Обыкновенные
дифференциальные уравнения: основные понятия, обзор основных методов решений уравнений первого порядка
Лекция 4
Дифференциальные уравнения. Пример.
Закон• остывания тела. Пусть в момент тело, имеющее температуру , помещено в среду с температурой Опытным путем установлено, что скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.
Математическое описание закона: - искомая зависимость
температуры тела от времени; производная - скорость изменения температуры; = коэффициент пропорциональности
Решение уравнения – зависимость зависит от начального условия :
Другие задачи по составлению
дифференциальных уравнений смотрите
В приложении Задачи.docx
Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Дифференциальным• уравнением называют функциональное
уравнение - независимая переменная, -
искомая функция и ее производные.
Порядок уравнения – порядок старшей производной
Решение уравнения - непрерывная функция
Общее решение |
Частное решение |
|
… |
- одна интегральная |
|
Семейство интегральных |
кривая |
|
кривых |
Начальные условия |
|
задают для нахождения произвольных постоянных
Уравнения с разделяющимися переменными
•=
Примеры. |
|
|
1. |
|
|
|
- общее решение |
|
2. |
- |
|
-. |
|
- общее решение |
3. |
= |
+ C |
Уравнения, приводящиеся к разделению переменных
•
Пример.
=
•Однородные уравнения:
Пример. . Шаг1. Явно выражаем производную dx =
Шаг 2.
=Cx
Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение• линейное по переменной сводится к разделению переменных подстановкой 
Пример:
Приводим уравнение к стандартному виду линейного уравнения
Шаг1. 
Шаг 2. Находим решая уравнение = 0
Шаг 3. Находим |
|
, решая уравнение |
Шаг 4. |
ОТВЕТ
Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение• линейное по переменной сводится к разделению переменных подстановкой
Пример. . Уравнение не является линейным по переменной , поскольку оно содержит Выражаем
уравнение линейно по Шаг 1.
Шаг2.
Шаг3. Шаг4. Ответ
Уравнения Бернулли
• |
, |
• |
, |
Пример 1.
=
= 0
Ответ: .
Пример 2.
=
Понятие о численном решении дифференциальных уравнений
Приближенные• численные методы решения применяют в тех случаях, когда дифференциальное уравнение нельзя свести к интегрированию. Метод Эйлера: ; Отрезок интегрирования делим на частей и в каждой точке деления, начиная с функцию заменяем на касательную :
Пример: (0) = 0
Найдем приближенное решение на отрезке :
= 0 ≈ + (0,1+0)0,1 ≈ 0,01
≈ + (0,2+0,0001)∙0,1 ≈ 0,01+0,02 ≈ 0,03