-
Операции над множествами
Во многих случаях удается избежать противоречий наивной теории множеств, если выбрать некоторое так называемое универсальное множество и ограничиться рассмотрением только его подмножеств.
Если некоторые множества взять в качестве исходных, то из них можно получить новые с помощью следующих операций.
Объединением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :
.
Вместо символа объединения используется также символ +.
Пересечением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств и :
.
Для операции пересечения используются также другие обозначения:
.
Аналогично определяются объединение и пересечение произвольной совокупности множеств , . Здесь – множество индексов. Если – множество первых натуральных чисел, то употребляются обозначения и , а в случае если , то будем писать и .
Разностью множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих:
.
В отличие от двух предыдущих операций разность некоммутативна: . Если , то .
Симметрической разностью множеств и (обозначение ) называется множество элементов и , которые содержатся только в одном из этих множеств:
.
Дополнением к множеству (обозначение ) относительно универсального множества называется множество:
или .
Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. Так как операция разности не обладает свойством ассоциативности, то ее выражают через другие операции, например, операции дополнения и пересечения:
.
Универсальное множество позволяет геометрически изображать множества и операции над ними с помощью диаграмм Венна (рис. 1).
Рис. 1. Диаграммы Венна
-
Теоретико-множественные тождества
Пусть – универсальное множество, а – его подмножества. Тогда имеют место следующие тождественные равенства.
ассоциативность объединения и пересечения.
коммутативность объединения и пересечения.
дистрибутивность.
идемпотентность.
законы де Моргана.
дополнимость.
13. – закон двойного дополнения.
существование универсальных границ.
законы дополнения.
Приведенная система тождеств является полной в том смысле, что любое соотношение между множествами является следствием этих тождеств: Справедливость равенств 1 – 19 можно установить, используя принцип равнообъёмности, согласно которому нужно доказать, что множества, стоящие в левой и правой частях равенства состоят из одних и тех же элементов. В качестве примера приведем доказательство равенства 9. Остальные тождества доказываются аналогично. Имеем:
-
Прямое произведение множеств
Прямым произведением множеств и называют множество , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , такие, что , :
Эта операция над множествами, в отличие от рассмотренных ранее, изменяет природу элементов: в новом множестве элементами являются пары.
Прямое произведение в общем случае не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , .
Пусть теперь даны множеств: . Упорядоченный набор из элементов, таких, что , ,…, , называется вектором или кортежем. Множество таких векторов представляет собой прямое произведение множеств :
Если , то множество называется степенью (прямой) множества и обозначается через .
Проекцией вектора на -ю ось (обозначение ) называется его компонента. Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины (обозначение ).
Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов на -ю ось: . Аналогично определяется проекция множества на несколько осей: .
Пример 1. Пусть .Тогда прямым произведением является множество точек плоскости, то есть пар вида , где и являются координатами точек плоскости.
Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Р. Декартом, является исторически первым примером прямого произведения. Потому прямое произведение называют также декартовым.
Пример 2. Пусть , . Тогда – множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски.