TrAlg2s
.pdf
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение задачи 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(a + 4b, 0, a − b, a) |
|
|
|
4 |
|
(a − b + 3c, −2b, c, a + 2b) |
|
|
|
5 |
|
(−2a, 3a + b, −b, a) |
|
|
|
6 |
|
(a − 2c, b − a, 3b, c) |
|
|
|
7 |
|
(2a + b, a, 3b + a, −2a) |
|
|
|
8 |
|
(b − 2c, −a + b + c, a, −b) |
2 |
|
|
9 |
|
(b, −3a, a − b, 0) |
|
|
|
|
|
- |
||
|
10 |
|
(2b + 2c, −a, b, 2a − c) |
||
|
11 |
|
(a − 2b, b, 0, 2a − b) |
|
|
|
12 |
|
(a, b − a − 3c, 2a + c, 2b) |
|
|
|
13 |
|
(b, −a, 3a + b, 2a + 3b) |
|
|
|
14 |
|
(2a, 2a + b + c, 2b, a − 3c) |
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|
15 |
|
(2b + a, b − 2a, a, 3b) |
|
|
|
|
|
|
||
|
16 |
|
(a + 5c, b − 2a, a + c, −b) |
|
|
|
17 |
|
(−2a, a, 4b + 3a, −b) |
|
|
|
18 |
|
(a + b + c, 3c, a − 2b, a) |
|
|
|
19 |
|
(0, 3b − 2a, a, −4b) |
|
|
|
|
|
МИРЭА |
||
|
20 |
|
(b, −a − c, 2a + b, 3c + a) |
|
|
|
|
|
|||
|
21 |
|
(2a + b, 0, −a − 5b, b) |
|
|
|
22 |
|
(a + 5b − c, 2c, 2a + b, a) |
|
|
|
23 |
|
(2a, −a, 4a, 3b − a) |
|
|
|
24 |
|
(a + b + c, 3a, 2a + b, −2c) |
|
|
|
Кафедра |
|
|
||
|
25 (0, 4b − a, 2a, a − b) |
|
|
||
|
26 |
|
(a − 2b, 5b − c, c, 2a + b) |
|
|
|
27 |
|
(3a − 2b, 0, a, 3b) |
|
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
||
|
28 (5b − c, −a, 2a + b + c, |
3c) |
|
||
|
29 |
|
(2a − 3b, a + 2b, 0, −b) |
|
12
Продолжение задачи 2.2
30 (a + b, −3a + c, 2a − b, 3c)
Задача 2.3. Пусть M p Pn ñ âåùå- ственными коэффициентами, удовлетворяющих указанным усло-
виям. Доказать, что M - линейное подпространство в Pn, найти |
|||||
его базис и размерность. Дополнить базис M до базиса всего про- |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
странства Pn. Найти матрицу перехода от канонического базиса |
|||||
пространства Pn к построенному базису. |
|
|
|||
|
|
|
|
МИРЭА2 |
- |
|
• âàð. |
n |
Условия на p(t) M |
||
|
1 |
3 |
p(−1) = p(1) |
|
|
|
2 |
3 |
p′(−1) = p′(1) |
|
|
|
3 |
3 |
p(−2) = 0 |
|
|
|
Кафедра |
|
|
||
|
4 |
4 |
p(−2) = p(3)ÂÌ= 0 |
|
|
|
5 |
4 |
p(2 − i) = 0 |
|
|
|
6 |
3 |
p′(1) = 0 |
|
|
|
7 |
3 |
p(0) + p′(−1) = 0 |
|
|
|
8 |
4 |
p(i − 1) = 0 |
|
|
|
9 |
4 |
p(t) . (t − 3) |
|
|
|
10 |
3 |
p′′(1) = 0 |
|
|
|
11 |
4 |
p(t) . (t2 + t + 1) |
|
|
|
12 |
3 |
p(1) = p(2) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
3 |
2p(0) + p(1) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
3 |
p(−1) + p(0) + p(1) = 0 |
|
|
|
15 |
3 |
p(0) + p′(2) = 0 |
|
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|||
|
16 3 p(2) = p(−2) |
|
|||
|
17 |
4 |
p(1) = p′′(0) = 0 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Продолжение задачи 2.3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
18 |
|
3 |
p(2) = 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
19 |
|
4 |
p(2) = p′(0) = 0 |
|
||
|
20 |
