Несобственные

интегралы

Лекция 5

1

Формула Ньютона-Лейбница

справедлива при условиях: 1) пределы интегрирования – конечные величины, 2) подынтегральная функция ограничена на

• Несобственный интеграл – обобщение понятия

определенный интеграл на случаи, когда условия существования определенного интеграла нарушаются:

•Нарушение первого условия – несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

•Нарушение второго условия – интегралы от неограниченных функций

2

Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

• Функция определена на и интегрируема на любом отрезке .

•Несобственным интегралом называют предел

•= =

•= , если он существует и конечен. Интеграл при этом называют сходящимся.

•=

•=

•Если предел не существует, то интеграл называют

расходящимся.

3

Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Примеры.

• 1. = =

•= = . Интеграл сходится.

•2. Интеграл расходится

•3. не существует. Интеграл расходится.

•4. = =

4

Признак сравнения

•Функции , то

•1) из сходимости интеграла с большей подынтегральной функцией следует сходимость интеграла с меньшей подынтегральной функцией

•Пример:

•Оба интеграла сходятся

5

Несобственные интегралы от неограниченных функций

•Функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке

•В окрестности точки функция неограниченно возрастает по абсолютной величине (точка разрыва 2 рода или особая точка)

•Несобственным интегралом называют предел

•=

•Если этот предел существует и конечен. Интеграл в этом случае называют сходящимся.

•Аналогично, если особая точка :

•=

6

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Примеры

•Пример 1. =

•= = 2. Интеграл сходится

•Пример 2. =

•= = = Интеграл расходится.

7

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признак сравнения

•Пример 1.

•. Особая точка Оба интеграла сходятся.

• Пример 2. Особая точка x=0 .

•сходится при

•Оба интеграла сходятся

•Пример 3.

•ба интеграла расходятся

8

Примеры.

•1. =

•2.

•3. В этом случае нельзя выразить первообразную через элементарные функции. Проводим оценку:

•При

•расходится. По признаку сравнения исходный интеграл тоже расходится.

9