4. Операции над множествами

Во многих случаях удается избежать противоречий наивной теории множеств, если выбрать некоторое так называемое универсальное множество и ограничиться рассмотрением только его подмножеств.

Если некоторые множества взять в качестве исходных, то из них можно получить новые с помощью следующих операций.

Объединением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :

.

Вместо символа объединения используется также символ +.

Пересечением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств и :

.

Для операции пересечения используются также другие обозначения:

.

Аналогично определяются объединение и пересечение произвольной совокупности множеств , . Здесь – множество индексов. Если – множество первых натуральных чисел, то употребляются обозначения и , а в случае если , то будем писать и .

Разностью множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих:

.

В отличие от двух предыдущих операций разность некоммутативна: . Если , то .

Симметрической разностью множеств и (обозначение ) называется множество элементов и , которые содержатся только в одном из этих множеств:

.

Дополнением к множеству (обозначение ) относительно универсального множества называется множество:

или .

Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. Так как операция разности не обладает свойством ассоциативности, то ее выражают через другие операции, например, операции дополнения и пересечения:

.

Универсальное множество позволяет геометрически изображать множества и операции над ними с помощью диаграмм Венна (рис. 1).

Рис. 1. Диаграммы Венна

5. Теоретико-множественные тождества

Пусть – универсальное множество, а – его подмножества. Тогда имеют место следующие тождественные равенства.

ассоциативность объединения и пересечения.

коммутативность объединения и пересечения.

дистрибутивность.

идемпотентность.

законы де Моргана.

дополнимость.

13. – закон двойного дополнения.

существование универсальных границ.

законы дополнения.

Приведенная система тождеств является полной в том смысле, что любое соотношение между множествами является следствием этих тождеств: Справедливость равенств 1 – 19 можно установить, используя принцип равнообъёмности, согласно которому нужно доказать, что множества, стоящие в левой и правой частях равенства состоят из одних и тех же элементов. В качестве примера приведем доказательство равенства 9. Остальные тождества доказываются аналогично. Имеем:

6. Прямое произведение множеств

Прямым произведением множеств и называют множество , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , такие, что , :

Эта операция над множествами, в отличие от рассмотренных ранее, изменяет природу элементов: в новом множестве элементами являются пары.

Прямое произведение в общем случае не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , .

Пусть теперь даны множеств: . Упорядоченный набор из элементов, таких, что , ,…, , называется вектором или кортежем. Множество таких векторов представляет собой прямое произведение множеств :

Если , то множество называется степенью (прямой) множества и обозначается через .

Проекцией вектора на -ю ось (обозначение ) называется его компонента. Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины (обозначение ).

Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов на -ю ось: . Аналогично определяется проекция множества на несколько осей: .

Пример 1. Пусть .Тогда прямым произведением является множество точек плоскости, то есть пар вида , где и являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Р. Декартом, является исторически первым примером прямого произведения. Потому прямое произведение называют также декартовым.

Пример 2. Пусть , . Тогда – множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски.

7