Линейная алгебра N 14

Пример 5. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему функций

из линейного пространства .

Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее нулевому элементу пространства , который представлен функцией тождественно равной нулю.

.

Полученное равенство должно выполняться для всех . Это возможно, только если все коэффициенты при различных степенях равны нулю, т.е.

. - главный определитель этой системы. Т.к. он отличен от нуля система имеет только одно решение. Это решение .

Следовательно, заданная система функций линейно независима.

Домашнее задание.

1. Доказать, что множество с обычными для векторов операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует линейное пространство.

2. Доказать, что множество всех матриц вида с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число образует линейное пространство.

3. Проверить линейную зависимость (независимость) системы векторов из пространства .

4. Проверить линейную зависимость (независимость) системы функций из линейного пространства .