Краткий курс математического анализа. Том 2

Отсюда следует, что интегралы (51.46) одновременно сходятся или расходятся.

Интегралы (51.45) отличаются от интегралов (51.46) на заведомо сходящиеся интегралы

их сходимость, см. замечание в п. 29.5, следует из того, что если абсолютно интегрируемую на некотором отрезке функцию умножить на функцию, интегрируемую по Риману и, следовательно, ограниченную на этом отрезке, то получится снова абсолютно интегрируемая функция; в рассматриваемом случае абсолютно интегрируемая функция f умножается даже на непрерывные на отрезке [η, π] со-

лов (51.47) сходится или расходится одновременно с соответствующим интегралом (51.46).

Оп р е д е л е н и е 1. Пусть функция f задана на интервале (x, x +

+δ), δ > 0, и существует конечный предел f (x + 0). Правосторонней производной (или, что то же самое, производной справа) f+(x) функ-

ции f в точке x называется конечный или бесконечный предел (если

Аналогично для функции f , заданной на интервале вида (x − δ, x),

δ > 0, у которой существует конечный предел f (x − 0), определяется

левосторонняя производная (производная слева) f−(x) функции f

Производные справа и слева функции называются ее односторонними производными.

О п р е д е л е н и е 2. Функция f называется кусочно-дифференци- руемой на отрезке [a, b], если она определена во всех его точках

и существует такое его разбиение τ = {xi}ii==i0τ , что функция f дифференцируема на всех интервалах (xi−1, xi) и существуют конечные односторонние производные f+(xi−1), f−(xi), i = 1, 2, ..., iτ .

Ясно, что в этом случае согласно определению 1 у функции существуют конечные пределы f (xi−1 + 0), f (xi − 0), i = 1, 2, ..., iτ . Поэто-

му кусочно-дифференцируемая на отрезке функция кусочно-непре- рывна, а следовательно, и интегрируема по Риману на этом отрезке.

10*

292 Гл. 6. Гармонический анализ

Введем еще обозначение

Очевидно, что если функция f периодическая и абсолютно интегрируемая на периоде, то при любом фиксированном x функция fx (t) как функция переменного t будет также периодической с тем же периодом и абсолютно интегрируемой на периоде.

Т е о р е м а 5 (признак Дини 1)). Пусть функция f — 2π-периоди- ческая и абсолютно интегрируемая на периоде. Тогда если x является точкой непрерывности или точкой разрыва первого рода функ-

0

то ряд Фурье функций f сходится в точке x к значению

f (x + 0) + f (x − 0) ,

2

вчастности, в точке непрерывности — к значению f (x) функции f

вэтой точке.

Сл е д с т в и е 1. Если f — 2π-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция и в точке x существуют конечные од-

носторонние производные f+(x) и f−(x), то ряд Фурье функции f сходится в точке x к значению

f (x + 0) + f (x − 0) .

2

С л е д с т в и е 2. Ряд Фурье кусочно-дифференцируемой на отрезке [−π, π] функции f сходится в каждой точке интервала (−π, π)

Отсюда следует, что ряд Фурье непрерывной кусочно-дифференци- руемой и 2π-периодической функции сходится во всех точках числовой оси к самой функции.

1) У. Дини (1845–1918) — итальянский математик.

Использовав представление сумм Фурье функции f в виде (51.40) и воспользовавшись свойствами ядра Дирихле (лемма 2 п. 51.4), будем иметь

Поскольку по условию теоремы интеграл (51.49) сходится, то соглас-

Докажем следствие 1.

Пусть в некоторой фиксированной точке x существуют односторонние производные f+(x) и f−(x), а функция f абсолютно интегрируемая на периоде. Так как

0

π

|f (t)|

в смысле Римана (почему?), а интеграл x dt абсолютно сходится t

δ

как интеграл от произведения абсолютно интегрируемой на отрезке [δ, π] функции fx (t) на непрерывную на этом отрезке функцию 1/t (см. замечание в п. 29.5). Следовательно, абсолютно сходится инте-

Докажем теперь следствие 2.

Если функция f кусочно-дифференцируема на отрезке [−π, π], то после ее периодического продолжения с полуинтервала [−π, π) на всю числовую ось она будет удовлетворять условиям следствия 1 (при этом она будет интегрируема даже по Риману на отрезке [−π, π]), и, следовательно, для всех точек x (−π, π) будет иметь место равенство (51.51). Что же касается точек x = ±π, то, например, для x = π, заметив, что в силу периодичности функции f имеет место равенство f (π + 0) = f (−π + 0), получим

З а м е ч а н и е. В достаточных условиях сходимости рядов Фурье, сформулированных в следствиях теоремы 5, присутствуют некоторые дифференциальные свойства функции. Это не случайно, так как если функция f только кусочно-непрерывна или даже, более того, непрерывна на отрезке [−π, π] и f (−π) = f (π), то может случиться, что ее ряд Фурье в некоторых точках расходится 1).

При разложении функций в ряд Фурье полезно иметь в виду, что из формул (51.5) для коэффициентов Фурье непосредственно следует (докажите это), что для нечетной функции все коэффициенты при косинусах и свободный член, а для четной — все коэффициенты при синусах равны нулю.

В качестве примера рассмотрим разложение в ряд Фурье функции f (x) = sh x. Эта функция непрерывно дифференцируема на отрезке [−π, π], поэтому, согласно следствию 2 теоремы 5, ее ряд Фурье сходится во всех точках числовой оси, причем его сумма является, как и сумма всякого сходящегося тригонометрического ряда, 2π-пери- одической функцией. При этом в точках интервала (−π, π) он сходится к значению функции sh x, а на его концах x = −π и x = π — к числу

1) Соответствующие примеры функций можно найти, например, в книге: Б а р и Н. К. Тригонометрические ряды — М.: Физматгиз, 1961.

sh (−π) + sh π

2

функции в ряд Фурье, можно получить его сумму. Графики функции f (x) = sh x и суммы s(x) ее ряда

Фурье изображены на рис. 67. Найдем теперь ряд Фурье

функции f (x) = sh x. Поскольку она нечетная, то в ее ряд Фурье будут входить только члены с синусами, т. е.

an = 0, n = 0, 1, 2, ...

Найдем коэффициенты Фурье

bn, n = 1, 2, ... (для вычисления получающихся интегралов можно,

например, применить метод интегрирования по частям; см. п. 22.4):

−π

Поэтому

Отметим, в частности, что полученный ряд сходится на всем отрезке [−π, π], но заведомо не равномерно, так как его члены являются непрерывными функциями, а его сумма имеет разрывы на концах этого отрезка.

51.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Пусть функция f имеет период 2π, абсолютно ин-

тегрируема на периоде и Sn(x) = Sn(x; f ) — ее суммы Фурье, n = = 0, 1, 2, ... Положим

(Dk(x), k = 1, 2, ..., n, — как всегда, ядра Дирихле). Сумма σn(x)

называется суммой Фейера 1) порядка n, а Φn(x) — ядром Фейера, n = 0, 1, ...

1) Л. Фейер — венгерский математик.

Функция f , будучи непрерывной на отрезке [−π, π], равномерно непрерывна на нем. Поскольку при периодическом продолжении значения функции периодически повторяются, то периодическое продолжение функции f равномерно непрерывно на всей числовой оси.

Действительно, функция f непрерывна на отрезке [0, 4π] и, следовательно, равномерно непрерывна на нем. Поэтому для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что, как только |x2 − x1| < δ, x1 [0, 4π], x2 [0, 4π], выполняется неравенство

Это и означает равномерную непрерывность функции f на всей числовой оси R.

Те о р е м а 6 (Фейер). Если функция f непрерывна на отрезке [−π, π] и принимает на его концах равные значения, f (−π) = f (π), то последовательность ее сумм Фейера равномерно сходится на этом отрезке к самой функции.

С л е д с т в и е. Если ряд Фурье непрерывной на отрезке [−π, π] функции, принимающей одинаковые значения на его концах, сходится в некоторой точке, то он сходится в ней к значению функции.

Функция f непрерывна на отрезке [−π, π] и принимает на его концах одинаковые значения, поэтому ее 2π-периодическое продолжение равномерно непрерывно на всей действительной оси.

Отсюда явствует, что для любого x и произвольно заданного ε > > 0 существует такое δ > 0, что для любого t при условии |t| < δ выполняется неравенство

Представим интеграл, стоящий в правой части неравенства (51.64), в виде суммы следующих трех интегралов:

Два других интеграла в (51.66) оцениваются одинаковыми способами:

π π

Φn(t)|f (x + t) − f (x)| dt Φn(t)[|f (x + t)| + |f (x)|] dt

(51.60)

при n → ∞ согласно (51.59). Аналогично,

δ

Φn(t)|f (x + t) − f (x)| dt → 0

−π

при n → ∞. Поэтому существует такой номер n0, что для всех номеров n > n0 выполняются неравенства:

−π