Краткий курс математического анализа. Том 1

ограничена, ибо для всех n > n0 выполняется неравенство

комбинация бесконечно малых последовательностей {αn} и {βn}. Поэтому бесконечно малой является и последовательность

как произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую.

Следовательно, из равенства (5.48) вытекает, что

5.7. Монотонные последовательности.

О п р е д е л е н и е 8. Верхняя (нижняя) грань множества значе-

ний числовой последовательности {xn} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается sup {xn} (соответственно inf {xn}).

Иначе говоря, если xn R, n = 1, 2, ..., и если β = sup {xn}, то:

1)для всех n N имеет место неравенство xn β;

2)для любого β < β существует такое n0 N, что xn0 > β .

Аналогично, если α = inf {xn}, то:

1)для всех n N имеет место неравенство xn α;

2)для любого α > α существует такое n0 N, что xn0 < α .

П р и м е р ы.

О п р е д е л е н и е 9. Числовая последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей), если для всех n N выполняется

неравенство xn xn+1 (соответственно неравенство xn xn+1). Возрастающая (убывающая) последовательность обозначается xn ↑ (соответственно xn ↓). Если возрастающая (убывающая) последователь-

ность имеет предел, равный a, то пишут xn ↑ a (соответственно xn ↓ a). Последовательность {xn} называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех n N выполняется неравенство

xn < xn+1 (соответственно неравенство xn > xn+1). Строго возрастающая (строго убывающая) последовательность обозначается xn ↑↑ (соответственно xn ↓↓).

а это и означает, что β является пределом последовательности {xn}. Аналогично рассматривается случай xn ↓ .

З а м е ч а н и е. Если [an, bn], n = 1, 2, ..., — система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, а ξ — точка, принадлежащая всем отрезкам этой системы, то

В самом деле, последовательность {an} возрастает, а {bn} убывает, кроме того (см. (4.25) в п. 1.4.5), было показано, что ξ = sup {an} = = inf {bn}. Поэтому равенство (5.55) сразу следует из теоремы 3.

П р и м е р 6 (число e). Рассмотрим последовательность

1 n

xn = 1 + n , n = 1, 2, ...,

и покажем, что она строго возрастает и ограничена сверху, а следовательно, согласно теореме 3 имеет конечный предел.

Применив формулу бинома Ньютона, получим

Из выражения, стоящего в правой части равенства, видно, что при переходе от n к n + 1 число слагаемых (которые все положительны) в написанной сумме возрастает на единицу и каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличивается, так как становится больше выражение, стоящее в каждых круглых скобках, ибо

Это означает строгое возрастание последовательности (5.56):

90 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(мы заменили сумму конечной геометрической прогрессии суммой бесконечной геометрической прогрессии, так как у последней проще формула). Итак,

т. е. последовательность (5.56) ограничена сверху. Из (5.58) и (5.61) следует, что она имеет конечный предел. Он обозначается через e:

Поскольку 2 < xn < 3 и xn ↑, то 2 < e 3. Можно показать, что e — иррациональное число и что с точностью до 10−15

e≈ 2, 718 281 828 459 045.

5.8.Принцип компактности. Если дана последовательность {xn} и из некоторых ее членов xnk , взятых в порядке возрастания

равносильно nk > nk ), составлена новая после-

довательность {xnk }, то она называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

В подпоследовательности {xnk } k является номером члена этой последовательности, а nk — его номером в исходной последователь-

ности. Ясно, что для всех k = 1, 2, ... имеет место неравенство nk k,

и поэтому lim nk = +∞.

k→∞

Подпоследовательности {xnk } последовательности {xn} считаются различными, если они соответствуют различным наборам номеров {nk }. Различные подпоследовательности одной и той же последовательности, рассматриваемые как последовательности, могут оказаться одинаковыми. Так, последовательность xn = 0, n = 1, 2, ..., как и любая последовательность, имеет бесконечно много различных подпоследовательностей (можно, например, выбрать четные номера, нечетные, кратные трем, четырем и т. д.), но все эти подпоследовательности как последовательности совпадают, очевидно, с данной последовательностью xn = 0, n = 1, 2, ...

Выше было показано (см. п. 1.5.4), что если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Обратное, конечно, неверно. Например, последовательность xn = (−1)n, n = 1, 2, ..., ограничена, но не имеет предела. Вместе с тем, если вся ограниченная последовательность не имеет предела, то у нее всегда

существует подпоследовательность, которая имеет предел. Точнее, имеет место следующий факт.

Те о р е м а 4. Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной сверху (неограниченной снизу) числовой последовательности — последовательность, имеющую своим пределом +∞ (соответственно −∞).

Рассмотрим сначала случай, когда последовательность {xn} ограничена, т. е. существуют такие a R и b R, что для всех номеров n выполняется неравенство a xn b.

Разделим отрезок [a, b] на два равных отрезка точкой a + b . Тогда

2

по крайней мере на одном из них — обозначим его [a1, b1] — окажется бесконечно много членов последовательности {xn}. Выберем произвольно какой-либо член этой последовательности, содержащийся в отрезке [a1, b1]. Пусть его номер равен n1:

Снова разделим отрезок [a1, b1] на два равных отрезка и тот из них, на котором лежит бесконечно много членов последовательности (по крайней мере для одного из них это условие выполняется), обозначим [a2, b2]. Поскольку на отрезке [a2, b2] лежит бесконечно много членов последовательности {xn}, то среди них заведомо есть члены с номерами, большими чем n1. Выберем один из таких членов. Если его номер n2, то

Продолжая этот процесс, получим такую подпоследовательность {xnk } (т. е. n1 < n2 < ... < nk < ...) последовательности {xn}, что

Врезультате получилась система вложенных отрезков [ak , bk ], k =

=1, 2, ..., длины которых стремятся к нулю. Поэтому (см. п. 1.4.5) существует единственная точка ξ, принадлежащая всем этим отрезкам,

5.9. Критерий Коши. В этом пункте дается критерий 1) сходимости последовательности, т. е. критерий существования у нее конечного предела, в терминах только самих членов данной последовательности, иначе говоря, без привлечения значения самого предела.

О п р е д е л е н и е 11. Числовая последовательность {xn}, n = 1, 2, ..., называется фундаментальной последовательностью, если она

удовлетворяет следующему условию: для любого ε > 0 существует такой номер n0, что для всех n > n0 и m > n0 выполняется неравенство

Это условие называется условием Коши 2). Его можно записать в несколько другом виде: для любого ε > 0 существует такой номер n0, что для всех n > n0 и всех целых p 0 выполняется неравенство

Чтобы убедиться в равносильности этих утверждений, достаточно заметить, что из двух номеров m и n всегда один не превышает другого, например, m n, и тогда, положив p = m − n, мы перейдем от записи (5.73) к записи (5.72).

Докажем несколько лемм о фундаментальных последовательностях.

Л е м м а 2. Если последовательность имеет конечный предел, то она фундаментальная.

Действительно, если последовательность {xn} сходящаяся и a —

ее предел: lim xn = a, то согласно определению предела для любого

n→∞

ε > 0 существует такой номер n0, что для всех n > n0 выполняется неравенство

Л е м м а 3. Если последовательность фундаментальная, то она ограниченная.

Действительно, пусть последовательность {xn} фундаментальная. Тогда согласно условию Коши существует такой номер n0, что для всех m > n0 и n > n0 имеет место неравенство

1) Термин «критерий» употреблен здесь в смысле «необходимое и достаточное условие».

2) О. Кош´и (1789–1857) — французский математик.

94 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(в условии Коши (см. определение 11) можно взять любое ε > 0; мы

взяли здесь ε = 1). В частности, при m = n0 + 1 из (5.75) следует, что |xn − xn0+1| < 1, или

xn0+1 − 1 < xn < xn0+1 + 1, n = n0 + 1, n0 + 2, ...,

т. е. последовательность xn0+1, xn0+2, ..., получающаяся из данной последовательности {xn} отбрасыванием первых ее n0 членов x1, x2, ...

..., xn0 , является ограниченной последовательностью. Поэтому ограничена, очевидно, и вся последовательность {xn}.

Л е м м а 4. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то ее предел является и пределом всей последовательности.

Пусть {xn} — фундаментальная последовательность, {xnk } — ее сходящаяся подпоследовательность и

Зададим произвольно ε > 0. Согласно условию Коши существует такой номер n0, что для всех n, m > n0 выполняется неравенство

В силу определения подпоследовательности имеем lim nk = ∞.

k→∞

Поэтому существует такой номер k0, что nk0 > n0, а так как в подпоследовательности сохраняется тот же порядок членов, что и в самой последовательности, то при k > k0 выполняется и неравенство nk > nk0 . Следовательно, при k > k0 имеет место неравенство

Таким образом при всех n > n0 и k > k0 справедливо неравенство

|xn − xnk | < 2ε .

(5.77) (5.78)

Перейдя здесь к пределу при k → ∞, в силу условия (5.76) получим, что для всех n > n0 выполняется неравенство

|xn − a| 2ε < ε.

Это и означает, что lim xn = a.

k→∞

Те о р е м а 5 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Действительно, необходимость выполнения условия Коши для сходящейся последовательности составляет содержание леммы 2.

Если же последовательность удовлетворяет условию Коши, т. е. является фундаментальной, то согласно лемме 3 она ограничена, и, следовательно, в силу принципа компактности (см. теорему 4) из нее можно выделить подпоследовательность, имеющую конечный предел. Тогда из леммы 4 следует, что вся заданная последовательность сходится к тому же пределу.

У п р а ж н е н и е. Доказать, что не всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет рациональный предел.

5.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Пусть задано действительное число a 0.

В силу принципа Архимеда существует натуральное число n > a. В множестве чисел 1, 2, ..., n возьмем наименьшее среди тех, которые больше числа a, т. е. такое натуральное число n0, что

n0 − 1 a < n0.

Обозначим n0 − 1 через α0, а отрезок [α0, α0 + 1] — через I0. Тогда

чим через I1 тот из двух соседних отрезков, для которого точка a является

левым концом (целесообразность такого выбора будет пояснена ниже). Итак, в обоих случаях точка a лежит на отрезке I1 и не является его правым концом.

96 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Разобьем отрезок I1, в свою очередь, на десять равных отрезков и обозначим через I2 = [α0, α1α2; α0, α1α2 + 10−2] тот из них, который

содержит точку a, причем она не является его правым концом. Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков

содержащих точку a, причем она не является правым концом ни одного из них:

n→∞

является единственной точкой, принадлежащей всем отрез кам In, n = 1, 2, ... Отрезок In будем называть отрезком ранга n.

Таким образом, каждому действительному числу a 0 однозначным образом поставлена в соответствие последовательность вложенных отрезков {In}, длины которых стремятся к нулю. А именно,

При этом разным числам оказываются поставленными в соответствие разные последовательности вложенных отрезков {In}, так как в силу стремления к нулю длин отрезков In пересечение рассматриваемой последовательности {In} состоит из единственной точки a и, следовательно, разные точки числовой прямой принадлежат разным последовательностям {In}, т. е. на некотором n-м шаге они окажутся в разных отрезках ранга n.

Каждая последовательность {In}, очевидно, полностью описывается последовательностью своих левых концов α0, α1α2...αn (правый конец получается добавлением числа 10−n к левому концу), n = 1, 2, ..., а следовательно, и бесконечной десятичной дробью α0, α1α2...αn..., так как левый конец каждого отрезка In получается из этой бесконечной десятичной дроби отбрасыванием всех ее цифр после запятой, начиная с (n + 1)-й.

В результате каждому действительному числу a 0 оказывается поставленной в соответствие указанным образом бесконечная десятичная дробь α0, α1α2...αn... Если числу a соответствует дробь

Подчеркнем, что в этой записи через a0 обозначается соответствующее

неотрицательное целое число, а через an, n = 1, 2, ..., — одна из цифр

0, 1, 2, ..., 9.