3x1 − 3x2 − 6x3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
bAx = (4x1− |
|
|
|
5x2−+ 5, 2x1 + 2x3, 2x1 + 1 + x3), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x4, 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
26 |
|
|
|
x = (4x |
1 − |
|
5x |
2 |
+ 5x |
, 2x |
1 |
1 |
|
+ x |
2 |
+ x2), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Cx = (4x |
1 − |
5x |
2 |
+ 5x |
|
, 2x |
1 |
|
+ 2x |
3 |
, 2x |
1 |
+ x |
2 |
|
+ x |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
12 |
|
|
Ax = (3 + 4x |
|
|
|
+ 2x |
|
, |
|
|
x |
|
|
|
− |
|
|
|
МИРЭА |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2-3 |
|
|
|
|||||||||||||||
27 |
|
|
Bxb= (3x1 + 4x2 + 2x3, −x2 − 2x3, 2x1 + 4x2 + 3x3), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Cx = (3x2 |
+ 4x |
2 |
|
+ 2x |
|
, |
|
− |
x3 |
− |
|
2x |
, 2x |
1 |
|
+ 4x |
2 |
+ 3x |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
13 |
|
|
Ax = ( x |
|
|
|
4x + 4x , 2x + 3x + 2x , 2x + 5x ), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 |
b |
|
bBx =−(−x1 |
− 4x2 |
+ 4, 2x1 |
|
+ 3xÂÌ2 + 2x3, 2 + 5x3), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Кафедра− − − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
3 |
− |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Cxb= ( |
x1 − 4x24 + 4x3, 2x1 + 3x2 + 2x32, 2x1 + 5x3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
|
|
b |
|
|
|
−Ax = (4x1 − 2x2 + 2, 4, 3x2 − x3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|
|
|
|
|
Bxb= (4x1 |
|
− 2x2 |
+ 2x32 |
, 4x2, 3x2 − x33), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
линейные |
|
|
|
ÌÃÒÓb R |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
x |
|
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Cx = (4x |
1 |
− |
2x |
2 |
|
+ 2x |
, 4x |
, 3x |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
15 |
|
Ax = ( |
− |
2b+ 2x2 |
− |
|
2x3, 5x1 + 7x2 |
− |
|
3x3, |
|
− |
x1 + 3 + x3), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
30 |
Bxb= (−2x1 + 2x2 − 2x3, −5x1 + 7x2 − 3x3, −x1 + 3x2 + x3), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= ( 2x1 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
2x3, 5x1 + 7x2 |
|
|
|
|
3x3, x1 + 3x2 + x3) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3.5. Пусть Ax = (x |
|
− |
x |
|
, x |
|
, x +x3), Bx = (x2, 2x3, x1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
3. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
операторы в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bb |
|
|
|
|
|
|
|
( b |
|
|
− |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|||||
|
1 |
|
ABx |
|
|
|
2 |
(A2 + 3B)x |
|
3 |
(A2 |
− B)x |
|
||||||||||||||||||
|
|
(Ab |
+ b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|||||||
|
4 |
(A + B2)x |
|
5 |
B2 |
|
|
4A)x |
|
6 |
(2A + 3B2)x |
|
|||||||||||||||||||
|
7 |
|
2 |
|
|
B |
2 |
)x |
|
8 |
(B |
2 |
+ A)x |
|
9 |
|
BAx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
b |
|
11 |
b |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
12 |
b b |
|
|
b |
|
|||||
|
10 |
|
(2A B)x |
|
A(2B A)x |
|
A(Bb+b2A)x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Bc |
|
|
b |
|
|
|
|
|
b b |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
13 |
|
b b |
|
|
|
|
17 |
(b |
|
|
|
|
|
b |
|
18 |
(A b b2B )x |
|
||||||||||||
|
(A |
− |
B)2x |
|
14 |
(B |
|
− |
2A2)x |
|
15 |
|
BA2x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
