Краткий курс математического анализа. Том 1

28Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

За м е ч а н и е. При определении умножения комплексных чисел можно было бы предварительно не определять, что i2 = −1, и не использовать правила почленного умножения, а сразу определить

произведение по формуле (2.3). Тогда из нее бы уже следовало, что i2 = −1. В самом деле,

ii = (0 + 1 · i)(0 + 1 · i) = −1.

(2.3)

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: z =

= z1 − z2, если z1 = z2 + z, а деление — как действие, обратное умножению: z = z1/z2, z2 = 0, если z1 = z2z.

Определенные указанным образом арифметические операции над комплексными числами удовлетворяют группам аксиом I, II, III, п. 2.1.

Теперь можно сформулировать более полное и более точное определение множества комплексных чисел C.

О п р е д е л е н и е 2. Множество всех элементов x + yi, в котором

заданы операции сложения, вычитания, умножения и деления согласно выше сформулированным правилам, называется множеством комплексных чисел, а каждый его элемент — комплексным числом.

Обозначение x + yi комплексных чисел называется их алгебраической формой записи.

Векторная интерпретация. Каждому комплексному числу z = = x + yi соответствует упорядоченная пара действительных чисел (x, y), и наоборот, каждой упорядоченной па- ре действительных чисел (x, y) соответствует

комплексное число z = x + yi, и эти соответствия взаимно однозначны. С упорядоченными же парами действительных чисел (x, y) на плос-

кости (при фиксированной системе декартовых

координат) находятся во взаимно однозначном соответствии векторы этой плоскости, имеющие числа x и y своими координатами. В результате комплексное число

z = x + yi можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами x, y. Этот вектор мы будем обозначать той же буквой z = (x, y) (рис. 1.7).

Целесообразность такой интерпретации комплексных чисел следует из того, что при сложении комплексных чисел складываются и соответствующие им векторы: при сложении векторов их координаты складываются, поэтому суммой векторов z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2)

является вектор

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),

т. е. вектор, соответствующий сумме z1 + z2 комплексных чисел z1 = = x1 + y1i и z2 = x2 + y2i (рис. 1.8).

Поскольку вычитание как для комплексных чисел, так и для векторов является действием, обратным сложению, то при вычитании комплексных чисел соответствующие им векторы также вычитаются (рис. 1.9).

Координатная плоскость, векторы z = (x, y) которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось x — действительной осью, а ось y — мнимой.

Длина |z| вектора z = (x, y) называется модулем или абсолютной

Поскольку длина каждой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, а абсолютная величина разности длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны, то для любых двух комплексных чисел z1 и z2 имеют место неравенства (см. рис. 1.8 и рис. 1.9)

Аргумент комплексного числа. Если ϕ — угол, образованный ненулевым вектором z с действительной

осью, то всякий угол вида ϕ + 2πn, где n — целое число, и угол только такого вида, так-

же будет углом, образованным вектором z

с действительной осью. Множество всех углов, которые образу-

ет ненулевой вектор z = (x, y) с действительной осью, называется аргументом комплексного числа z = x + yi и обозначается

arg z. Каждый элемент этого множества называется значением аргумента числа z (рис. 1.10).

Часто для краткости вместо «значение аргумента» говорят «аргумент» и обозначают его тем же символом arg z, что и все множество

30 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(подобно тому, как в теории неопределенных интегралов множество всех первообразных данной функции f обозначается тем же символом f (x) dx, что и произвольный элемент этого множества; см. п. 28.1). Поскольку ненулевой вектор плоскости однозначно определяется своей длиной и углом, который он образует с осью x, то два комплексных числа, отличные от нуля, равны тогда и только тогда, когда

равны их абсолютные величины и аргументы.

Если на значения аргумента ϕ числа z наложить, например, условие 0 ϕ < 2π или условие −π < ϕ π, то значение аргумента будет определено однозначно. Это ограничение, однако, как мы в этом убедимся в дальнейшем, не всегда удобно.

Из определения аргумента следует, что tg ϕ = y/x. Здесь при x =

= 0, y = 0 считается y/0 = ∞.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа z = x + yi = 0 выражаются через его модуль r = |z| и аргумент ϕ следующим образом:

Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа z. Мы будем ее употреблять и для

z = 0; в этом случае r = 0, а ϕ может принимать любое значение — аргумент числа 0 не определен. Итак, всякое комплексное число можно записать в тригонометрической форме.

в тригонометрической форме. Тригонометрическую форму записи комплексных чисел бывает удобно использовать при перемножении комплексных чисел, в частности, она позволяет выяснить геометрический смысл произведения комплексных чисел.

Найдем формулы для умножения и деления комплексных чисел при тригонометрической форме их записи. Если

z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2),

то по правилу умножения комплексных чисел получим

z1z2 =

=r1r2[(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2) + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2)] =

=r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)].

Таким образом, при умножении комплексных чисел их абсолютные величины перемножаются, а аргументы складываются:

(второе равенство является равенством двух множеств). Отметим, что эту простую формулу для аргумента произведения комплексных чисел нельзя было бы написать, если бы мы с самого начала ограничились однозначным выбором аргументов комплексных чисел, например, с помощью неравенств

так как сумма arg z1 + arg z2 могла бы уже не удовлетворять этому неравенству, хотя arg z1 и arg z2 ему удовлетворяли.

Применив последовательно формулы (2.8) к произведению n комплексных чисел z1, z2, ..., zn, получим

|z1z2 ... zn| = |z1||z2| ... |zn|,

arg(z1z2 ... zn) = arg z1 + arg z2 + ... + arg zn.

