4.5 Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа.

Пусть элемент определителя. Черезобозначим дополнительный минор элемента.- это определитель-го порядка, полученный из определителяпутем вычеркиванияi-ой строки иj-го столбца. Черезобозначим алгебраическое дополнение элемента. По определению.

Теорема 1. Определительп-го порядка равен сумме произведений всех элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

,

.

Доказательство. Выберем какую-либо, например,i-ю, строку определителяи составим произведения.Каждое такое произведение является суммойразличных членов определителя. При этом разные произведенияине имеют общих членов определителя, так как члены произведенияизi-й строки имеют множитель, а члены произведения- множитель. Общее число членов определителя, входящих в произведения, равнои исчерпывает все члены определителя. Этим доказано равенство. Равенство для столбцов доказывается аналогично.

Теорема 2.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.

Доказательство.В определителеп-го порядка выберем какую-либо, например,k-ю строку и вычислим разложение определителя по этой строке

.

Заменив в правой части этого разложения множители элементамиi-й строкиопределителя, получим выражение

=0.

Здесь определитель равен нулю, как определитель с одинаковыми строками i-й иk-й, т.е. равенство, доказано.

Теорема 3 (теорема Лапласа).Пусть в определителеп-го порядка произвольно выбраныkстрок (или столбцов),. Тогда сумма произведений всех миноровk-го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Следствие.

,

Доказательство.Разлагая этот определитель по теореме Лапласа по первымkстрокам, получим: