Краткий курс математического анализа. Том 1

98 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

некоторого отрезка In0 ранга n0 системы {In}, то число a было бы и правым концом всех отрезков In ранга n > n0, т. е. принадлежало бы отрезкам ранга n > n0 с индексом 9. Это означает, что в дроби (5.84), начиная с (n0 + 1)-го места после запятой, все время стоит цифра 9 — противоречие. Итак, действительно, каждая бесконечная десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одной цифры 9, поставлена

всоответствие некоторому числу a 0.

Врезультате установлено взаимно однозначное соответствие между всеми неотрицательными действительными числами и всеми бесконечными десятичными дробями, не имеющими периода, состоящего только из цифры 9.

Бесконечные десятичные дроби с периодом, состоящим только из

нуля, обычно записываются в виде конечной десятичной дроби, т. е. вместо α0, α1α2...αn00...0... пишут α0, α1α2...αn.

Подчеркнем, что при конструкции соответствия (5.79)–(5.82) между неотрицательными действительными числами и десятичными дробями это соответствие оказалось взаимно однозначным в силу того, что рассматривались лишь десятичные дроби, не имеющие периода, состоящего только из цифры 9, и требовалось, чтобы никакое a не являлось правым концом ни одного отрезка In соответствующей этому числу a системы {In}. При отказе от выполнения этих условий для каждого числа, являющегося концом некоторого отрезка ранга n, существовали бы две его записи в виде бесконечной десятичной дроби:

α0, α1...αn99...9... = α0, α1...(αn + 1)00...0..., αn = 9,

например,

1 = 1, 00...0 = 0, 99...9...

Ясно, что каждой недопустимой десятичной дроби (т. е. имеющей период из одних девяток) соответствует единственная допустимая десятичная дробь, у которой последняя цифра перед началом периода из девяток увеличена на единицу, а после нее начинается период из одних нулей. Эти две дроби по определению считаются равными.

Если a > 0 и a соответствует дробь α0, α1α2...αn..., то отрицательному числу −a поставим в соответствие ту же дробь, только со знаком минус, и будем писать

Запись действительных чисел в виде (5.82) и (5.86) называется их

десятичной записью.

Бесконечные десятичные дроби ±α0, α1α2...αn..., не имеющие периода, состоящего только из одних девяток, называются допустимыми.

Из всего сказанного видно, что десятичная запись действительных чисел устанавливает между всеми действительными числами и всеми

допустимыми десятичными дробями взаимно однозначное соответствие.

Конечно, нужно не только уметь записывать каждое действительное число в виде десятичной дроби, но и уметь производить с помощью этой записи различные операции над числами: сравнивать их по величине, складывать, вычитать, умножать, делить и т.д. Перейдем к рассмотрению этих вопросов.

Пусть снова a 0 и a = α0, α1α2...αn... Введем обозначения

Из этих формул сразу следует, что если b < 0 и b = −a, a > 0, то (рис. 56)

bn = −an, bn = −an, n = 0, 1, 2, ...

(5.89)

Конечная десятичная дробь an (как в случае (5.87), так и в слу-

чае (5.88)) называется нижним десятичным приближением порядка n числа a, а дробь an — его верхним десятичным приближением

того же порядка. Очевидно, что в случае a 0 конечные десятичные дроби an и an являются концами отрезка In (см. (5.80)) последовательности вложенных отрезков {In}, поставленной в соответствие числу a = α0, α1α2...αn..., т. е.

В силу соотношений (5.89) система отрезков (5.90) является системой вложенных отрезков и при a < 0; выполняется в этом случае и неравенство (5.91). Из того, что система отрезков (5.90) является системой вложенных отрезков, следует, что

т. е. что последовательность нижних десятичных приближений представляет собой возрастающую последовательность, а верхних — убывающую.

Наконец, из (5.87) и (5.88) непосредственно следует, что

4*

100 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

а так как lim 10−n = 0, то для любого действительного числа a после-

n→∞

довательность отрезков (5.90) образует систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и единственной точкой пересечения которых является точка a. Отсюда имеем (см. замечание в п. 1.5.7)

Таким образом, доказано следующее свойство десятичных прибли-

жений.

1◦. Каково бы ни было действительное число a, последовательность его нижних десятичных приближений {an} возрастает, верхних {an} убывает, и имеет место равенство (5.94).

С л е д с т в и е. Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

В самом деле, нижние и верхние десятичные приближения любого числа, представляя собой конечные десятичные дроби, являются рациональными числами, поэтому утверждение следствия непосредственно вытекает из равенства (5.94).

Перейдем теперь к сравнению по величине действительных чисел

посредством их десятичной записи.

2◦. Если a R, b R, то a < b в том и только том случае, когда существует такое неотрицательное целое число n0, что для всех n > n0 выполняется неравенство

Если a < b, то из условия (5.94) согласно свойству 3◦ пределов (п. 1.5.3) сразу следует существование такого n0, что для n > n0 выполняется условие (5.95). Обратно, если существует такое n0, что для всех n > n0 выполняется неравенство (5.95), то, перейдя в нем к пределу при n → ∞, получим a b, но случай a = b невозможен, так как тогда в силу однозначности десятичной записи чисел для всех n = 0, 1, 2, ... имело бы место равенство an = bn, что противоречило бы условию (5.95).

Следовательно, a < b.

С помощью арифметических операций над нижними и верхними десятичными приближениями чисел можно получить нужный результат соответствующих операций над самими числами с любой наперед

заданной точностью. Это видно из следующего утверждения.

3◦. Если a R, b R, то

Эти формулы сразу следуют из равенств (5.94) и свойств пределов числовых последовательностей (п. 1.5.6). Отметим лишь, что из

5.11. Предел последовательности комплексных чисел.

Многие из понятий, введенных для последовательностей действительных чисел, обобщаются на последовательности комплексных

чисел, причем с сохранением ряда свойств.

Комплексное число z0 называется пределом последовательности комплексных чисел {zn}, если для любого ε > 0 существует такой

номер nε, что для всех n > nε выполняется неравенство

|zn − z0| < ε.

В этом случае пишут lim zn = z0 и говорят,

n→∞

что последовательность {zn} сходится к числу z0. Таким образом, по форме это определение

совершенно такое же, как для предела последовательности действительных чисел, однако геометрический смысл его иной: на комплексной плоскости неравенство |z − z0| < ε задает откры-

тый круг (т. е. круг без ограничивающей его окружности) радиуса ε

с центром в точке z0. Этот круг называется ε-окрестностью (или, короче, окрестностью) точки z0; будем его обозначать U = U (z0, ε).

Условие lim zn = z0 означает, что, какова бы ни была окрест-

n→∞

ность U точки z0, найдется такой номер n0, что все члены последовательности {zn} с номерами, большими n0, будут содержаться в этой окрестности (рис. 57). Тем самым вне этой окрестности будет находиться только конечное множество членов рассматриваемой последовательности.

т. е. сходимости к нулю последовательности действительных чисел

102 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

имеет своим пределом число z0 = x0 + y0i в том и только том случае, когда последовательности действительных {xn} и мнимых {yn} частей членов последовательности {zn} имеют своими пределами со-

ответственно x0 и y0.

Последовательность {zn} комплексных чисел называется ограниченной, если ограничена последовательность действительных чисел {|zn|} (т. е. если ограничена последовательность абсолютных величин членов данной последовательности).

На последовательности комплексных чисел обобщаются многие предложения, доказанные для последовательностей действительных чисел. Так, если последовательность комплексных чисел имеет предел, то он единствен; всякая последовательность комплексных чисел, имеющая предел, ограничена; из всякой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся; для последовательностей комплексных чисел имеет место аналог критерия Коши сходимости последовательностей действительных чисел; переносятся на последовательности комплексных чисел и свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Все это следует, например, из того, что сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости последовательностей их действительных и мнимых частей.

