
- •Раздел 1. Комплексные числа.
- •1.1.1 Основные определения.
- •Арифметические действия над комплексными числами. Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
- •1.1.4 Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость.
- •1.2 Тригонометрическая форма комплексного числа и
- •1.2.1. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •1.2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
- •1) ; 2); 3).
- •1.2.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
- •Формула Муавра.
- •1.2.4 Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
- •1.2.5 Извлечение корня любой степени из комплексного числа.
1.2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Пусть
комплексное число
имеет модуль
и главный аргумент
.
Используя формулы (4), получим
.
(5)
Определение 2. Представление комплексного числав виде (5) называется
тригонометрической формой числа .
В случае,
когда -
действительное число, т.е.,
тригонометрическая форма имеет вид
при
и
при
;
при
может быть каким угодно.
Для простоты письма введем сокращенное обозначение:
,
тогда тригонометрическая форма (5) примет компактный вид:
.
(6)
Определение 3. Представление комплексного числав виде (6) называется
показательной формой числа ..
Пример.Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:
1) ; 2); 3).
Решение.1) Находим модуль данного числа:.
Далее, так как
,
,
то
.
Итак,
.
2) Имеем
,
(точка, изображающая данное число,
принадлежит положительной части мнимой
оси). Поэтому
.
3) Находим
,
(данное число является отрицательным
действительным числом). Значит,
.
1.2.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Тригонометрическую и показательную форму комплексного числа удобно использовать при выполнении операции умножения и деления комплексных чисел.
Пусть
(7)
-
комплексные числа, заданные в
тригонометрической форме и показательной
формах. Пользуясь элементарными
формулами тригонометрии и определением
умножения, для произведения
в тригонометрической форме получим
соотношение
откуда
(8)
Для показательной формы имеем:
(8*)
Из равенства (8) и (8*) следует, что при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей
,
(9)
а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей
. (10)
Используя метод математической индукции, можно распространить формулы (8) и (8*) на любое число псомножителей:
(11)
или
(11*)
Пример.Выполнить умножение.
Решение.
Сначала найдем модуль и аргумент числа.
Имеем
,
.
Запишем
в тригонометрической и показательной
форме:
;
.
Теперь
воспользуемся формулой (8)
или
.
Формула Муавра.
Полагая в формулах (11) и (11*)
,
получим
(12)
и
(12*)
Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.
Пример.Найти.
Решение.Представим числов
тригонометрической форме и применим
формулу Муавра:
Для показательной формы имеем:
.
Следовательно,
.
1.2.4 Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Для
тригонометрической формы комплексных
чисел 1
и 2, где,
рассмотрим число
.
Согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем
т.е.
или
.
Итак, для тригонометрической формы
комплексных чисел имеем:
.
(13)
Для показательной формы имеем
и
(13*)
Из
равенств (13) и (13*) получаем, что при
делении комплексных чисел
модуль частного равен отношению
модулей
,
(14)
а аргумент частного равен разности аргументов числителя и знаменателя
.
(15)
Пример.Выполнить деление.
Решение.Так как числа записаны в тригонометрической форме, то по формуле (13) имеем:
Запишем решение в показательной форме: