Краткий курс математического анализа. Том 1

Тогда (рис. 59 и рис. 60) предел lim |sign x| функции |sign x| по всей ее

x→0

области задания, т. е. по всей числовой прямой (или, что равносильно,

З а м е ч а н и е 2. Пусть заданы последовательность {xn} и функция ϕ: N → N. Введем обозначение ϕ(k) = nk и рассмотрим последовательность {xnk }. Иначе говоря, из значений последовательности {xn} образуем новую последовательность {xnk }, в которой порядок членов может не совпадать с их порядком в исходной последовательности. Таким образом, последовательность {xnk } не является, вообще говоря, подпоследовательностью последовательности {xn}.

В этих обозначениях справедливо следующее утверждение.

Л е м м а 1. Если существует конечный или бесконечный предел

го ε > 0 существует такой номер n0, что для всех номеров n > n0

108 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

выполняется включение xn U (a, ε), а из условия lim nk = ∞, — что

k→∞

для n0 существует такой номер k0, что для всех k > k0 выполняется неравенство nk > n0 и, следовательно, включение xnk U (a, ε). Это

и означает, что lim xnk = a.

k→∞

Из леммы 1 следует, что понятие предела последовательности является частным случаем понятия предела функции.

n→∞

6.2. Определение непрерывности функции. При рассмотрении предела функции f (x), x X, в точке x0 случай, когда x0 X, представляет особый интерес — он приводит к понятию непрерывной

функции.

Если x0 X и существует предел lim f (x), то он равен f (x0):

собой. Поэтому из равенства (6.9) следует выполнение условия (6.8). О п р е д е л е н и е 5. Если

lim f (x) = f (x0),

x→x0

другое определение предела функций, в котором используется понятие окрестности, оно называется определением по Коши.

О п р е д е л е н и е 6. Точку a называют пределом функции f (x), x X, при x → x0 (или, что то же самое, в точке x0) и пишут

lim f (x) = a, если для любой окрестности U (a) точки a существует

x→x0

такая окрестность U (x0) точки x0, что

f (X ∩ U (x0)) U (a).

Используя логические символы, это определение можно записать в следующем виде:

lim f (x) = a def U (a) U (x0) :

или, что равносильно,

lim f (x) = a def U (a) U (x0) x X ∩ U (x0): f (x) U (a) (6.10)

(в подобных символических записях двоеточие читается как «имеет место»).

Вспоминая определения окрестностей, эти определения для соот-

Это определение действительно равносильно определению (6.10) в случае, если x0 R и a R, так как условие |x − x0| < δ равносильно

условию

x U (x0) = U (x0, δ),

а условие |f (x) − a| < ε — условию

f (x) U (a) = U (a, ε)

(рис. 61).

110Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Всимволической форме для рассматриваемого случая определение предела функции имеет вид

Вчастности, если функция f непрерывна в точке x0 X R и a =

=f (x0) (в этом случае x0 и a являются числами), то определение непрерывности в символической записи имеет вид

lim f (x) = f (x0)

x→x0

ε > 0 δ > 0 x X, |x − x0| < δ : |f (x) − f (x0)| < ε.

В качестве примера бесконечных пределов рассмотрим определение предела lim f (x) = −∞:

Те о р е м а 1. Определения 1 и 6 предела функции в точке прикосновения множества задания функции равносильны.

Пусть функция f задана на множестве X и x0 — точка прикос-

новения этого множества. Предположим сначала, что lim f (x) = a

x→x0

в смысле определения 1, и покажем, что тогда число a является и пределом функции в смысле определения 6. Допустим, что это не так, т. е. (см. (6.10)), что существует такая окрестность U (a), что для любой окрестности U (x0) найдется такая точка x X ∩ U (x0), что f (x) U (a), или, в символической записи,

В частности, указанные точки x найдутся в каждой окрестности

Поскольку a = lim f (x) в смысле определения 1, то из выполнения

x→x0

условия (6.14) следует, что lim f (xn) = a. Следовательно, для любой

n→∞

окрестности U (a), в частности, и для окрестности U (a), указанной в условии (6.13), существует такой номер n0, что для всех n > n0 выполняется включение

что противоречит условию (6.13). В одну сторону утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь a = lim f (x) в смысле определения 6 предела функ-

определению предела функции (п. 6.1) для того, чтобы существовал

предел lim f (x) функции f (x), x X, нужно, чтобы для любых

x→x0

последовательностей xn → x0, xn X, n = 1, 2, ..., существовали пре-

делы lim f (xn) и они были равны между собой. Покажем, что второе

n→∞

условие вытекает из первого. То есть, не предполагая равенство этих пределов, а предполагая только их существование, можно доказать их равенство, а следовательно, и существование предела функции. Точнее, докажем следующее утверждение.

Л е м м а 2. Для того чтобы функция f (x), x X, имела конечный или (определенного знака) бесконечный предел в точке x0, являющейся конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества X, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности xn → x0, xn X, n = 1, 2, ..., последовательность соответствующих значений {f (xn)} функции f имела предел конечный или соответственно (определенного знака) бесконечный.

Необходимость сформулированного условия для существования

lim f (xn) для всех указанных в условиях леммы последовательно-

n→∞

стей {xn}.

Докажем достаточность этого условия для существования предела

112 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Тогда lim xn = x0 и xn X, n = 1, 2, ... Согласно условиям леммы

n→∞

существуют пределы

причем {f (xn)} и {f (xn)} являются подпоследовательностями после-

довательности {f (xn)}.