||||
|
19 |
(2 b − |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
− b |
2 |
|
|||||||||
|
16 |
(3A2 |
− |
|
B)x |
|
|
|
A2 |
+ B)x |
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|||||||||||||
|
|
A(b |
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
МИРЭА |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
− b |
|||||||||||||
|
|
|
B A2)x |
|
20 |
(B3 |
+ A)x |
|
21 |
(B2 |
|
|
2A)x |
||||||||||||||||||
|
25 |
b b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
bb |
|
|
|
|
|
b b |
b |
|||||||||||
|
22 |
|
B + A)x |
|
23 |
|
|
AB2x |
|
24 |
B(B A)x |
||||||||||||||||||||
|
28 |
B b |
|
|
|
|
b |
|
|
26 |
b |
|
b |
|
|
|
|
b |
|
27 |
b |
|
|
b |
|
b |
|||||
|
|
2(A2 + B2)x |
|
B(A |
− |
2B)x |
|
(B |
− |
A + B2)x |
|||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
b b |
− b |
|
|
|
b |
|
|
b |
||||||||
|
|
|
(3A + B)x |
|
29 |
(A + BA B)x |
|
ÂÌ30 (3B + 2A2)x |
|
||||||||||||||||||||||
Задача 3.6. 1) Доказать, что A линейный оператор в простран- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2) Найти его матрицу в |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ñòâå Pn многочленов степени не выше n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каноническом базисе.
3) Существует ли обратный оператор к A? Если да, то найдите
его матрицу в том же базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) Найдите ядро оператора |
A, òî åñòü |
множество |
KerA = |
|
p(t) |
|
|||||||
Pn : (Ap)(t) ≡ 0}. |
|
b |
|
|
|||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
b |
{ |
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
• âàð. |
n |
|
|
(Ap)(t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Кафедра1, 16 2 [(t +b1) · p(t)]′ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2, 17 |
2 |
|
[t |
· |
p(t + 1)]′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3, 18 3 (t + 1) p′(t) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
4, 19 3 |
|
t · p′(t + 1) |
|
|
|
|
|
30
|
Продолжение задачи 3.6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
5, 20 |
3 |
p(t) − p(t + 2) |
|
|||||||||
6, 21 |
|
3 |
3t · p(t) − t2 · p′(t) |
|
||||||||
7, 22 |
|
2 |
(t |
· |
p(t))′ + p′′(t) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8, 23 |
|
3 |
6t · p(t) − t3 · p′′(t) |
|
||||||||
9, 24 |
|
2 |
(t + 1) · p(t + 1) − t · p(t) |
2 |
||||||||
10, 25 |
|
2 |
[(t |
− |
2) |
· |
p(t)]′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11, 26 |
3 |
|
|
|
[t · p′(t)]′ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
− |
|
12, 27 |
2 |
|
[t |
|
p(t |
|
|
МИРЭА |
||||
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
− |
|
|
|
13, 28 3 |
t · p′(t) − p(t + 1) |
|
||||||||||
14, 29 2 |
(t − 2) · p(t − 2) − t · p(t) |
|
||||||||||
15, 30 2 (2t + 1) p(t) + t(1 t)p′(t) |
|
Задача 3.7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей A. Доказать, что это
оператор простого типа, привести его матрицу к диагональному виду (найти матрицу перехода к собственному базису и сделать проверку). Вычислить An для любого n N.
• |
|
|
• |
|
|
|
|
• |
|
|
|
âàð. |
A |
|
âàð. |
|
A |
|
|
âàð. |
|
A |
|
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
( 2 −1 ) 2 ( −4 2 ) |
|
3 |
( |
1 |
2 ) |
|||||
|
4 |
3 |
|
− |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
||||
4 |
( −1 |
2 |
) 5 ( 2 −2 ) |
|
6 |
( −6 |
−2 ) |
||||
|
4 |
5 |
3 |
− |
2 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|