Архив / Экстремумы
.docПрименение производной
Задача 1
При каких значениях функция возрастает на всей числовой прямой?
Решение.
Находим производную: .
Функция будет возрастающей на множестве действительных чисел, если при любом . Поскольку является квадратным трехчленом с положительным коэффициентом при , то это условие будет выполнено, если дискриминант трехчлена не положителен при всех значениях переменной, т.е.
Задача 2.
Является ли прямая касательной к кривой ?
Решение.
Найдем общие точки прямой и кривой, решив уравнение
, . Получаем точки , .
Производная функции равна и её значения в точках пересечения равны , . Угловой коэффициент прямой равен 1. Следовательно данная прямая является касательной к кривой в точке .
Задача 3.
Правильная треугольная призма имеет объем 16 дм3. Найти длину стороны основания призмы с наименьшей полной поверхностью.
Решение.
Полная поверхность призмы вычисляется по формуле
, где - сторона основания, - высота призмы.
По условию задачи объем призмы равен 16 дм3, т.е. . Из последнего соотношения получаем высоту . А полную поверхность выражаем как функцию основания , > 0, которую затем исследуем на экстремум. Находим производную , > 0 и ее критическую точку = 4 . На промежутке (0;4] производная , значит функция убывает. На промежутке
, и функция возрастает. Поэтому при = 4 функция принимает наименьшее значение.
Задача 4.
В правильной четырехугольной пирамиде сумма высоты и стороны основания равна 3. Найти наибольший возможный объем пирамиды.
Решение.
Пусть - сторона основания, - высота пирамиды, - объем пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить по формуле .
По условию . Поэтому объем пирамиды выражаем как функцию стороны основания , , и исследуем на экстремум: находим производную и критические точки , из которых условию задачи удовлетворяет только точка . Достаточные условия существования экстремума проверяем по знаку второй производной .
В точке = 2 вторая производная отрицательна .
Следовательно, при стороне основания равной 2 объем пирамиды наибольший.