Поскольку из существования у последовательности предела (конечного или бесконечного) следует существование того же предела у любой ее подпоследовательности, то будем иметь

Таким образом, пределы последовательностей {f (xn)}, где xn → → x0, xn X, n = 1, 2, ..., не зависят от выбора указанных после-

довательностей {xn}. Обозначив общее значение пределов последова-

тельностей {f (xn)} через a, получим lim f (x) = a.

x→x0

6.5. Предел функции по объединению множеств.

Л е м м а 3. Пусть функция f задана на объединении X1 X2 множеств X1 и X2, а x0 является точкой их прикосновения. Тогда если при x → x0 функция f имеет равные пределы по множествам X1 и X2, то она имеет тот же предел и по их объединению.

Если

lim f (x) = lim f (x) = a,

Это и означает, что

lim f (x) = a.

x→x0 x X1 X2

6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Введем обозначения: для любого числового множества X и любой точки x0 расширенной числовой прямой R положим

О п р е д е л е н и е 7. Пусть задана функция f (x), x X и x0 R. Точка a называется пределом функции f слева при x → x0 (соответст-

венно справа), если она является пределом при x → x0 функции f по множеству X−(x0) (соответственно по множеству X+(x0)), т. е. если

В силу этого определения предел lim f (x) причисляется к пре-

x→+∞

делам слева, а lim f (x) — к пределам справа.

x→−∞

Иначе говоря, предел функции f слева в точке x0 — это предел в этой точке сужения функции f на множество X+(x0), а предел справа — это предел сужения f на множество X−(x0).

Для пределов справа и слева сужения функции f на множество X \ {x0}, т. е. для случая, когда предел берется по множеству, не содержащему точку x0, имеются специальные обозначения: для пре-

(−∞ + 0) пишут просто +∞ (соответственно −∞).

Если множества X−(x0) \ {x0}, X+(x0) \ {x0} не пусты, x0 является

Те о р е м а 2. Если функция f (x) задана на множестве X, x0 R,

X+(x0) = , X−(x0) = , sup X−(x0) = inf X+(x0) = x0, то для того, чтобы у функции f существовал предел lim f (x), необходи-

x→x0

мо и достаточно, чтобы в точке x0 существовали пределы слева и справа и они были равны (общее значение этих пределов является двусторонним пределом функции f в точке x0).

Если у функции f существует предел в точке x0, то тот же предел существует у этой функции при x → x0 и по любому подмножеству E X, для которого точка x0 является его точкой прикосновения, в частности по множествам X−(x0) и X+(x0). Обратно, если у функции f существуют равные пределы по множествам X−(x0) и X+(x0), то по лемме 3 у нее существует тот же предел и по их объединению, т. е. по множеству X = X−(x0) X+(x0).

114Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Оп р е д е л е н и е 8. Функция f (x), x X, называется непрерывной слева (справа) в точке x0 X, если

и справа в точке x0, то она непрерывна в этой точке (напомним, что непрерывность функции f в точке x0 означает, что в x0 существует предел функции f по множеству, содержаще-

ходящее x (рис. 62). Таким образом,

[x] = n Z, n x, но n + 1 > x. Функция y = [x] непрерывна справа во всех точках числовой оси и не является непрерывной слева во всех цело-

численных точках x = ±n, n = 0, 1, 2, ...

6.7. Свойства пределов функций. В пп. 6.7–6.12 все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном множестве X R и x0 — его точка прикосновения, конечная или

бесконечно удаленная.

Функция называется ограниченной (сверху или снизу), если мно-

жество ее значений ограничено (соответственно сверху или снизу).

1◦. Если функция f имеет в точке x0 конечный предел, то существует такая окрестность U (x0) точки x0, что функция f ограничена на пересечении X ∩ U (x0).

Если lim f (x) = a R, то существует такая окрестность U (x0)

x→x0

точки x0, что для всех x X ∩ U (x0) выполняется включение f (x)U (a, 1) (здесь в качестве окрестности U (a) в определении 6 взята окрестность U (a, 1)), т. е. неравенство a − 1 < f (x) < a + 1.

С л е д с т в и е. Если функция f непрерывна в точке x0, то существует такая окрестность U (x0) точки x0, что функция f ограни-

чена на

X ∩ U (x0).

Это следует из того, что если функция f непрерывна в точке x0, то она имеет в этой точке конечный предел.

2◦. Л е м м а 4 (о сохранении знака). Если функция f имеет в точ-

ке x0 не равный нулю конечный предел lim f (x) = a = 0, то суще-

x→x0

ствуют такие окрестность U (x0) точки x0 и число c > 0, что для всех точек x X ∩ U (x0) выполняются неравенства

Таким образом, неравенства (6.16) выполняются при c = |a2|.

С л е д с т в и е. Если функция f непрерывна в точке x0 и f (x0) = 0, то существуют такие окрестность U (x0) точки x0 и постоянная c > 0, что для всех x X ∩ U (x0) выполняются неравенства:

в точке x0 означает существование у функции f в точке x0 конечного

предела, равного f (x0). В качестве числа c можно взять |f (x0)|.

2

З а м е ч а н и е. Если у функции f в точке x0 существует один из бесконечных пределов ∞, +∞ и −∞, то для л ю б о г о числа c > 0