К.Р № 2 ПО МАТЕМАТИКЕ / 8196

1

Рецензент

Волков В. М. – доцент кафедры математики

Ермакова Инна Алексеевна, Гоголин Вячеслав Анатольевич. Ма-

тематика: методические указания к контрольной работе №2 для студентов направления подготовки бакалавров 080200.62 «Менеджмент» профиль 080206.62 "Производственный менеджмент" заочной формы обучения [Электронный ресурс] / И. А. Ермакова, В. А. Гоголин. – Электрон. дан. – Кемерово: КузГТУ, 2014. – Систем. требования: любой компьютер, поддерживающий Microsoft Windows-97 и выше, мышь. – Загл. с экрана.

Приводятся задания и методические указания по их решению по темам, изучаемым во 2 семестре. Выполнение заданий, изложенных в методических указаниях, позволяет студенту качественно подготовиться к зачету, вопросы к которому прилагаются.

© КузГТУ, 2014 © Ермакова И. А., Гоголин В. А., 2014

2

Дисциплина «Математика» изучается в течение трех семестров. Во втором семестре студенты заочной формы обучения выполняют контрольную работу №2.

Студент выполняет контрольную работу, выбирая вариант задания по последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра равна 0, то студент решает вариант №10. Работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется.

Работу следует выполнять в рукописном виде.

Решения задач должны иметь объяснения в соответствии с методическими указаниями. При отсутствии письменных объяснений, студент должен быть готов дать устные пояснения к решению задач.

ПРОГРАММА 2 СЕМЕСТРА

Раздел 3. Элементы линейной алгебры

3.1.Матрицы и действия над матрицами. Использование матриц в экономике.

3.2.Определители и их свойства. Вычисление определителей.

3.3.Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера. Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

3.4.Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Однородные системы.

3.5.Использование алгебры матриц в экономике. Модель Леонтьева. Составление межотраслевого баланса.

Раздел 4. Векторная алгебра

4.1.Понятие n-мерного линейного пространства. N-мерные векторы, действия над ними. Линейные операторы. Собственные значения матриц и собственные векторы. Линейная модель торговли.

4.2.Координаты вектора в пространстве. Линейная независимость векторов. Базис. Разложение по базису.

4.3.Скалярное и векторное произведения векторов. Использование в экономике.

Раздел 5. Элементы аналитической геометрии

5.1.Прямая линия на плоскости. Линейные функции спроса и предложения. Точка рыночного равновесия..

5.2.Плоскость и прямая в пространстве.

5.3.Кривые второго порядка.

3

5.4. Задачи линейного программирования. Построение математических моделей. Графический метод решения задач линейного программирования. Роль математического программирования при решении управленческих задач.

Раздел 6. Интегральное исчисление

6.1. Неопределенный интеграл, свойства. Методы интегрирования: по частям и заменой переменных. Таблица основных интегралов. 6.2. Определенный интеграл, основные свойства. Формула Ньюто- на-Лейбница. Методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла. Приложение интегралов в экономике.

Раздел 7. Дифференциальные уравнения

7.1.Дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

7.2.Использование дифференциальных уравнений в экономике.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАЧА 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

х у 2z 43x y 4z 2

4x y z 1

Выразим из любого уравнения любую неизвестную (ту, которую легче выразить) и подставим ее в два других уравнения.

Из первого уравнения: x 4 y 2z , подставим его в 1-е и 2-е

уравнения. Получим:

3 4 y 2z y 4z 24 4 y 2z y z 1 .

Раскроем скобки:

12 3y 6z y 4z 216 4 y 8z y z 1 .

Приведем подобные:

2 y 10z 10

3y 9z 15 .

прямой, отсекающей на оси OX 2 отрезок, равный 8. Построим ее на том же чертеже (см. рис.1).

В искомой области x2 8 , поэтому заштрихуем область, лежащую ниже этой прямой.

3) x2 2 .

Запишем равенство: x2 2 . Это уравнение горизонтальной прямой, отсекающей на оси OX 2 отрезок, равный 2. Построим прямую (см. рис.1).

В искомой области x2 2 , поэтому заштрихуем область, лежащую выше этой прямой.

4) x1 0 и x2 0 .

Здесь x1 0 и x2 0 – это уравнения координатных осей

(см. рис.1).

Так как x1 0 , нанесем штриховку вправо от прямой x1 0. Так как x2 0 , нанесем штриховку вверх от прямой x2 0.

7

Область АВСD, в которой пересекаются все штриховые линии, является искомой. Так как все неравенства нестрогие, то все прямые линии входят в искомую область.

Далее найдем градиент целевой функции F x x1 2x2 . Его координаты равны коэффициентам перед переменными x1 и x2 в выражении функции. Тогда grad F 1; 2 , построим этот вектор (см. рис. 1).

Проведем линию уровня 1, перпендикулярную вектору градиента. Будем смещать эту линию параллельно самой себе.

Функция будет принимать наименьшее значение в точке «вхо-

Fmax F 8; 2 x1 2x2 8 2 2 4 .

ЗАДАЧА 4. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию.

Пример 1.

x2 2 y2 2x 12 y 33 0

Предварительно следует изучит виды кривых 2-го порядка, их уравнения и расположение (табл.1).

Приведём уравнение к каноническому виду. Для членов, содержащих x, и членов, содержащих y, выполним преобразования с выделением полного квадрата:

x2 2x x2 2x 1 1 x 1 2 1;

2 y2 12 y 2 y2 6 y 9 9 2 y 3 2 18.

Данное уравнение теперь можно переписать так:

x 1 2 2 y 3 2 1 18 33 0,

Выпишем слагаемые с x и выделим полный квадрат: x2 4x x2 4x 4 4 x 2 2 4 .

Подставим в исходное уравнение, оставим квадраты слева:

Выпишем слагаемые с y и выделим полный квадрат: y2 8 y y2 8x 16 16 y 4 2 16 .

параболы, вершина в т. 3; 4 , ветви влево.

9