Краткий курс математического анализа. Том 1

50 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Для любых действительных B и C имеем

Рассуждениями, аналогичными проведенным при доказательстве леммы 1, легко убедиться, что дробь

является правильной и что коэффициенты многочленов, стоящих у нее в числителе и знаменателе, являются действительными.

Для того чтобы дробь (3.35) имела вид

необходимо и достаточно, чтобы ее можно было сократить на множитель x2 + px + q = (x − z0)(x − z0), а это можно сделать тогда и только тогда, когда числитель дроби (3.35) делится на (x − z0)(x − z0), что согласно теореме Безу равносильно тому, что число z0 является корнем многочлена, стоящего в числителе дроби (3.35), т. е. когда

P (z0) − (Bz0 + C)Q1(z0) = 0.

Поскольку Q1(z0) = 0, то

Пусть P (z0) = a + bi. Тогда равенство (3.37) можно записать сле-

Q1(z0)

дующим образом:

B(x0 + y0i) + C = a + bi.

Приравняв действительные и мнимые части комплексных чи-

действительными числами, во-вторых, в этом и только этом случае число z0, а следовательно, и сопряженное ему число z0, — корни многочлена (3.37). При таком и только таком выборе чисел B и C дробь (3.35) сократится на (x − z0)(x − z0). В результате в этом и только этом случае после сокращения дроби (3.35) получится дробь

52 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

называются элементарными, поэтому теоремы 1 и 2 называются теоремами о разложении правильных рациональных дробей на сумму элементарных (соответственно в комплексной и действительной областях).

3.6. Графики рациональных функций. График всякого многочлена степени n с действительными коэффициентами пересекает ось x в тех точках, абсциссы которых являются его действительными корнями и тем самым не более чем в n точках, так как он имеет не более чем n корней.

Поведение многочлена при неограниченном возрастании или неограниченном убывании его аргумента зависит от четности степени многочлена и знака при старшем члене. Если n — четное число и коэффициент при старшем члене многочлена больше нуля, то как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании значения многочлена неограниченно возрастают (рис. 15). Если n — нечетное число, то при положительном

коэффициенте при старшем числе многочлена значения многочлена неограниченно растут при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывают при неограниченном его убывании (рис. 16). Если же коэффициент при старшем члене многочлена отрицателен, то при n четном многочлен неограниченно убывает как при неограниченном возрастании, так и при неограниченном убывании

аргумента (рис. 17), а в случае n четного многочлен неограниченно

убывает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно возрастает при неограниченном его убывании (рис. 18).

Если P (x) — многочлен первого порядка:

P (x) = ax + b,

то его графиком является прямая линия. Коэффициент a равен тангенсу угла (см. п. 3.9), который эта прямая образует с осью x, a b равно ординате точки пересечения прямой с осью y (рис. 19).

В случае когда рассматриваемый многочлен является квадратным трехчленом ax2 + bx + c, его график называется параболой.

Поскольку

то график функции y = ax2 + bx + c получается из параболы y = x2

ее переносом на − b параллельно оси x, растяжением в |a| раз вдоль

2a 2

оси x, симметрией относительно оси x при a < 0 и переносом на c − 4ba

параллельно оси y (рис. 20). Из этого следует, что прямая x = −2ba является осью симметрии параболы (3.40), ибо ось y является осью

54 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

где P (x) и Q(x) — многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих действительных корней (если бы нашелся такой корень x0, то дробь (3.41) можно было бы сократить на x − x0), обращается в нуль в тех точках, в которых обращается в нуль ее числитель P (x). При этом если кратность нуля числителя четная, то

функция P (x) не меняет знака в его окрестности, а если нечетная,

Q(x)

то меняет. В окрестности нулей знаменателя значения рациональной функции неограниченно возрастают по абсолютной величине при приближении к указанным нулям.

Если степень числителя рациональной функции (3.41) больше степени ее знаменателя, то при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента она также неограниченно возрастает по абсолютной величине; если степень знаменателя больше степени числителя, то она неограниченно убывает по абсолютной величине; если же степень числителя равна степени знаменателя, то она неограниченно приближается к отношению коэффициентов при старших членах многочленов P (x) и Q(x).

Изучению поведения рациональных функций помогает определение интервалов, на которых рассматриваемая функция (3.41) сохраняет постоянный знак. Все эти соображения полезно использовать при построении графиков рациональных функций.

В качестве примера построим график функции

в окрестности нуля она меняет свой знак, а в окрестности единицы не

√

меняет. В окрестности точек x = −1 и x = ± 2 она неограниченно возрастает по абсолютной величине, причем в точках x = ±√2 меняет свой знак, а в точке x = −1 не меняет.

При неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента функция (3.42) неограниченно приближается к нулю. Интервалы, на которых она положительна или отрицательна, изображены в следующей таблице:

Проведенные рассуждения позволяют установить общий вид графика функции (3.42) (рис. 21). С помощью дальнейшего исследования этой функции ее график можно нарисовать более точно.

3.7. Степенная функция.

Опишем поведение степенной

функции y = xα в случае, когда α — рациональное число (к более подробному изучению степенной функции мы вернемся в дальнейшем; см. п. 8.3).

Рассмотрим сначала функцию y = xn, где n — натураль-

ное число. Эта функция являет-

ся частным случаем многочлена степени n с n-кратным корнем x = 0. Согласно сказанному в п. 3.6 при четном n ее график имеет вид, изображенный на рис. 22, а при нечетном n > 1 — на рис. 23.

Функция y = x1n , где снова n — натуральное число, является рациональной функцией, неограниченно возрастающей при приближении ее аргумента к точке x = 0. Если n — четное число, то ее график имеет вид, изображенный на рис. 24, а если n нечетное, то — на рис. 25.