Краткий курс математического анализа. Том 1

В качестве примера рассмотрим функцию y = x2/3. Здесь p = 2, q = 3, следовательно, 0 < p/q < 1, и функция определена при всех x.

Всилу сказанного выше ее график (он называется полукубической параболой) имеет вид, изображенный на рис. 28.

Вкачестве второго примера рассмотрим функцию y = x−2/3. Ее график изображен на рис. 29.

3.8. Показательная и логарифмическая функции. У степенной функции y = xα показатель степени постоянен, а основание

степени меняется. Функция, у которой постоянно основание степени, а меняется ее показатель, называется показательной.

Если a < 0, то степень ax имеет смысл не для всех x. В случае a = 0 при x > 0 имеет место равенство 0x ≡ 0. Поэтому под показательной функцией понимается функция y = ax, где a > 0. Она принимает положительные значения при всех значениях x. Если a = 1, то y ≡ 1. При x = 0 показатель-

ная функция ax обращается в 1, так

как a0 = 1. Если a > 1, то функция y = ax возрастает при возрастании ар-

гумента, и, следовательно, при x > 0 выполняется неравенство ax > a0 = 1,

а при x < 0 — неравенство ax < a0 = 1. При неограниченном убывании аргумента показательная функция в этом случае неограниченно приближается

к нулю, а при его неограниченном возрастании также неограниченно возрастает. Если же a < 1, то показательная функция убывает при возрастании ее аргумента; она больше единицы при x < 0, меньше единицы при x > 0 и при неограниченном воз-

растании аргумента неограниченно приближается к нулю, а при его неограниченном убывании неограниченно возрастает (рис. 30).

Если a > 0, a = 1, b > 0, то показатель сте-

пени α, в который надо возвести число a, чтобы

получить число b, называется логарифмом числа b по основанию a и обозначается lna b. Таким

образом,

alna b def= b.

Функция y = lna x, a > 0, a = 1, называется

логарифмической функцией. Она определена при x > 0. Функции y = ax и y = lna x взаимно обрат-

трис первого и третьего координатных углов (рис. 31).

58 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если a > 1, то логарифм lna x положителен при x > 1 и отрицателен при 0 < x < 1, а если 0 < a < 1, то, наоборот, положителен при 0 < x < 1 и отрицателен при x > 1. Если a > 1, то логарифмическая функция y = lna x возрастает, причем при неограниченном возрастании аргумента она неограниченно возрастает, а при неограниченном его приближении к нулю она неограниченно убывает. Если же 0 < a < 1, то логарифмическая функция при возрастании аргумента убывает, причем при его неограниченном возрастании неограниченно убывает, а при его неограниченном приближении к нулю неограниченно возрастает, при любом a > 0, a = 1, имеет место равенство lna 1 = 0.

Логарифмическая функция по основанию 10 обозначается символом lg .

3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. В прямоугольном треугольнике отношение катета, про-

тиволежащего данному углу α треугольника, к гипотенузе называется синусом (sin α) этого угла, а отношение прилежащего катета к гипотенузе — косинусом (cos α) угла α; отношение противолежа-

Для определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в случае произвольного угла α, −∞ < α < +∞, рассмотрим на координатной плоскости переменных x, y окружность радиуса 1 с центром O в начале координат (рис. 33). Обозначим α угол, который образует вектор OA, идущий из начала координат в точку A = (x, y), с положительным направлением оси x, иначе говоря, угол, на который надо повернуть единичный вектор оси x, чтобы он совпал с вектором OA. При этом угол, который получается указанным вращением, считается положительным, если вращение производится против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Таким образом, угол α, который образует вектор OA с осью x, определен с точностью до целого, кратного полному обороту в ту или другую сторону. Следовательно, если α — величина угла в радианной мере, образованного

вектором OA с осью x, то при любом целом n угол α + 2πn также будет углом, образованным этим вектором с осью x.

Если 0 < α < π/2, то согласно дан-

Если α — произвольный угол, −∞ < α < +∞, и OA — единичный вектор с координатами x, y, образующий угол α с осью x, то формулы (3.45) принимаются за определение значений синуса и косинуса этого угла. Из них

Тангенс и котангенс произвольного угла α определяются по формулам

n = 0, ±1, ±2, ...

Таким образом, они определены для всех тех α, для которых знаме-

натели в правых частях равенств (3.47) не обращаются в нуль. Синус, косинус, тангенс и котангенс называются основными три-

гонометрическими функциями. Из их определения следует, что они являются периодическими функциями: при полном обороте (на 360◦ в градусной мере или на 2π в радианной) в том или ином направлении радиус OA займет прежнее положение, т. е. будет иметь те же самые координаты, а следовательно, синус, косинус, тангенс и котангенс примут прежние значения.

Из формул (3.46) и (3.47) следует, что значения тангенса и котангенса будут повторяться и через пол-оборота. Таким образом, синус

икосинус являются периодическими функциями с периодом 2π (мы будем пользоваться для измерения углов безразмерной радианной мерой, в которой угол задается действительным числом), а тангенс

икотангенс — с периодом π. Их графики изображены на рис. 34–37. Обратные функции для основных тригонометрических функций

являются многозначными. Однако если функцию синус рассмотреть на отрезке [−π/2, π/2], косинус — на отрезке [0, π], тангенс — на интервале (−π/2, π/2), а котангенс — на интервале (0, π), то обратные

к ним функции будут уже однозначными и они обозначаются соответственно arcsin x, arccos x, arctg x и arcctg x. Функции arcsin x и arccos x

определены на отрезке [−1, 1], а arctg x и arcctg x — на всей числовой прямой. Их графики изображены на рис. 38–41.

1) график функции f (ax), a > 0, получается сжатием графика f (x) вдоль оси x в a раз («сжатие» с коэффициентом a, 0 < a < 1, является растяжением в 1/a раз);

f (x + b) — переносом па-

раллельно оси x на отрезок длины |b| влево, ес-

ли b > 0, и вправо, если b < 0;

4) график функции kf (x), k > 0, — растяже-

нием вдоль оси y в k раз («растяжение» с коэффициентом k, 0 < k < 1, является сжатием в 1/k раз);

5)график функции −f (x) — преобразованием симметрии относительно оси x;

6)график функции f (x) + l — переносом параллельно оси y на

отрезок длины |l| вверх, если l > 0, и вниз, если l < 0.

Применив эти операции, из графика функции f (x) можно получить график функции

kf (ax + b) + l ≡ kf a x + ab + l, a = 0.

Для этого согласно указанному выше надо последовательно построить графики функций

f (ax), f a x + ab = f (ax + b), kf (ax + b) kf (ax + b) + l

(на рис. 42 схематически изображено построение графика функции kf (ax + b) + l в случае, когда a > 0, b > 0, k > 0, l > 0).

62 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Вместо последовательного построения этих графиков можно сделать преобразование координат: со- ответствующий параллельный пере-

нос, изменение масштабов, а если надо, и ориентации координатных осей. Именно, график самой функции f (x) станет графиком функции kf (ax + b) +

+ l, a = 0, k = 0, если перенести начало

координат в точку b, −kl , увеличить

масштаб по оси x в |a| раз, уменьшить его по оси y в |k| раз и при a < 0, соответственно при k < 0, изменить ориен-

тацию оси x соответственно оси y (рис. 43).

§4. Числовые множества

4.1.Ограниченные и неограниченные множества.

О п р е д е л е н и е 1. Множество X R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для всех x X имеет

место неравенство x b. Число b называется в этом случае числом,

ограничивающим сверху множество X.

Множество X называется ограниченным снизу, если существует

такое число a R, что для всех x X выполняется неравенство x a. Число a называется в этом случае числом, ограничивающим снизу

множество X.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

С помощью логических символов существования и всеобщности определение, например, ограниченного сверху множества можно записать следующим образом:

(здесь двоеточие означает «имеет место» или «выполняется условие»).

Множество, не являющееся ограниченным сверху, называется

неограниченным сверху.

Определение неограниченного сверху множества можно сформулировать и в позитивной форме, т. е. без отрицаний (без частицы «не»), следующим образом; множество X называется неограниченным сверху, если для любого числа b R найдется такой x X, что x > b.

Запишем это определение с помощью логических символов:

Сравнивая определения (4.1) и (4.2), видим, что при построении отрицания символ существования заменился на символ всеобщности, а символ всеобщности — на символ существования. Этим формальным правилом можно пользоваться при построении отрицаний в позитивной форме.

Аналогично, множество, не являющееся ограниченным снизу, называется неограниченным снизу.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

Множество натуральных чисел N является примером ограниченного снизу множества. Если a R и b R, то отрезок [a, b] представляет собой ограниченное множество. Множества рациональных чисел Q, иррациональных чисел I, вообще всех чисел R дают примеры неограниченных множеств.

4.2. Верхняя и нижняя грани.

О п р е д е л е н и е 2. Пусть числовое множество X ограничено

сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X R, называется его верхней гранью и обозначается sup X

или sup x (от латинского слова supremum — наибольший).

x X

Если числовое множество X ограничено снизу, то наибольшее сре-

ди всех чисел, ограничивающих снизу множество X, называется его нижней гранью и обозначается inf X или inf x ( от латинского слова

infinum — наименьший). x X

Итак, β = sup X, если, во-первых, число β ограничивает сверху множество X, т. е. для всех x X выполняется неравенство x β, а во-вторых, число β является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X (т. е. если β < β, то число β уже

не ограничивает сверху множество X, а это означает, что существует такое x X, что x > β ).

Таким образом, определение верхней грани можно перефразировать в следующем виде.

О п р е д е л е н и е 2 . Число β называется верхней гранью числового множества X, если:

1)для любого x X выполняется неравенство x β;

2)для любого β < β существует такой x X, что x > β (рис. 44).

Аналогично, число α называется нижней гранью числового множества X, если:

1) для любого x X выполняется неравенство x α;

64 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2) для любого α > α существует такой x X, что x < α (рис. 45). Если во втором условии положить ε = β − β (соответственно ε = α − α), то это условие можно перефразировать следующим об-

разом:

2 ) для любого ε > 0 существует такой x X, что x > β − ε (соответственно x < α + ε).

П р и м е р. Пусть a R и b R, a b; тогда

sup [a, b] = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) = a.

Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой R, существует наименьший (наибольший) элемент, то он единствен, так как из двух разных элементов множества больший из них не может быть наименьшим элементом, а меньший — наибольшим.

Те о р е м а 1. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Пусть числовое множество A ограничено сверху, A = , а B — множество всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Если a A и b B, то из определения числа, ограничивающего сверху множество, следует, что a b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел (п. 2.1, свойство V) существует такое число β, что для всех a A и всех b B будет выполняться неравенство

a β b. Неравенство

a β, a A,

означает, что число β ограничивает сверху множество A, а неравен-

ство

β b, b B,

— что число β является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Следовательно, β = sup A.

Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.

З а м е ч а н и е 1. Если числовое множество X неограничено сверху, то у него не существует верхней грани в смысле определения 2. В этом случае по определению полагаем, что верхней гранью множества X

является +∞:

sup X def= +∞.