|
4 |
p(1 + i) = 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
21 |
|
3 |
p′(−1) = 0 |
|
||
|
22 |
|
3 |
p′(0) + p(1) = 0 |
|
||
|
23 |
|
4 |
p(−2 + i) = 0 |
2 |
||
|
|
|
|
p(−1) = p′(−1) = 0 |
|||
|
24 |
|
4 |
- |
|||
|
25 |
|
3 |
p′′(1) + p′ |
(0) = 0 |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
26 |
4 |
|
|
МИРЭА |
|||
p(t) . (t2 + t + 2) |
|
||||||
27 |
3 |
p( 1) + p′′(0) = 0 |
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
28 |
3 |
p(−1) = 2p(0) |
|
||||
29 |
3 |
p( 1) + p′(0) + p(1) = 0 |
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
Кафедра |
|
|
|
||||
30 |
4 |
p′′(0) = p( |
1) = 0 |
|
Задача 2.4. Доказать, что множество матриц M является подпространством в пространстве всех матриц данного размера. Построить базис и найти размерность подпространства M. Прове-
рить, что матрица B принадлежит M и разложить ее по найденному базису.
• |
M − множество матриц |
|
|
|
B |
|
|||||
|
|
указанного вида |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
2b + 2c |
−a |
c ) |
|
( |
0 |
|
2 |
||
|
( |
b |
2a |
− |
|
1 |
− |
3 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
a − 2b |
b |
|
|
( |
−1 |
2 |
|||
|
|
( |
0 |
2a − b ) |
|
|
0 |
4 ) |
|||
3 |
( |
a |
b |
a |
|
3c |
|
( |
3 |
|
2 |
2ÌÃÒÓa + c − 2b− ) |
|
4 |
− |
2 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Продолжение задачи 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
( |
|
b |
|
|
−a |
|
|
|
( |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
3a + b 2a + 3b ) |
|
|
0 7 ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
( |
2a 2a + b + c |
) |
( |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
5 |
2b |
a − 3c |
|
−4 |
−4 ) |
|
|
||||||||||||
|
|
( |
|
a |
|
|
3b |
|
) |
|
( |
−2 |
|
3 ) |
|
|
||||
|
6 |
|
2b + a b |
− 2a |
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a + 5c |
b |
2a |
) |
|
( |
9 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
7 |
( a + c |
|
−b |
|
|
1 |
−3 ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||
|
8 |
( |
−2a |
|
a |
) |
|
( |
|
|
6 3 |
|
|
|||||||
|
|
4b + 3a −b |
|
−5 1 ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
+ b + c 3c |
) |
|
( |
0 |
9 |
|
|
|
||||||||
|
9 |
( aa − 2b a |
|
0 |
−2 ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
Кафедра |
|
ÂÌ0 13 |
|
|
||||||||||||||
|
10 |
|
|
0 |
3b |
− |
2a |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( a |
|
4b ) |
|
( |
− |
2 |
− |
12 ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
( |
|
b −a − c |
) |
( |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
2a + b 3c + a |
− |
3 5 ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
||||||||||||
|
12 |
( |
2a |
|
5b b ) |
|
( 13 2 ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
a + b |
0 |
|
|
|
|
|
− |
8 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( |
|
2a + b |
a |
) |
|
( |
5 3 ) |
|
|
|||||||||
|
13 |
|
a + 5b − c 2c |
|
|
|
|
0 |
−4 |
|
|
|
||||||||
|
14 |
( |
2a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
|
|
|
||
|
|
4a 3b− |
a ) |
|
|
( −4 10 ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( |
a + b + c |
3a |
|
) |
|
( |
|
|
2 3 |
|
|
|
||||||
|
15 |
|
2a + b −2c |
|
−0 2 ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
16 |
( 2a a −b ) |
|
( |
|
|
|
4 |
−1 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
4b |
a |
|
|
|
|
− |
0 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
15
|
|
|
|
Продолжение задачи 2.4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
( |
|
|
c |
|
2a + b |
) |
( |
2 −5 ) |
|
|||||||||
|
17 |
|
|
a − 2b 5b |
− c |
|
|
|
5 |
|
|
−17 |
|
||||||||
|
|
|
( |
|
|
a |
|
|
3b ) |
|
( |
3 |
−3 ) |
|
|||||||
|
18 |
|
|
|
3a |
− |
2b |
|
0 |
|
|
|
|
11 |
|
0 |
|
||||
|
19 |
|
|
|
5b − c |
|
|
|
−a |
|
( |
8 |
|
−2 |
|
||||||
|
|
( 2a + b + c 3c |
) |
|
2 |
9 ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
( |
|
|
0 |
|
|
|
−b |
|
) |
( − |
0 −3 ) |
||||||||
|
20 |
|
2a |
− |
3b a + 2b |
|
|
13 4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||
|
21 |
|
a + b |
− |
3a + c |
|
|
|
1 |
5 |
|
||||||||||
|
( 2a |
− |
b |
|
3c |
|
) |
( −5 |
3 ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
||||
|
|
|
( a |
|
|
|
b |
|
|
) |
|
( |
3 |
|
2 ) |
|
|||||
|
22 |
|
|
|
2a 3b − a |
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||
|
|
Кафедра |
|
ÂÌ5 5 |
|
||||||||||||||||
|
23 |
|
( |
|
|
5b |
c |
− a |
) |
|
|
||||||||||
|
|
|
2a + b |
|
c |
|
|
( −5 |
−2 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
24 |
|
|
|
|
a + 4b |
|
0 |
|
|
|
( |
11 |
0 |
|
||||||
|
|
|
( a |
− |
b |
|
a ) |
|
|
|
4 |
1 ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
||||||||||
|
|
( |
|
− c |
|
|
|
a + 2b ) |
|
( 1 3 ) |
|
||||||||||
|
25 |
|
a |
|
|
b + 3c |
|
|
−2b |
|
− |
0 4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ b |
|
|
( |
4 |
|
7 |
|
||||
|
|
( −2ba 3aa |
|
|
) |
|
1 |
|
−2 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||
|
|
|
( |
|
|
3b |
|
|
c |
|
) |
|
( −9 |
2 ) |
|
||||||
|
27 |
|
|
a |
− |
2c b |
− a |
|
|
−5 |
−2 |
||||||||||
|
28 |
|
|
2a + b |
|
a |
|
|
|
( |
5 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
( 3b + a |
− |
2a ) |
|
0 |
6 ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||
|
|
( |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
) |
|
( |
2 |
|
1 ) |
|
|
|
29 |
|
bÌÃÒÓ− 2c −a + b + c |
|
|
7 |
|
−4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
16
Продолжение задачи 2.4
30 |
( 4ab |
b |
3a |
) |
( |
|
3 |
6 |
−0 |
− |
11 |
0 ) |
|||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
Задача 2.5. Исследовать на линейную независимость систему функций.
• âàð. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1, 16 |
|
|
|
2, cos 4t, |
sin2 2t, |
t (−∞, |
+∞) |
2 |
||||||||||||||||||||||||
2, 17 |
|
|
|
|
e3t, te3t, t2e3t, t (−∞, +∞) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
||||||||||||||
3, 18 |
|
|
|
|
1, ln(4/t2), ln 2t, |
|
t |
(0, +∞)- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, |
π |
|
|
|
|||||||||
4, 19 |
|
|
|
|
|
|
1, tg 2t, |
ctg 2t, |
|
t |
|
4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5, 20 |
|
|
sin 2t, |
sin3 2t, |
sin 6t, |
|
t (−∞, +∞) |
|||||||||||||||||||||||||
6, 21 |
|
|
|
|
|
et, e−t, e2t, t |
|
( |
|
|
, + ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7, 22 |
|
|
1, lg 10t3, lg(100/t2), t (0, +∞) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|||||
8, 23 |
|
|
|
sin 2t, cos 2t, tg 2t, |
|
t |
(− |
|
, |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9, 24 |
|
|
1 |
, |
|
|
t |
|
, |
|
|
1 |
|
|
|
, t (0, +∞) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
t2 + 1 |
t(t2 + 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10, 25 |
|
|
|
|
|
1, e3t, sh 3t, t (−∞, +∞) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11, 26 |
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
cos t, |
cos |
|
t, cos 3t, |
t (−∞, +∞) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||
12, 27 |
|
|
cos(t/2), |
sin(t/2), |
sin t, t (0, |
2 |
) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
13, 28 |
2t |
1 |
, |
t + 2 |
, |
|
2t2 + 3t |
− |
2 |
, t (−2, |
2 |
) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14, 29 |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кафедраe , te , t e , t (−∞, +∞) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
15, 30 |
|
|
1, |
log2 t, |
ln 5t, |
t (0, +∞) |
|
|
|
Задача 2.6*. Доказать, что множество M функций x(t), задан-
17
ных на области D, образует линейное пространство. Найти его базис и размерность.
• âàð. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(α, β, γ, δ любые вещественные числа) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1, 16 |
|
M = {αet + βe2t + γe3t}, t (−∞, +∞) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 17 |
|
M = {α + β cos t + γ sin t + δ cos2 |
|
|
}, t |
[−π, +π] |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3, 18 |
|
M = {αe−t + βtet + (β − α)t2et + γt3et}, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (−∞, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
4, 19 |
|
M = |
|
|
αe−3t + β sh 3t + γe3t + δ |
, t |
|
( |
|
|
, + ) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
−∞-∞ |
|
|||||||||||||
5, 20 |
|
M = {α + β ch 2t + γe2t}, t (−∞, +∞) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
M = { |
α |
|
2t2 |
− |
1 |
}, t (0, 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6, 21 |
|
|
+ β + γt + δ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7, 22 |
|
M = {α |
cos 2t + β sin 2t + γ sin 4t , |
t |
|
|
|
|
|
π |
, |
|
π |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ÂÌ} (−4 4 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
8, 23 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
M = {αe− + β ch t + γ sh t + δ}, t (−∞, +∞) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||
9, 24 |
|
M = {α + β tg 2t + γ ctg 2t}, t (0, |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10, 25 |
|
M = {α ln t + β + γt + δ ln 3t}, t (0, +∞) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
||||||||||||||||||||
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} (− |
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
2 t 3 |
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11, 26 |
|
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
|
, t |
|
|
|
|
|
|
π, |
π |
||||||||||||||
|
M = α cos 2t + β sin 2t + γ tg t + δ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
12, 27 |
|
M = {αe− + (β − α)te− + γt e− + αt e− }, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (−∞, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13, 28 |
|
M = {αe3t + βe−3t + γte3t |
+ δte−3t}, t (−∞, +∞) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
M = { 2t 2t 2 2t |
3 2t |
|
|
} |
|
|
|
( |
|
|
|
|
2 ) |
|
||||||||||||||||
14, 29 |
|
|
|
|
α + β tg2 t + γ sec2 t + δ ctg2 t , |
t |
|
0, |
|
π |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15, 30 |
|
M = {αe |
+ βte + γt e |
+ αt e |
|
}, t (−∞, +∞) |
|
Задача 2.7*. Образует ли линейное пространство заданное мно-
18
жество, в котором определены сумма любых двух элементов x è y и произведение любого элемента x на любое действительное число α?
1, 16. Множество всех векторов пространства V3, координаты ко- торых целые числа; сумма: x + y, произведение αx.
2, 17. Множество всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей Ox, Oy; сумма: x + y, произведение αx.
