К.Р № 2 ПО МАТЕМАТИКЕ / 8196

1

2

3

4

5

Гипербола

x

и y

0

– координаты

y

b

a

с действительной

x2

y2

x x

2

y y

2

0

центра,

осью Ox

1

0

0

1

a – действительная

y0

a2

b2

a2

b2

или ей

полуось,

параллельной

b – мнимая полуось

x0

x

Гипербола

x0

и y0 – координаты

y

b

a

с действительной

y2

x2

y y0 2

x x0

2

центра

осью Oy

b – действительная

y0

b2 a2

1

1

или ей

b2

a2

полуось,

a – мнимая полуось

параллельной

x0

x

Парабола

x0

и y0 – координаты

y

p<0

p>0

с осью

y2 2 px

y y0 2

2 p x x0

симметрии Ox

вершины,

y0

или ей

p – параметр параболы

параллельной

x0

x

Парабола

x0

и y0 – координаты

y

p>0

x0 x

с осью

x2 2 py

x x0 2

2 p y y0

симметрии Oy

вершины

y0

или ей

p – параметр параболы

p<0

параллельной

1. dx x C.

6. еxdx ex C

xndx

x

n 1

C,( n 1)

7.

dx

tgx C.

2.

2

n 1

cos

x

3.

dx

ln

x

C

8.

dx

ctgx C.

sin2 x

x

4.

sin xdx cos ax C.

9.

dx

arctgx C.

x2 1

5.

cos xdx sin ax C.

10.

dx

arcsin x

C.

1 x2

Пример 1.

x2dx

x2 1

C

x3

C

2 1

3

Пример 2.

1

dx x 2dx

x 2 1

C

x 1

C

1

C

x2

2 1

1

x

Пример 3.

3

x1 3 1

C

x4 3

C

3x4 3

C

xdx x1 3dx

1 3 1

4 3

4

Пример 4.

1

dx x

2 5dx

x 2 5 1

C

x3 5

C

5x3 5

C

5

2 5 1

x

2

3 5

3

13

sin5 x cos x dx

u sin x

du cos x

dx

u5du

u6

C

sin6 x

C

6

6

Пример 13.

x sin x2 1 dx

u x2 1

1

sin u du

1

cos u

du 2xdx

2

2

cos x2 1 C .

1

2

b

f x dx F( x )

b

F b F a .

a

a

Рассмотрим применение этой формулы.

Пример 1.

2

3

2

3

3

x2dx

x

2

1

7

2,3.

1

3

1

3

3

3

3

3

3

3

3

4x 3 dx 4xdx

3dx 4 xdx 3 dx

1

1

1

1

1

4

x2

3

3x

31 2 32 2 1 2 3 3 3 1 16 12 4 .

2

1

Найдем

дискриминант и

корни:

D 22 4 3 16 ,

x 2

16

3, x

2

2

16

1.

1

2

2

Построим линии между точками пересечения, для чего зада-

дим несколько значений x

и найдем соответствующие y.

1)

y 2x , это прямая, постро-

y

им ее по двум точкам.

3

x

-3

1

y

yн

y

-6

2

в

y 3 x2 ,

2)

это парабола,

x

возьмем несколько точек.

–3

1

x

-3

-1

0

1

y

-6

2

3

2

Из рисунка видим, что

yв 3 x2 , yн 2x .

–6

Найдем площадь:

b

1

x

3

1

S y

y

dx

3 x2 2x dx 3x

x2

в

н

3

a

3

3

3

3

3 1

1

12

3

3 3

3 2

3

3

y

y

x

dy

y

dy

y

dx

dy

1

dx .

dx

x

x

x

y

dy

1

dx ,

x

y

dy

1 2 dy

y 1 2 1

2 y1 2

y

2

y

,

1 2 1

y

Пример 2.

y

ln x

2 y 1 5 x

dy

ln x

dy

ln x

dx

2 y 1 5 dy

ln x

dx

dx

x 2 y 1 5

x 2 y 1 5

x

16

2 y 1 5dy

1

2 y 1 6 ,

2

6

ln x

d x

u ln x

dx

u du

u2

C

ln2 x

C .

du

1

x

2

2

x

Ответ:

1

2 y 1 6

ln2 x

C .

2

6

2

Дифференциальным уравнением (ДУ) 2-го порядка называется

уравнение,

содержащее вторую производную

y неизвестной

y sin 5x dx

1

cos5x C1,

5

1

1

1

1

y

cos 5x C

dx

cos 5x dx C

dx

sin x C x C

5

5

1

1

5 5

1

2

ЗАДАЧА 1. Решить систему линейных алгебраических урав-

нений методом Гаусса.

1.1.

х у 2z 1

1.6.

х у 3

3x 2 y z 1

3x y 4z 1

4x z 1

4x 3y z 2

1.2.

х у 2z 1

1.7.

х 2 у z 0

3x y 4

3x y 4z 5

4x y 3

4x 3y z 4

1.3.

х у z 0

1.8.

4х у 4

3x y 3

2x 2 y z 1

4x 3y 3z 3

3y z 3

1.4.

х у 2z 3

1.9.

х у 2z 3

3x y z 1

3x y 6z 1

2x 2 y z 6

4x z 1

1.5.

х 2 у z 2

1.10.

х у 2z 1

3x 3y z 0

3x 2 y 4z 1

2x y 2

4x 3y z 1

ЗАДАЧА 2. Выполнить операции с матрицами.

2.1.

1

4

1

4

3

3

5

A

, B

, С

.

5

2

7

2

6

1

2

Найти: 3В, 2А–3С,

А В

2.2.

1

2

2

3

4

5

4

A

, B

, С

.

3

4

0

1 6

3

7

Найти: –3В, 2А+4С,

С В

2.3.

0

2

1

3

2

6

3

A

, В

, С