Понятие функции
комплексной переменной. Аналитические функции
Лекция 8
Понятие функции комплексной переменной
• |
z |
w |
|
|
Если каждому значению по определенному правилу ставится в соответствие комплексное число , то в области задана функция комплексного переменного.
Модуль функции - рельеф функции изображается как поверхность в пространстве.
Степенная функция
В• полярной системе координат:
Отображение степенной функцией приводит к повороту на угол
и растяжению в |
раз. |
Пример 1: ; |
|
y |
V |
2
Пример 2.
;
функция
• |
; |
Свойства.
1.Поскольку то функция становится
периодической с периодом
2.Функция может принимать любые комплексные значения. Уравнение имеет решение
Логарифмическая функция, обратная к показательной функции, является многозначной =
Пример1: Пример 2:
Тригонометрические и гиперболические функции
Выражаются• через показательную функцию:
; ;
;
Новое свойство. Функции не являются ограниченными на всей комплексной плоскости
)
Профиль функции =
=
=
Интегрирование функций : интеграл по кривой
Интеграл• от функции комплексного переменного вводится как интеграл от векторной функции вдоль кривой:
=
) +
Если кривая задана параметрически то интеграл вычисляют по формуле
Пример. Найдем интеграл по окружности 1)
2)
Понятие аналитической функции
Однозначную• непрерывную функцию называют аналитической в области на плоскости комплексного переменного, если выполняются условия:
1.Сохраняется наиболее важный результат анализа – формула Ньютона – Лейбница
Интеграл не зависит от контура интегрирования;
2.Интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в односвязной области равен нулю (теорема Коши):
3.Функция имеет непрерывные частные производные функций удовлетворяющие условиям Коши-Римана:
Эти условия равносильны. Взяв одно из них за исходное, можно доказать все остальные
Для аналитических функций сохраняются все формальные правила дифференцирования
• D
C
C
Теорема Коши
Если функция аналитична в односвязной области области ,то интеграл по любой замкнутой кусочно- гладкой кривой, лежащей в этой области равен нулю
;
Интегральная формула Коши.
Теорема• Коши для односвязной области устанавливает связь между значениями аналитической функции внутри области и на ее границе
Если функция аналитична в области . Замкнутая кривая и ориентирована положительно. Тогда справедливо:
В |
|
|
Дифференцируя последнее выражение раз по |
подынтегральной |
получаем выражение для производной в точке |
функции (особая точка) |
( |