Если z1 = z2 = ... = zn, то из полученных равенств следует, что

Следует обратить внимание на то, что вторая формула (2.10) представляет собой равенство множеств: если ϕ — какое-либо значение аргумента числа z и, следовательно, nϕ — значение аргумента zn, то левая часть равенства состоит из всех чисел вида

nϕ + 2πm, m = 0, ±1, ±2, ...,

а правая — из всех чисел вида

n(ϕ + 2πm) + 2πk = nϕ + 2π(nm + k),

m = 0, ±1, ±2, ..., k = 0, ±1, ±2, ...

Нетрудно убедиться, что эти два множества состоят из одних и тех же чисел. Отсюда видно, что arg zn = n arg z, так как здесь правая часть состоит лишь из чисел вида n(ϕ + 2πm) = nϕ + 2πnm, т. е. таких чисел, которые получаются прибавлением к числу nϕ не всевозможных чисел вида 2πm, т. е. чисел, кратных 2π, а лишь чисел, кратных числу 2πn.

Отметим еще, что формула (2.10) равносильна утверждению: если

ϕ arg z, то

(2.11)

32 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Отсюда для комплексного числа, абсолютная величина которого равна 1 (следовательно, оно имеет вид z = cos ϕ + i sin ϕ), получаем

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.

Эта формула называется формулой Муавра 1).

Если z = z1/z2, z2 = 0, т. е. z1 = z2z, то |z1| = |z2||z| и arg z1 = = arg z2 + arg z. Таким образом,

|z| = |z1|/|z2|, arg z = arg z1 − arg z2.

Иначе говоря, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

При этом, в отличие от области действительных чисел, когда можно было рассматривать положительные и отрицательные значения корня, говорить о знаке корня в комплексной области нельзя, так как существенно комплексные числа не разбиваются на положительные

и отрицательные: у существенно комплексного числа «нет знака».

√

Поэтому при употреблении записи n z , z C, всегда надо отдавать

себе отчет в том, что именно в рассматриваемом случае обозначает

√

собой символ n z .

Если z = r(cos ϕ + i sin ϕ), w = ρ(cos ψ + i sin ψ) и wn = z, то

ρn(cos nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ).

(2.13) (2.12)

√

Отсюда ρn = r, а следовательно, ρ = n r , где корень n-й степени понимается в арифметическом смысле, т. е. ρ 0, и

Для того чтобы получить все возможные различные значения

корней n-й степени, здесь достаточно ограничиться лишь значениями k = 0, 1, ..., n − 1:

1) А. Муавр (1667–1754) — английский математик.

34 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Докажем 1◦: |z| = x2 + y2 = |z|; если z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z =

=r(cos ϕ − i sin ϕ) = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)), и потому arg z = − arg z.

Докажем 2◦: zz = (x + yi)(x − yi) = x2 + y2 = |z|2.

Так же просто доказывается z = x + yi = x − yi = x + yi = z. Свойства 4◦ и 5◦ вытекают из симметричности сопряженных чи-

сел относительно действительной оси (рис. 13 и рис. 14), из которой следует, что число z1 + z2 симметрично с z1 + z2, а число z1 − z2

симметрично с z1 − z2.

Проверим теперь, что в формуле 6◦ абсолютные величины и аргументы чисел, стоящих в левой и правой частях равенства, равны:

Аналогично доказывается свойство 7◦.

Используя сопряженные комплексные числа, можно получить формулу для частного комплексного числа в алгебраической форме:

При построении теории комплексных чисел мы исходили из того, что комплексным числом называют объекты вида z = x + yi, где x и y — действительные числа, а i — некоторый новый элемент, называемый мнимой единицей. Этому определению можно легко придать строго логическую форму следующим образом.

36Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Вперестановках, входящих в одну и ту же группу, на последующих k − 1 местах могут располагаться оставшиеся k − 1 элементов в любом

порядке. Поэтому число перестановок в каждой группе равно Pk−1. Каждая перестановка из k элементов попадает в одну из опи-

санных групп и в точности один раз. Поэтому для числа Pk всех перестановок из k элементов имеет место соотношение (2.20).

Те о р е м а 1. Число всевозможных перестановок из n элементов равно n!:

(2.21)

Докажем теорему методом математической индукции. Если n = 1, то, очевидно, P1 = 1 = 1!. Если для некоторого k N имеет место формула Pk = k!, то согласно лемме Pk+1 = (k + 1)Pk = (k + 1)k! = = (k + 1)!.

Выясним теперь, сколько подмножеств, содержащих m элементов, имеет множество, состоящее из n элементов, 1 m n.

О п р е д е л е н и е 4. Каждое множество, содержащее m элементов из числа n заданных, называется сочетанием из n элементов по m.

Подчеркнем, что сочетание определено как множество некоторых элементов без рассмотрения порядка, в котором они расположены.

Число всех сочетаний из n элементов по m обозначается Cnm.

П р и м е р 2. Множества {1, 2}, {1, 3} и {2, 3} образуют всевозможные сочетания из трех элементов 1, 2, 3 по два.

Из определения сочетаний вытекают следующие два свойства.

1◦. Имеет место формула

Действительно, если из n элементов выбрать какое-либо сочетание, содержащее k элементов, то элементы, не вошедшие в него, составят сочетание из n − k элементов. Причем, таким путем получатся все

и разобьем все сочетания по k + 1 элементов на две группы: содержащие этот элемент и не содержащие его. Число первых равно Cnk (ибо если удалить фиксированный элемент из каждого содержащего его сочетания по k + 1 элементов, то получатся всевозможные сочетания из n элементов по k и каждое по одному разу), число вторых равно Cnk+1 (ибо они образуют всевозможные сочетания по k + 1