Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Л-1,2 Комп. числа.doc
Скачиваний:
83
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
743.42 Кб
Скачать

1.2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Пусть комплексное число имеет модуль и главный аргумент. Используя формулы (4), получим

. (5)

Определение 2. Представление комплексного числав виде (5) называется

тригонометрической формой числа .

В случае, когда - действительное число, т.е., тригонометрическая форма имеет видприипри; приможет быть каким угодно.

Для простоты письма введем сокращенное обозначение:

,

тогда тригонометрическая форма (5) примет компактный вид:

. (6)

Определение 3. Представление комплексного числав виде (6) называется

показательной формой числа ..

Пример.Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:

1) ; 2); 3).

Решение.1) Находим модуль данного числа:. Далее, так как,, то. Итак,

.

2) Имеем ,(точка, изображающая данное число, принадлежит положительной части мнимой оси). Поэтому

.

3) Находим ,(данное число является отрицательным действительным числом). Значит,

.

1.2.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Тригонометрическую и показательную форму комплексного числа удобно использовать при выполнении операции умножения и деления комплексных чисел.

Пусть

(7)

- комплексные числа, заданные в тригонометрической форме и показательной формах. Пользуясь элементарными формулами тригонометрии и определением умножения, для произведения в тригонометрической форме получим соотношение

откуда

(8)

Для показательной формы имеем:

(8*)

Из равенства (8) и (8*) следует, что при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей

, (9)

а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей

. (10)

Используя метод математической индукции, можно распространить формулы (8) и (8*) на любое число псомножителей:

(11)

или

(11*)

Пример.Выполнить умножение.

Решение. Сначала найдем модуль и аргумент числа. Имеем,. Запишемв тригонометрической и показательной форме:

;.

Теперь воспользуемся формулой (8)

или

.

Формула Муавра.

Полагая в формулах (11) и (11*) , получим

(12)

и

(12*)

Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.

Пример.Найти.

Решение.Представим числов тригонометрической форме и применим формулу Муавра:

Для показательной формы имеем:

.

Следовательно, .

1.2.4 Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Для тригонометрической формы комплексных чисел 1 и 2, где, рассмотрим число

.

Согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем

т.е. или. Итак, для тригонометрической формы комплексных чисел имеем:

. (13)

Для показательной формы имеем

и

(13*)

Из равенств (13) и (13*) получаем, что при делении комплексных чисел модуль частного равен отношению модулей

, (14)

а аргумент частного равен разности аргументов числителя и знаменателя

. (15)

Пример.Выполнить деление.

Решение.Так как числа записаны в тригонометрической форме, то по формуле (13) имеем:

Запишем решение в показательной форме: