Краткий курс математического анализа. Том 1

§3. Элементарные функции

3.1.Числовые функции. Если функции принимают числовые значения (такие функции называются числовыми или скалярными),

то над ними можно производить арифметические операции. Пусть даны две функции f : X → Y и g : X → Y , где X — произвольное множество, а Y — подмножество множества комплексных чисел C (в частности, действительных чисел R); тогда значения суммы f + g,

разности f − g, произведения f g и частного fg функций f и g по определению в каждой точке x X задаются следующими формулами:

Конечно, в последней формуле предполагается, что для всех x X выполняется неравенство g(x) = 0.

Функция f , заданная на подмножестве X числовой прямой, называется периодической с периодом T > 0, если для любого x X

выполняются условия

Значение функции f в точке x0 называется наибольшим, если для всех точек x X выполняется неравенство f (x) f (x0), и наимень-

шим, если имеет место неравенство f (x) f (x0).

Если функция f задана на подмножестве X числовой оси и принимает действительные значения, то ее графиком называется множество

на координатной плоскости, состоящее из всех точек вида (x, f (x)), x X (координатной плоскостью называется плоскость, на которой

задана некоторая прямоугольная декартова система координат).

40 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если функция y = f (x) и y = g(x) взаимно обратны: g = f −1, то их графики симметричны относительно биссектрис первого и третьего координатных углов (эти биссектрисы, очевидно, составляют прямую линию).

В ближайших параграфах будут рассматриваться только функции, у которых как их значения, так и значения их аргументов являются действительными числами (если, конечно, не будет специально оговорено что-либо другое).

3.2. Понятие элементарной функции. Функции:

постоянная y = c (c — константа); степенная y = xα, α R; показательная y = ax, a > 0;

логарифмическая y = lna x, a > 0, a = 1; тригонометрические y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;

обратные тригонометрические y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x и y = arcctg x

называются основными элементарными функциями.

Всякая функция f , которая может быть задана с помощью формулы y = f (x), содержащей лишь конечное множество арифметических

операций над основными элементарными функциями и композиций, называется элементарной функцией.

В множестве элементарных функций выделяются следующие

классы.

1. Многочлены (полиномы), или, подробнее, алгебраические мно-

Многочлены определены на всей числовой оси.

Если an = 0, то целое неотрицательное число n называется степенью многочлена P (x). Функция, тождественно равная нулю, явля-

ется в силу данного определения многочленом, который называется нулевым многочленом. Степень многочленов обладает тем свойством,

что при перемножении ненулевых многочленов степень произведения равна сумме степеней сомножителей (см. п. 3.3 ). Чтобы это свойство сохранялось и при умножении на нулевой многочлен, степенью нулевого многочлена называется минус бесконечность (−∞). По опре-

делению полагается, что сумма −∞ и любого числа снова равна

−∞ : −∞ + x def= x + (−∞) def= −∞, x R, и −∞ + (−∞) def= −∞.

Напомним еще (см. (2.2)), что −∞ меньше любого числа x : −∞ < x.

2. Рациональные функции (рациональные дроби) — функции f (x),

представимые в виде

где P (x) и Q(x) — многочлены (Q(x) — ненулевой многочлен). Функция f (x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех ее точек,

в которых знаменатель Q(x) обращается в нуль.

3. Иррациональные функции, т. е. такие функции, не являющиеся рациональными, которые могут быть заданы композицией конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными

показателями и четырех арифметических действий.

4. Трансцендентные функции — элементарные функции, не являющиеся рациональными или иррациональными.

Все перечисленные функции можно рассматривать и в комплексной области (т. е. когда их аргументы и их значения могут быть

комплексными числами), но, конечно, в этом случае функции wz , lnz w, sin z, cos z, z C, w C, требуют специальных определений

(см. п. 41.4).

3.3.Многочлены. Для изучения ряда свойств многочленов

вдействительной области, т. е. функций вида

P (x) = anxn + ... + a1x + a0,

где a0, a1, ..., an и x — действительные числа, оказывается целесообразным рассмотреть более общие функции: многочлены в комплексной области, т. е. функции вида

где a0, a1, ..., an и z — комплексные числа. Числа a0, a1, ..., an называются коэффициентами многочлена P (z). Если an = 0, то, как и выше, неотрицательное целое число n называется степенью многочле-

на P (z), который в этом случае обозначают иногда Pn(z).

Два многочлена, P (z) и

В самом деле, если выполняются эти равенства, то ясно, что многочлены (3.5) и (3.6) принимают одинаковые значения при всех z C.

Наоборот, пусть при всех z справедливо равенство

Без ограничения общности можно предполагать, что m = n, так как при m = n можно добавить недостающие члены с нулевыми коэффициентами. Перенесем в равенстве (3.8) все члены в одну сторону и положим

Многочлен S(z) называется частным от деления многочлена P (z) на Q(z), а многочлен R(z) — остатком. Если R(z) = 0, то говорят, что P (z) делится на Q(z).

Существование и единственность многочленов S(z) и R(z), удовлетворяющих соотношению (3.12) при заданных многочленах (3.5) и (3.6), bm = 0, можно доказать методом неопределенных коэффициентов.

Запишем многочлены S(z) и R(z) в виде

R(z) = cm−1zm−1 + ... + c1z + c0,

S(z) = cnzn−m + ... + cm+1z + cm.

Подставим эти формулы в равенство (3.12):

anzn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0 =

= (cnzn−m + ... + cm+1z + cm)(bmzm + ... + b1z + b0)+

+ cm−1zm−1 + ... + c1z + c0, (3.13)

произведем почленное умножение, сложим получившиеся результаты, сделаем приведение подобных членов и приравняем коэффициенты в левой и правой частях равенства при одинаковых степенях z. В результате получится система из n + 1 линейных уравнений относительно n + 1 неизвестных

Можно показать, что эта система имеет единственное решение, и даже найти его в явном виде методом математической индукции. В самом деле, для определения коэффициента cn из равенства (3.13) получаем одно уравнение

an = cnbm, bm = 0.

Далее возможны два случая: m < n и m = n. Если m < n, то для коэффициента cn−1 из равенства (3.13) получается уравнение

an−1 = cn−1bm + cnbm−1,

в котором все коэффициенты, кроме cn−1, известны. Если же m = n, то S(z) = cn, a R(z) = c0 + c1z + ... + cn−1zn−1, и для коэффициен-

та cn−1 из (3.13) получаем уравнение

an−1 = cnbn−1 + cn−1.

Таким образом последовательно и однозначно находятся все коэффициенты (3.14).

(Qn−k1 (z) — многочлен степени n − k1). Согласно основной теореме алгебры многочлен Qn−k1 (z) при n − k1 1 имеет корень. Обозначим его через z2, и пусть его кратность равна k2; тогда

Qn−k1 (z) = (z − z2)k2 Qn−k1−k2 (x), Qn−k1−k2 (z2) = 0,

и, следовательно,

Pn(z) = (z − z1)k1 (z − z2)k2 Qn−k1−k2 (z).

Продолжив последовательно этот процесс, через конечное число

где zj = zl при j = l, j, l = 1, 2, ..., N. Ясно, что k1 + ... + kN = n. Числа z1, z2, ..., zN и только они являются корнями многочлена Pn(z).

Для многочлена Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0 положим

P n(z) def= anzn + ... + a1z + a0.

Многочлен P n(z) называется многочленом, сопряженным многочлену Pn(z). В силу свойств сопряженных комплексных чисел будем иметь

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0 =

= anz n + an−1z n−1 + ... + a1z + a0 = P n(z).

Если z0 — корень кратности k для многочлена Pn(z), то z0 является корнем той же кратности сопряженного многочлена P n(z). Действительно, если

P n(z) = Pn(z) = (z − z0)kQn−k (z) = (z − z0)kQn−k(z),

причем,

Qn−k(z0) = Qn−k (z0) = 0.

Это и означает, что z0 — корень кратности k многочлена P n(z). Пусть теперь коэффициенты многочлена Pn(z) — действительные

числа. Тогда ясно, что P n(z) = Pn(z), и если z0 = a + bi — корень кратности k такого многочлена Pn(z), то и z0 = a − bi — корень

46 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

кратности k этого же многочлена, так как он совпадает со своим сопряженным.

В дальнейшем в случае многочлена с действительными коэффициентами будем вместо переменной z писать, как это обычно принято, переменную x.

Заметим, что

при b = 0, т. е. когда z0 = a + bi является существенно комплексным числом.

Теперь мы видим, что если в разложении (3.17) многочлена с действительными коэффициентами объединить скобки с сопряженными корнями согласно формуле (3.18) и обозначить действительные корни x1, x2, ..., xr , то получим разложение вида

Pn(x) = an(x − x1)k1 ... (x − xr)kr (x2 + p1x + q1)m1 ... (x2 + psx + qs)ms ,

или, короче,

(это следует из (3.19)), pl, ql — действительные числа, а kj и ml — натуральные, j = 1, 2, ..., r, l = 1, 2, ..., s.

3.5. Рациональные дроби. Как в случае многочленов, мы рассмотрим рациональные дроби в комплексной области.

Пусть P (z) и Q(z) — многочлены с, вообще говоря, комплексными коэффициентами и Q(z) не является нулевым многочленом. Рацио-

нальная дробь P (z) называется правильной, если степень многочле-

Q(z)

на P (z) меньше степени многочлена Q(z), и неправильной, если степень многочлена P (z) не меньше степени многочлена Q(z).