
- •1. Задание на проектирование
- •2. Анализ, формальная постановка и описание метода решения
- •2.1 Нелинейные и трансцендентные уравнения
- •2.2 Локализация корней
- •2.3 Уточнение корней
- •2.4 Методы уточнения корней
- •2.4.1 Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.4.2 Метод хорд
- •2.4.3 Метод Ньютона (метод касательных)
- •2.4.3.1 Сходимость метода Ньютона
- •2.4.3.2 Выбор начального приближения в методе Ньютона
- •2.4.4 Модифицированный метод Ньютона
- •2.4.5 Метод секущих
- •2.4.6 Метод простых итераций
- •3. Разработка алгоритма решения задачи
- •4. Реализация разработанного алгоритма
- •5. Тестирование разработанной программы
- •5.1 Ручной расчёт тестового примера
- •5.2 Решение тестовой задачи в MatLab
2.4.3.1 Сходимость метода Ньютона
Выясним
основные условия сходимости
последовательности значений
,
вычисляемых по формуле (2.15), к корню
уравнения (2.1). Предполагая, что
дважды непрерывно дифференцируема,
разложим
в ряд Тейлора в окрестности k-го приближения
.
Разделив
последнее соотношение на
и перенеся часть слагаемых из левой
части в правую, получим:
.
Учитывая,
что выражение в квадратных скобках
согласно (2.15) равно
,
переписываем это соотношение в виде
.
Отсюда
.
(2.16)
Из (2.16) следует оценка
,
(2.17)
где
,
.
Очевидно, что ошибка убывает, если
.
(2.18)
Полученное условие означает, что сходимость зависит от выбора начального приближения.
Оценка (2.17) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.
2.4.3.2 Выбор начального приближения в методе Ньютона
Как
следует из условия (2.18) сходимость
итерационной последовательности,
получаемой в методе Ньютона, зависит
от выбора начального приближения
.
Это можно заметить и из геометрической
интерпретации метода. Так, если в качестве
начального приближения взять точку
(рис. 2.9), то на сходимость итерационного
процесса рассчитывать не приходится.
Если
же в качестве начального приближения
выбрать точку
,
то получим сходящуюся последовательность.
В
общем случае, если задан отрезок
,
содержащий корень, и известно, что
функция
монотонна на этом отрезке, то в качестве
начального приближения
можно выбрать ту границу отрезка
,
где совпадают знаки функции
и второй производной
.
Такой выбор начального приближения
гарантирует сходимость метода Ньютона
при условии монотонности функции на
отрезке локализации корня.
2.4.4 Модифицированный метод Ньютона
Рассмотренный
выше метод Ньютона требует вычисления
производной
на каждом шаге. В некоторых случаях это
может существенно снизить эффективность
метода (в смысле затрат машинного
времени). Поэтому в тех случаях, когда
вычисление производной сопряжено с
существенными затратами машинного
времени, используют модифицированный
метод Ньютона, в котором производная
вычисляется только в точке начального
приближения
:
.
(2.19)
2.4.5 Метод секущих
Еще
одна модификация метода Ньютона связана
с приближенным вычисление производной
в окрестности точки
по формуле
.
Подставляя это выражение в формулу Ньютона (2.15), приходим к формуле
,
,
(2.20)
которая определяет метод секущих. Название метода связано с его геометрической интерпретацией (см. рис. 2.10).
Секущая,
проведенная через точки
и
,
пересекает ось абсцисс в точке
,
значение которой определяется формулой
(2.20).
Для
того, чтобы начать итерационный процесс
в методе секущих необходимо задать два
начальных приближения: нулевое
и первое
.
На
практике, как правило, поступают следующим
образом: нулевое приближение выбирают
аналогично выбору начального приближения
в методе Ньютона, а в качестве первого
приближения выбирают величину
,
где
– заданная погрешность. Эти значения
используются для нахождения последующего
(второго) приближения
по формуле (2.20).
Затем,
значения
и
используют для определения третьего
приближения
и т.д. Альтернативно, в качестве нулевого
и первого приближений могут быть выбраны
границы отрезка локализации корня, если
они известны. В этом случае первая
итерация метода секущий даст результат,
аналогичный методу хорд. Для завершения
итерационного процесса можно
воспользоваться условием (2.14). Метод
секущих несколько уступает методу
Ньютона в скорости сходимости, однако
он не требует вычисления производной
и поэтому оказывается особенно полезным
в тех случаях, когда получение
аналитического выражения для производной
затруднено или невозможно, например,
если функции
получена в ходе численных расчетов, а
не задана аналитически.
По
алгоритму метод секущих близок к методу
хорд, однако в отличие от последнего
начальные приближения в методе секущих
могут располагаться как с разных сторон
от корня, так и с одной стороны; кроме
того при уточнении корня не проверяются
знаки функции
.