3, 18. Множество всех векторов пространства |
V3; сумма: [x, y], |
||
произведение αx. |
|
|
|
4, 19. Множество всех векторов пространства V3, лежащих на од- |
|||
ной оси; сумма: x + y, произведение α|x|. |
|
2 |
|
|
- |
||
5, 20. Множество всех функций f(t), |
g(t), принимающих положи- |
||
тельные значения; сумма: (f · g)(t), произведение: f (t). |
|||
6, 21. Множество всех четных функций f(t), |
g(t), заданных на |
||
отрезке [−1, 1]; сумма: (f · g)(t), произведение:ÂÌ(αf)(t). |
|||
7, 22. Множество всех нечетных функций f(t), |
g(t), заданных на |
||
отрезке [−1, 1]; сумма: (f + g)(t), произведение: (αf)(t). |
|||
8, 23. Множество всех линейных функций f(x, y), g(x, y); сумма: |
|||
(f + g)(x, y), произведение: (αf)(x, y). |
|
|
|
9, 24. Множество всех многочленов |
p(t) третьей степени; сумма: |
||
(p + q)(t), произведение: (αp)(t). |
|
МИРЭА |
|
|
|
|
|
10, 25. Множество всех сходящихся последовательностей {un}, |
|||
{vn}; сумма: {un + vn}, произведение: {αun}. |
|
||
11, 26. Множество всех невырожденных матриц A = (aij) порядка |
|||
n; сумма: A + B, произведение: αA. |
|
|
|
Кафедра |
|
|
12, 27. Множество всехÌÃÒÓневырожденных матриц A = (aij) порядка n; сумма: A · B, произведение: αA.
13, 28. Множество Z всех целых чисел; сумма: x+y, произведение:
αx.
19
14, 29. Множество R− всех отрицательных чисел; сумма: −|x|·|y|, произведение: −|x| .
15, 30. Множество R всех действительных чисел; сумма: x ·y, произведение: αx.
Задача 2.8*. Доказать, что множество матриц M является под- |
|||||||||||||||||||||
пространством в пространстве всех матриц данного размера. По- |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
строить базис и найти размерность подпространства |
M. Прове- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
||
рить, что матрица B принадлежит M и разложить ее по найден- |
|||||||||||||||||||||
ному базису. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
• |
|
M − множество матриц |
|
|
B |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
указанного вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
Решения матричного уравнения |
ÂÌB = −3 |
−1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 0 0 |
|
|
X = |
|
0 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 0 2 |
|
· |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решения матричного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
B = |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 2 2 |
· |
X = |
0 |
0 |
−3 |
−1 |
|
|||||||||||||
|
|
−3 −3 −3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
МИРЭА−2 1 |
|
||||||||||
3 |
|
Матрицы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−0 |
3 |
|
|
||||
|
|
матрицейÌÃÒÓA = 0 1 0 |
B = |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
перестановочные |
|
B = |
|
|
−2 |
|
|
|||||||||
|
|
с матрицей A = |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
||||
4 |
|
Матрицы, перестановочные с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 |
|
1 |
−1 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
Продолжение задачи 2.8
5 Матрицы, антиперестановочные |
B = |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|||||
с матрицей A = |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
−1 |
1 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6Матрицы, антиперестановочные
|
с матрицей A = |
0 |
0 |
1 |
|
B = |
|
0 |
−2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
||||||
|
0 0 0 |
|
0 |
−0 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
||||
7 |
3-го порядка с нулевым следом |
МИРЭА0 −0 1 |
||||||||||||||||
Симметричные матрицы |
|
B = |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
||||||||||
|
3-го порядка |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
0 −2 |
−0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ÂÌ |
|
|
|
|
||||||||||||
8 |
Кососимметричные матрицы |
B = 3 |
0 |
−0 |
|
|||||||||||||
|
Кафедра |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
1 |
|
||||||||
|
3-го порядка |
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9 |
Верхнетреугольные матрицы |
B = |
|
0 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
0 |
|
||||||
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10 |
нулевыми суммами элементов |
B = |
|
|
|
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
Матрицы 3-го порядка с |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
диагоналей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
− |
0 |
4 |
−3 |
|||||||||||
|
главной и побочной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
у которых суммы элементов |
B = |
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
Матрицы 3-го порядка, |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
любого столбца одинаковы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− |
1 |
4 |
|
−3 |
|||||||||||||
|
любой строки и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|