Краткий курс математического анализа. Том 1

118 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Отметим, что проведенное доказательство можно было бы и не проводить, так как непрерывность функции в точке означает, что (см. п. 6.2) эта точка принадлежит множеству задания функции и что у функции в этой точке существует предел по указанному множеству.

Поскольку функции f и g заданы в точке x0, то, очевидно, и функции λf (x) + μg(x), f (x)g(x), а при g(x0) = 0 и f (x) , заданы в этой точ-

ке. В силу свойства 6◦ у перечисленных функций существуют пределы в точке x0, принадлежащей в данном случае их множеству задания, что и означает их непрерывность в точке x0. Иначе говоря, утверждение следствия является просто частным случаем утверждения 6◦, когда точка, в которой рассматривается предел, принадлежит области определения функций.

6.8. Бесконечно малые.

О п р е д е л е н и е 9. Функция α(x), x X, называется бесконечно

малой при x → x0, если lim α(x) = 0.

x→x0

Бесконечно малые функции играют в теории пределов функций роль, аналогичную той, которую играют бесконечно малые последовательности в теории пределов последовательностей (п. 5.5).

Ле м м а 3. Для того чтобы у функции f (x), x X, существовал

вточке x0 конечный предел, равный a, необходимо и достаточно, чтобы функция α(x) = f (x) − a была бесконечно малой при x → x0.

Действительно, существование конечного предела lim f (x) = a

x→x0

равносильно тому, что (см. п. 6.4) для любого ε > 0 существует такая окрестность U (x0) точки x0, что для всех x X ∩ U (x0) выполняется неравенство |f (x) − a| < ε, т. е. |α(x)| < ε, что и означает бесконечную малость функции α(x) при x → x0.

Те о р е м а 3. Линейная комбинация конечного числа бесконечно малых при x → x0 функций является бесконечно малой при x → x0 функцией.

Произведение бесконечно малой при x → x0 функции на ограниченную функцию является бесконечно малой при x → x0 функцией.

С л е д с т в и е. Произведение конечного числа бесконечно малых при x → x0 функций является бесконечно малой при x → x0 функцией.

Первое утверждение теоремы сразу следует из свойства предела линейной комбинации функций (см. (6.17)). Докажем второе: пусть

x→x0

а функция f ограничена на множестве X, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x X выполняется неравенство

Тогда для произвольной последовательности xn → x0, xn X, n = = 1, 2, ..., последовательность {α(xn)} будет в силу условия (6.20) бесконечно малой, а последовательность {f (xn)} в силу условия (6.21) — ограниченной. Поэтому (см. п. 5.5) их произведение является беско-

нечно малой последовательностью, т. е. lim f (xn)α(xn) = 0. Посколь-

n→∞

ку {xn} — произвольная последовательность такая, что xn → x0, xn X, n = 1, 2, ..., то это означает, что

lim f (x)α(x) = 0.

x→x0

Для доказательства следствия из теоремы достаточно заметить, что всякая бесконечно малая при x → x0 функция, имея в точке x0 конечный предел, ограничена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому в некоторой окрестности точки x0 произведение конечного числа бесконечно малых при x → x0 функций можно рассматривать как произведение бесконечно малой при x → x0 функции на ограниченную.

6.9. Непрерывные функции. Согласно определению (определение 5, п. 6.2) функция y = f (x) непрерывна в точке x0 R, если

Это означает (определение 1, п. 6.1), что если xn → x0, xn X, то f (xn) → f (x0), n = 1, 2, ..., а также (см. определение 6 и теорему 1 в п. 6.4), что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x X, удовлетворяющих условию |x − x0| < δ, выполняется неравен-

ство |f (x) − f (x0)| < ε.

Из (6.22) следует, что

С точки зрения приближенного вычисления значений функций выполнение равенства (6.22), т. е. непрерывность функции, означает, что по достаточно точным приближенным значениям аргумента можно вычислять сколь угодно точно значения функции.

120Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Вкачестве примера использования записи условия непрерывности в виде (6.24) покажем, что функция f (x) = 1/x (рис. 63) непрерывна

во всех точках x0 = 0. Имеем

ности функции в точке, основанное на рассмотрении предела функции по проколотой окрестности этой точки (см. определение 4 в п. 6.1).

