Математика 2 семестр / Лек бак 2 семестр / Примеры
.docx
Примеры нахождения числовых характеристик случайной величины при помощи характеристических функций.
Пример 1. Распределение Пуассона
С учетом того, что для дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона характеристическая функция имеет вид:
Тогда для математического ожидания получаем:
Для получения дисперсии и других центральных моментов рассмотрим характеристическую функцию центрированной случайной величины:
Представив в виде разложения в ряд получаем
Поскольку моменты случайной величины – это коэффициенты при то имеем: второй центральный момент или дисперсия ;
третий момент ; коэффициент асимметрии .
Пример 2. Нормальное распределение
Рассмотрим нормированную и центрированную случайную величину , функция плотности вероятности имеет вид .
где . С учетом того, что интеграл Пуассона ,
находим .
В результате для переменной получаем:
.
Для центрированной величины :
.
Далее разлагая экспоненту в ряд, получаем
Дисперсия распределения .
Все нечетные моменты .
Распределение полностью симметрично: .
Четвертый момент . Поэтому эксцесс
Пример 3. Пример решения задачи о композиции при помощи характеристической функции
Для показательного закона распределения характеристическая функция имеет вид
Найдем характеристическую функцию суммы каждое слагаемое которой является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром как произведение характеристических функций:
Тогда числовые характеристики имеют вид:
.
Функцию плотности вероятности можно восстановить через преобразование Фурье:
.
Получили новый закон распределения, который называют законом Эрланга (композиция показательных распределений).
В случае, если не является целым числом, закон называют гамма-распределением, функция плотности вероятности которого имеет вид:
.
.