Краткий курс математического анализа. Том 1

Г л а в а 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§1. Функции и множества

1.1.Множества. Напомним некоторые обозначения, часто употребляемые в математике, и дополним их некоторыми новыми, быть

может, не встречавшимися раньше читателю. Большими буквами, как

правило, будем обозначать множества: A, B, C, X, Y , ..., а малыми — их элементы: a, b, c, x, y, ... и т. д. Запись A = {a, b, c, ...} означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, ..., а запись A = {x: ...} или A = {x| ...} означает, что множество A состоит из всех таких элементов x, которые удовлетворяют условию, написанному после двоеточия или соответственно после вертикальной черты (двоеточие

ивертикальная черта в этом случае читаются как «таких что»). Отметим следующее: запись A = {a} может означать либо что

множество A состоит из одного элемента a, либо что оно состоит из множества каких-то элементов, каждый из которых обозначен буквой a. Какой именно из указанных двух случаев имеет место, будет всегда ясно из контекста.

Через a A и A a обозначается принадлежность элемента a множеству A, а a A или A a означает, что элемент a не принадле-

жит множеству A. Для удобства вводится понятие пустого множества, которое обозначается символом . Пустое множество не содержит

элементов. Символы A B и B A выражают собой включение

множества A в множество B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. В частности, здесь возможен случай A = B. Если A B и A = B, то A называется собственным подмножеством множества B. По определению полагается, что лю-

бое множество A содержит в качестве подмножества пустое множе-

ство: A.

Символом A B обозначается объединение множеств A и B; т. е.

множество всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B, символом A ∩ B — пересечение мно-

жеств A и B, т. е. множество всех элементов, принадлежащих одновременно A и B; символом A \ B — разность множеств A и B,

т. е. множество всех элементов, принадлежащих множеству A, но не принадлежащих множеству B (рис. 1).

18 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если множества A и B не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются, или, что то же самое, что их пересечение

пусто, т. е. пустое множество, и пишут

A ∩ B = .

По определению полагается, что для любого (пустого или непустого) множества A выполняются равенства: A = A, A ∩ = , A \ = A.

Вместо слов «существует», «найдется», «имеется» в логических

формулах употребляется символ (перевернутая первая буква английского слова exist — существовать), называемый символом существования, а вместо слов «любой», «каждый», «произвольный», «ка-

кой бы ни» — символ (перевернутая первая буква английского слова all — «все»), называемый символом всеобщности. Так, запись x

читается «существует x», а запись x — «любое x» или «для любого x» или «для всех x». Соответственно запись x, y, или, короче, x, y означает «существуют x и y», а запись x, y, или, короче, x, y — «любые x и y» или «для любых x и y».

Знак означает «следует», «вытекает», а знак — «равносильно». В этих обозначениях формула

A B (x A x B)

означает, что утверждение «множество A является подмножеством множества B» равносильно утверждению «из того, что элемент x принадлежит множеству A, следует, что он принадлежит множеству B». Символ def= означает определение выражения, стоящего слева от этого символа (def — первые три буквы английского слова definition, что

k=1

для обозначения суммы слагаемых ak можно записать следующим

образом:

n ak def= a1 + a2 + ... + an.

k=1

Знак тождества между двумя уже ранее введенными символами означает, что они обозначают один и тот же объект. Например,

n

ak ≡ a1 + a2 + ... + an.

k=1

Наконец, символами и будут отмечаться начало и конец доказательства высказываемого утверждения.

1.2. Функции. Наряду с понятиями множества и элемента в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие неявным образом присутствует и в понятии множества, поскольку понятие множества предполагает, что каждый элемент данного множества обладает определенным свойством, отличающим его от элементов, не входящих в это множество. Иначе говоря, каждому из рассматриваемых элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является этот элемент элементом данного множества или нет.

Среди всевозможных соответствий важную роль в математике играют соответствия, называемые функциями. Опишем эти соответствия.

Пусть заданы непустые множества X и Y. Соответствие, при котором каждому элементу x X соответствует единственый элемент

y Y , называется функцией, заданной (определенной) на множестве X со значениями в множестве Y , или отображением множества X в множество Y. Такая функция (такое отображение) обо-

значается с помощью некоторой буквы, например, буквы f , одним из следующих способов:

y = f (x), x X, или f : X → Y , или f : x → y, x X, y Y.

Наряду с терминами «функция», «отображение» употребляются

равнозначные термины «преобразование», «морфизм».

Элемент x X называется независимым переменным или аргументом, а соответствующий элемент y Y — зависимым переменным. Множество X называется множеством задания (определения)

функции f , а множество тех y Y , каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x X, — множеством значений функ-

ции f и обозначается Yf . Очевидно, Yf Y. Если Yf = Y , то отображение f называется отображением X на множество Y или сюрьекци-

ей. Если при x = x выполняется неравенство f (x) = f (x ), то отображение f называется взаимно однозначным отображением X в Y или

инъекцией. Если f является взаимно однозначным отображением X

20 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

на Y , т. е. является одновременно сюръекцией и инъекцией, то оно называется биекцией.

Если задано отображение f : X → Y , то элементы множеств X и Y часто называются точками.

Символом f (x) обозначается как сама функция, так и элемент, соответствующий элементу x при этой функции. Обозначение одним и тем же символом f (x) как самой функции, так и ее значения в точке x не приводит к недоразумениям, так как всегда из контекста ясно,

Значение функции f в точке x0 обозначается также f (x) x0 . Если f : X → Y и E — подмножество множества X, то функция

fE : E → Y , такая, что для каждого x E выполняется равенство

называется сужением функции f на множество E. Таким образом, сужение fE функции f принимает в точках x множества E те же значения, что и функция f. Иногда сужение fE функции f обозначают

тем же символом f , что и саму исходную функцию, и называют

функцией f на множестве E.

Пусть заданы функция f : X → Y и A X. Множество всех

y Y , являющихся значениями функции f в точках x A, называется

образом множества A при отображении f и обозначается f (A), т. е.

В частности, образ множества X есть множество значений функции: f (X) = Yf .

Если B Y , то множество всех тех точек x X, значения функции f в которых принадлежат множеству B, называется прообразом множества B. То есть прообразом множества B является множество

Пусть Z — некоторое множество и Y = P(Z) — множество всех его подмножеств. Если f : X → Y , то значение f (x) функции f в точке xX является в этом случае некоторым подмножеством множества Z: f (x) Z. Если среди подмножеств f (x), x X, имеется по крайней

мере одно непустое множество, содержащее более одного элемента, то функция f называется многозначной функцией. При этом всякий

элемент z Z, принадлежащий множеству f (x) Z, т. е. z f (x),

часто также называется значением функции f в точке x X.

Если каждое из множеств f (x) состоит только из одного элемента, то функцию f называют однозначной функцией.

Пусть P(X) — множество всех подмножеств множества X. Функция, определенная на множестве Yf = f (X) значений функции f : X → Y , с областью значений, принадлежащей множеству P(X),

и ставящая в соответствие каждому элементу y Yf его прообраз {x : f (x) = y}, называемся обратной к f функцией и обозначается

через f −1 : Yf → P(X). Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией.

Если отображение f взаимно однозначно (т. е. является инъекцией), то обратная функция является однозначной.

Если отображение f является взаимно однозначным отображением X на Y , то обратное отображение f −1 является взаимно однозначным отображением Y на X (т. е. если f : X → Y — биекция, то и f −1 : Y → X — биекция), и поэтому f является, в свою очередь, отображением, обратным к отображению f −1. Это означает, что при любом x X имеет место равенство f −1f (x) = x, а при любом y f (X) — равенство f f −1(y) = y. При этом для заданного инъективного отображения f : X → Y каждое из указанных двух условий однозначно определяет обратное отображение f −1.

Если f : X → Y и g : Y → Z, то функция F : X → Z, ставящая

в соответствие каждому элементу x X элемент F (x) = g(f (x)), называется композицией функций f и g (иногда — суперпозицией этих функций или сложной функцией) и обозначается g ◦ f. Таким обра-

зом, согласно определению для каждого x X имеет место равенство

§2. Числа

2.1.Действительные числа. Из элементарной математики известно, что действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить и сравнивать по величине. Перечислим основные свойства, которыми обладают эти операции. Множество всех дей-

ствительных чисел будем обозначать через R, а его подмножества называть числовыми множествами.

I. О п е р а ц и я с л о ж е н и я. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое a + b, так, что при этом выполняются следующие

условия:

I1. a + b = b + a, a, b R.

I2. a + (b + c) = (a + b) + c, a, b, c R.

I3. Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что для любого a R выполняется условие a + 0 = a.

I4. Для любого числа a R существует число, называемое ему противоположным и обозначаемое −a, для которого a + (−a) = 0.

Число a + (−b), a, b R, называется разностью чисел a и b и обозначается a − b.

22Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

II. О п е р а ц и я у м н о ж е н и я. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их произведе-

нием и обозначаемое ab, такое, что выполняются следующие условия:

II1. ab = ba, a, b R.

II2. a(bc) = (ab)c, a, b, c R.

IV. У п о р я д о ч е н н о с т ь. Для действительных чисел определено отношение порядка. Оно состоит в следующем.

Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо a < b (читается «a меньше b»), или, что то же самое, b > a (читается «b больше a»), либо a > b, или, что то же самое, b < a. При этом предполагается, что выполняются следующие условия:

IV1. Т р а н з и т и в н о с т ь. Если a < b и b < c, то a < c.

IV2. Если a < b, то для любого числа c имеет место a + c < b + c.

IV3. Если a > b и c > 0, то ac > bc.

Соотношения порядка называют также сравнением действительных чисел по величине или неравенствами. Запись a b, равносиль-

ная записи b a, означает, что либо a < b, либо a = b.

Из выполнения условий IV2 и IV3 вытекает одно важное свойство, называемое плотностью действительных чисел: для любых двух

различных действительных чисел a и b, например, таких, что a < b, существует такое число c, что a < c < b. В самом деле, сложив каждое из равенств a = a, b = b с неравенством a < b, получим 2a < a + b < 2b,

жеств X и Y таких, что для каждой пары чисел x X и y Y выполняется неравенство x y, существует

число a, удовлетворяющее условию x a y, x X, y Y

(рис. 2).

Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Поэтому можно дать аксиоматическое определение множества действительных чисел следующим образом.

О п р е д е л е н и е 1. Множество элементов, обладающих свойствами I–V, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент — действительным числом.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет условиям I–V.

называются натуральными числами, и их множество обозначается N. Таким образом, если n — натуральное число, то n + 1 также натуральное число, а если, кроме того, n = 1, то существует натуральное число n − 1 такое, что n = (n − 1) + 1. Иначе говоря, множество натуральных чисел N состоит из 1 и чисел вида n + 1, где n N. Отсюда вытекает, что множество N обладает следующим характеристическим

свойством: если

1)A N,

2)1 A,

3) если для каждого элемента x A имеет место включение x + 1 A, то A = N.

Действительно, согласно условию 2) имеем 1 A, поэтому по свойству 3) и 2 A, а тогда согласно тому же свойству получим 3 A. Поскольку любое натуральное число n получается из 1 последовательным прибавлением к ней той же 1, то n A, т. е. N A, а так как по условию 1 выполняется включение A N, то A = N.

На этом свойстве натуральных чисел основан принцип доказательства методом математической индукции. Если имеется множество

утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его номер) n = 1, 2, ..., и если доказано, что:

1)справедливо утверждение с номером 1;

2)из справедливости утверждения с любым номером n N следует справедливость утверждения с номером n + 1;

то тем самым доказана справедливость всех утверждений, т. е. любого утверждения с произвольным номером n N.

Примером доказательства методом математической индукции яв-

ляется доказательство теоремы 1 в п. 2.4.

Числа 0, ±1, ±2, ... называют целыми числами, их множество обозначают Z.

24 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Числа вида mn , где m и n целые, а n = 0, называются рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначают Q, т. е.

Q = x R : x = mn , m Z, n Z, n = 0 .

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, их множество обозначается I.

Таким образом,

R = Q I, Q ∩ I = .

Кроме четырех арифметических действий над числами можно производить действия возведения в степень и извлечения корня.

Для любого числа a R и натурального n степень an определяется как произведение n сомножителей, равных a:

n — натуральное число.

Пусть a > 0, а n — натуральное число. Число b называется кор-

нем n-й степени из числа a, если bn = a. В этом случае пишет-

√

ся b = n a . Существование и единственность положительного корня

любой степени n из любого положительного числа будет доказано

Таким образом, степень ar определена для любого рационального числа r. Из ее определения следует, что для любого рационального r имеет место равенство

a−r = a1r

и неравенство

ar > 0.

Степень ax (число x называется показателем степени) для любого действительного числа x получается с помощью непрерывного распространения степени с рациональным показателем (см. об этом в п. 8.2).

Для любого числа a R неотрицательное число

|a| def= a, если a 0, −a, если a < 0,

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливы неравенства

|a + b| |a| + |b|,

a| − |b |a − b|, a, b R,

причем второе неравенство следует из первого. Они доказываются

спомощью свойств I–IV действительных чисел.

2.2.Расширенная числовая прямая. Окрестности. Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а от-

дельные числа — точками этой прямой (рис. 3). Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные

числа — ее точками. В связи с этим иногда вместо a < b (соответственно вместо b > a) говорят, что точка a лежит левее точки b (точка b лежит правее точки a).

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел

элементами, обозначаемыми через +∞ и −∞ и называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, считая

при этом по определению, что для любого числа x R выполняется

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞ и −∞, называется расширенным множеством действительных чисел

(расширенной числовой прямой) и обозначается R.

Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R одним элементом ∞ (бесконечностью без знака), в этом случае бесконечность ∞ уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности +∞, −∞ и ∞ называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

26 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой R. Пусть a R, b R, a b. Множество

[a, b] def= {x : x R, a x b}

называется отрезком, множество

(a, b) def= {x : x R, a < x < b}

— интервалом, множества

[a, b) def= {x : x R, a x < b}, (a, b] def= {x : x R, a < x b}

— полуинтервалами, а все они — промежутками расширенной числовой оси. Точки a и b называются концами этих промежутков, а точки x такие, что a < x < b, — их внутренними точками. Если a и b —

числа, a b, то число b − a называется длиной соответствующего промежутка, а сам промежуток называется конечным.

Важным для дальнейшего является понятие окрестности конечной. Если a R, т. е. когда a является действительным числом, то для или бесконечно удаленной точки числовой прямой. Для любого ε > 0 ε-окрестностью U (a, ε) числа a называ-

ется интервал (a − ε, a + ε), т. е.

U (a, ε) def= (a − ε, a + ε).

В случае a = +∞

U (+∞, ε) def= (1/ε, +∞],

а в случае a = −∞

U (−∞, ε) def= [−∞, −1/ε)

(рис. 4).

Таким образом, во всех случаях

с убыванием ε соответствующая окрестность точки a уменьшается. Всякая ε-окрестность конечной или бесконечно

удаленной точки a R называется ее

окрестностью. Иногда окрестность обо-

значается просто U (a).

Важным свойством точек расширенной прямой, следующим непосредствен-

но из определения их окрестностей, является то, что у двух любых различных точек расширенной числовой прямой имеются непересекающиеся окрестности (рис. 1.5).