Комплексные числа. Комплексная плоскость.
Лекция 7
Комплексные числа. Алгебраическая форма |
|||
Для обеспечения возможности записывать корни всех алгебраических |
|||
• |
|
|
|
уравнений множество действительных чисел расширяют введением нового |
|||
символа – мнимой единицы i : |
|
||
Комплексное число вводится как упорядоченная пара действительных |
|||
чисел записывается |
и изображается вектором на комплексной |
||
плоскости: |
|
|
|
действительная (реальная) |
|
||
Y |
z = x + i y |
часть комплексного числа |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
мнимая часть |
|
X |
|
|
x |
комплексного числа |
|
|
|
||
= x – i y - |
комплексно-сопряженное число |
||
Арифметические операции в алгебраической
форме
•
=
Пример: + = =
=
Модуль и аргумент комплексного числа
В• полярной системе координат
=- модуль комплексного числа (длина вектора, изображающего комплексное число)
=– аргумент комплексного числа
или угол между вектором, изображающим комплексное число и положительным направлением оси ; - главное
значение аргумента.
2
=
4 4
- |
3 |
|
Показательная и тригонометрическая форма комплексного числа
• |
– формула Эйлера |
Пример: ;
;
Умножение, деление , возведение в степень:
=
Пример
Выполнить• действия
Шаг 1. Записываем числитель и знаменатель в показательной форме: ;
;
Шаг 2. = ;
Шаг3. =
=
Корень из комплексного числа
•
Корни n- й степени лежат в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса
Пример. ;
=
=
=
Кривые на комплексной плоскости
Расстояние• между точками на комплексной плоскости:
=
Уравнение окружности радиуса с центром Параметрические уравнения окружности:
= =
= =
Пример. или - это уравнения окружности радиуса R=2 с центром в точке
|
Области на комплексной плоскости |
•Область – это связное открытое множество точек плоскости. |
|
Примеры. |
|
1. |
- внутренняя часть круга, исключая границу, является односвязной |
|
областью |
2. |
– внутренняя часть |
кольца является двусвязной областью |
|
3. - внутренняя часть эллипса с фокусным расстоянием
- является односвязной областью.