3. Способы задания множеств

Для задания множества существуют различные способы. Множество считают заданным, если о каждом элементе можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет.

Задание множества с использованием общепринятых обозначений. Для числовых множеств имеем: – множество натуральных чисел; – множество целых чисел; – множество рациональных чисел; – множество действительных чисел; – множество комплексных чисел.

Задание множества перечислением его элементов. Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде

.

Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр.

Задание множества с помощью характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Этот способ применим для конечных и бесконечных множеств.

Пусть – утверждение, заключающееся в том, что элемент обладает свойством . Тогда запись

означает, что рассматривается множество всех элементов , обладающих свойством .

Например, отрезок [0, 1] действительной прямой можно определить следующим образом

.

Рекурсивное задание множества. Этот способ заключается в следующем:

1. Указываются некоторые исходные элементы, входящие в множество.

2. Описывается механизм, позволяющий получить новые элементы из имеющихся.

3. Объявляется, что в множестве нет никаких других объектов кроме тех, которые можно получить из исходных, применяя описанный в п. 2 механизм.

Например, множество можно задать рекурсивно:

1. .

2. .

3. – наименьшее подмножество натурального ряда, удовлетворяющее условиям 1 и 2.

Условие 3 определяет как пересечение всех множеств, удовлетворяющих условиям 1 и 2.

В дальнейшем при рекурсивном задании множеств последний пункт, как правило, не указывается, но всякий раз это требование подразумевается.

В качестве еще одного примера рекурсивного задания множества определим совокупность всех слов в данном алфавите.

Пусть – произвольное конечное множество, элементы которого будем называть буквами, а само множество алфавитом. Элементы определяемого множества будем называть словами.

1. Каждая буква является словом: , 1, 2, …, .

2. Результат приписывания к слову любой буквы является словом:

…, .

Например, если , то содержит следующие элементы:

0, 1 (согласно 1);

00, 01, 10, 11 (согласно 2);

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 (согласно 2) и так далее.

Теория множеств, рассматриваемая без ограничений на способы задания множеств, называется наивной теорией множеств. В этой теории еще при жизни ее создателя Г. Кантора были обнаружены многочисленные парадоксы. Приведем один из известных парадоксов Б. Рассела, открытый им в 1903 г.

Пусть – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли множество само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом – противоречие. Если нет – то, по определению , оно должно быть элементом – вновь противоречие.

Этот парадокс имеет много популярных формулировок. Приведем некоторые из них.

1. Одному полковому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Как он должен поступить с собой?

2. В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?

3. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Для преодоления противоречий в наивной теории множеств было предложено несколько возможных ее аксиоматизаций, в рамках которых утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.