того, чтобы функция f была непрерывна в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы существовал предел

(предел по подмножеству совпадает с пределом по множеству, если последний существует). Таким образом, имеет место равенство (6.25).

Пусть, наоборот, выполняется условие (6.25), очевидно, и

Таким образом, по двум множествам X \ {x0} и {x0} функция f при x → x0 имеет один и тот же предел f (x0). Поэтому она согласно лемме 3 из п. 6.5 имеет тот же предел и по их объединению

(X \ {x0}) {x0} = x,

т. е.

lim f (x) = f (x0).

x→x0

Это означает, что из выполнения условия (6.25) следует выполнение условия (6.22), т. е. того, что функция f непрерывна в точке x0. Условие непрерывности леммы 5 бывает полезно, в частности, в случае односторонних пределов, когда пределы слева и справа бе-

рутся по множествам, не содержащим точки x0, т. е. когда рассматриваются пределы f (x0 − 0) и f (x0 + 0). Именно, имеет место следующее утверждение.

§ 6. Предел и непрерывность функций

= f (x0), а поэтому согласно лемме 5 функция f непрерывна в точ-

ке x0.

Для дальнейшего анализа свойства непрерывности функции введем понятия изолированных и предельных точек множества.

О п р е д е л е н и е 10. Точка x0 называется изолированной точкой множества X R, если существует окрестность U (x0), пересечение

которой с множеством X состоит только из самой точки x0:

U (x0) ∩ X = {x0}.

О п р е д е л е н и е 11. Точка x0 называется предельной точкой множества X R, если в любой ее окрестности содержится точка мно-

жества X, отличная от самой точки x0.

Например, все точки множества натуральных чисел N изолированы, а множество Q всех рациональных чисел вовсе не имеет изолированных точек. Каждая точка числовой прямой R является предельной точкой для множеств Q, I и R.

Предельная точка множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему. Так, например, концы a и b отрезка [a, b] и интервала (a, b) являются предельными точками и того, и другого промежутка, но в первом случае они принадлежат ему, а во втором — нет.

Каждая точка прикосновения множества X является либо его изолированной точкой, либо его предельной точкой. В самом деле, либо у нее существует окрестность, не содержащая других точек множества, кроме нее самой, тогда она изолированная, либо в любой ее окрестности имеются точки множества X, отличные от нее, тогда она предельная.

Л е м м а 6. Всякая функция непрерывна в каждой изолированной точке множества своего определения.

Пусть на множестве X задана функция f и x0 — изолированная точка множества X. Тогда существует такая окрестность U (x0) точки,

что

U (x0) ∩ X = {x0}.

Какова бы ни была последовательность xn X, n = 1, 2, ..., такая,

что lim xn = x0, существует такой номер n0, что для всех n > n0

n→∞

выполняется условие xn U (x0), и так как xn X, то при n > n0 имеет место равенство xn = x0, а следовательно, и f (xn) = f (x0)

122 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(т. е., начиная с номера n0 + 1, последовательность {f (xn)} делается стационарной), а потому lim f (xn) = f (x0). В силу произвольного

Например, функции, определенные лишь на одной точке или на двух точках, или, более общо, на любом конечном множестве точек, являются непрерывными. Непрерывной является и элементарная

функция y = 1 + lg cos 2πx ,

определенная только для целочисленных значений аргумента, т. е. для x = 0, ±1, ±2, ..., в которых она равна 1 (в остальных точках выражение под знаком корня отрицательно, и поэтому функция не

определена). График этой функции состоит из отдельных изолированных точек (0; 1), (1; 1), (−1; 1), (2; 1),

(−2; 1), ... (рис. 64).

Таким образом, при изучении вопроса о непрерывности функции в некоторой точке следует рассматривать лишь

предельные точки ее множества определения, так как, согласно доказанному, во всех изолированных точках этого множе-

ства она заведомо непрерывна.

В этом смысле дискретное в математике является частным случаем непрерывного.

6.10. Классификация точек разрыва.

О п р е д е л е н и е 12. Пусть функция f определена в некоторой

окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0. Тогда x0 называется точкой разрыва функции f , либо если функция f не

определена в самой точке x0, либо если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Образно говоря, точка x0 является точкой разрыва функции, если x0 является значением аргумента, при котором происходит «разрыв графика функции».

Например, точка x = 0 является точкой разрыва функции f (x) = = 1/x, так как эта функция не определена при x = 0. Та же точка x = 0 является и точкой разрыва функции

так как в этом случае, хотя функция f и определена при x = 0, но она не непрерывна при x = 0.

Если в точке разрыва существуют конечные пределы f (x0 − 0)

и f (x0 + 0), то она называется точкой разрыва первого рода, а величина f (x0 + 0) − f (x0 − 0) — скачком функции f в точке x0 (рис. 65).

Если скачок функции в точке x0 равен нулю, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва (рис. 66).

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

П р и м е р ы. 1. У функции

f (x) = sign x

(см. рис. 59) точка x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, и скачок в ней равен 2:

sign (+0) − sign (−0) = 2.

Та же точка x0 = 0 является для функции f (x) = |sign x| (см. рис. 60) точкой устранимого разрыва:

|sign (+0)| − |sign (−0)| = 0.

2. Точка x0 = 0 для функций f (x) = x1 и f (x) = sin x1 является точкой разрыва второго рода.

6.11. Пределы монотонных функций.

О п р е д е л е н и е 13. Функцию f (x), x X, называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве X и пишут f ↑ (соот-

ветственно f ↓), если для любых x1 X и x2 X таких, что x1 < x2,

выполняется неравенство f (x1) f (x2) (соответственно f (x1) f (x2)). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Если из неравенства x1 < x2, x1 X, x2 X, следует, что f (x1) <

< f (x2) (соответственно, что f (x1) > f (x2)), то функцию f называют

строго возрастающей (строго убывающей) и пишут f ↑↑ (соответ-

ственно f ↓↓). Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными. Если функция f (строго) возрастает

на множестве X, то функция −f (строго) убывает на этом множестве.

124 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Верхней гранью sup f функции f (x), x X (или, в другой записи,

sup f (x)), называется верхняя грань значений этой функции на мно-

x X

жестве ее задания X:

sup f def= sup {f (x)},

x X

а нижней гранью inf f (или inf f (x)) — нижняя грань ее значений:

x X

inf f = inf {f (x)}.

x X

Если функция f принимает в точке x0 наибольшее значение на

множестве X, то, очевидно, f (x0) = sup f , а если она принимает в точке x0 наименьшее значение, то f (x0) = inf f.

Те о р е м а 4. Пусть функция f (x), x X, возрастает на множестве X, α = inf X, β = sup X, α X, β X. Тогда у функции f существуют конечные или определенного знака бесконечные пределы справа в точке x = α:

Таким образом, если функция f ограничена снизу (т. е. ограничено снизу множество ее значений), то предел (6.28) будет конечным, а если f не ограничена снизу, то этот предел будет бесконечным, равным

−∞. Аналогично, предел (6.29) будет конечным или бесконечным, равным +∞, когда функция f ограничена

сверху или соответственно не ограничена сверху.

Пусть функция f возрастает на множестве X и

Зададим произвольно окрестность U (b) точки b, и пусть η — левый конец этой окрестности (рис. 67); тогда η < b и существует такое ξ X, что

Из того, что β = sup X, следует, что ξ β, но ξ X, а по условиям теоремы β X, поэтому ξ < β.

126 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

непрерывна в точке x = β (см. п. 6.2), а может и не существовать (рис. 69), тогда точка β будет точкой разрыва функции f. Подчерк-

6.12. Критерий Коши существования предела функции.

Те о р е м а 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция f (x), x X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая окрестность U (x0) точки x0, что для любых x X ∩ U (x0) и x X ∩ U (x0) выполнялось бы неравенство

x→x0

= a R, тогда для любого ε > 0 существует такая окрестность U (x0) точки x0, что для каждого x X ∩ U (x0) справедливо неравенство

|f (x) − a| < ε/2.

Поэтому если x X ∩ U (x0) и x X ∩ U (x0), то

|f (x ) − f (x )| = |[f (x ) − a] + [a − f (x )]|

|f (x ) − a| + |a − f (x )| < 2ε + 2ε = ε.