Аналогично случаю последовательностей действительных чисел для последовательностей комплексных чисел определяется и бесконечный предел (без знака, так как комплексные числа не имеют зна-

З а м е ч а н и е. Обычно, когда говорят, что некоторая последовательность комплексных (в частности, действительных) чисел имеет предел, то под этим подразумевают, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривается особо.

§6. Предел и непрерывность функций

6.1.Первое определение предела функции. В дальнейшем

под термином «элемент», «точка» будет пониматься либо действительное число, либо одна из бесконечностей ∞, +∞ и −∞ (бесконечно удаленные точки).

104Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Оп р е д е л е н и е 2. Пусть X R. Точка x0, для которой существует последовательность xn X, n = 1, 2, ..., имеющая своим пределом

называется точкой прикосновения множества X.

Если точка прикосновения x0 является одной из бесконечностей ∞, +∞ или −∞, то она называется также бесконечно удаленной точкой прикосновения (множества X). Очевидно, что точка

x0 = ∞ является бесконечно удаленной точкой прикосновения множества X тогда и только тогда, когда множество X неограниченно, точка x0 = +∞ — тогда и только тогда, когда множество X неограниченно сверху, а x0 = −∞ — тогда и только тогда, когда X неограниченно снизу.

Очевидно, что любая точка x0, принадлежащая самому множеству X, является его точкой прикосновения, так как стационарная последовательность xn = x0 X, n = 1, 2, ..., удовлетворяет условию (6.5). Точками самого множества не исчерпываются, вообще говоря, все его точки прикосновения: могут существовать точки прикосновения, и не принадлежащие ему. Например, точки x = a и x = b являются точками прикосновения интервала (a, b) и не содержатся в нем.

З а м е ч а н и е 1. Точка является точкой прикосновения данного множества тогда и только тогда, когда любая ее окрестность пересекается с этим множеством.

В самом деле, если x0 — точка прикосновения множества X, то существует последовательность xn → x0, xn X, n = 1, 2, ..., и, следовательно, в любой окрестности точки x0 будут содержаться все члены этой последовательности, начиная с некоторого, и они являются точками множества X.

Наоборот, если в любой окрестности точки x0 имеются точки множества X, то выберем по точке множества X в каждой окрестности U (x0, 1/n) и обозначим эти точки через xn, т. е.

xn X ∩ U (x0, 1/n), n = 1, 2, ...

Если x0 R, т. е. x0 является числом, то xn U (x0, 1/n) означает,

что |xn − x0| < 1/n. Отсюда при n → ∞ следует, что lim |xn − x0| = 0,

n→∞

т. е. lim xn = x0. Если же x0 — бесконечно удаленная точка, напри-

n→∞ 1

мер, x0 = ∞, то xn U (∞, 1/n) означает, что (см. п. 2.2) |xn| > 1/n =

= n. Отсюда при n → ∞ вытекает, что lim xn = ∞. Аналогично

n→∞

рассматриваются случаи x0 = +∞ и x0 = −∞. Таким образом, всегда

из условия xn U (x0, 1/n) следует, что lim xn = x0.

n→∞

Отметим, что нижняя и верхняя грани множества (конечные или бесконечные) являются его точками прикосновения.

либо окрестность точки β, и β — левый конец этой окрестности, следовательно, β < β, то согласно определению верхней грани множества существует такая точка x X, что β < x β. Ясно, что x U (β). Это и означает, что верхняя грань β множества X является его точкой прикосновения. Аналогично доказывается, что и нижняя грань множества является его точкой прикосновения.

Поскольку понятие предела функции f : X → R в точке x0 содержательно только тогда, когда эта точка является точкой прикосновения множества X, то в дальнейшем при рассмотрении предела функции f в точке x0 будем всегда предполагать (как правило, специально это не оговаривая), что точка x0 является точкой прикосновения множества X.

Таким образом, существует предел lim f (xn) = 1, а так как он не

n→∞

зависит от выбора последовательности xn → 0, xn X, n = 1, 2, ..., то существует и

lim f (x) = 1.

x→0

2. Рассмотрим функцию

f (x) = sin x1 .

Она определена на множестве X = R \ {0} (рис. 58). Выясним, существует ли предел lim f (x).