Лекция 19

ЛЕКЦИЯ 19

19.1. Формирование электромагнитного момента

Формирование электромагнитного момента Ψ1,Ψ 2 , I 1, I 2 → M .

Электромагнитный момент в электрических машинах формируется путем взаимодействия магнитных полей статора и ротора. Математически, электромагнитный момент двигателя пропорционален векторному произведению векторов тока и потокосцепления статора или ротора7. Для трехфазной электрической машины величина с числом пар полюсов Pп величина момента будет определяться выражением:

M = 32 Pп Ψ1 I 1 sinϕ , (19.1)

где φ – угол между векторами тока и потокосцепления.

Помимо векторного произведения величину электромагнитного момента также выражают в виде скалярного произведения, например, вектора потокосцепления статора и вектора комплексно-сопряженного с вектором тока статора:

M = 32 Pп Ψ1 I 1* cosϕ*, (19.2)

где φ* – угол между вектором потокосцепления и вектором комплексносопряженным с вектором тока статора.

Учитывая однозначную связь между токами и потокосцеплениями электрических машин, уравнение электромагнитного момента можно записать в виде зависимостей аналогичных (19.1) и (19.2) через различные сочетания токов и потокосцепления обмоток статора и ротора, вводя при этом соответствующие коэффициенты.

Геометрически величина электромагнитного момента будет пропорциональна параллелограмму, ограниченному соответствующими векторами, как это показано на рис. 19.1 при выборе векторов потокосцеплений статора и ротора .

Очевидно, что максимальное значение момента будет в том случае, если угол между соответствующими векторами будет иметь значение, равное 90˚.

7 Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург. УРО РАН, 2000. 654 с.

148

Рис. 19.1. Геометрическое представление величины электромагнитного момента

Рассмотрим, как формируется момент в основных видах двигателей.

Вмашине постоянного тока между векторами потокосцепления статора и тока ротора, если не учитывать реакцию якоря, угол φ=90˚, что обеспечивается за счет конструкции двигателя, путем установки щеток на геометрическую нейтраль. Изменение момента при этом происходит в результате изменения величины магнитного потока статора или тока якоря.

Всинхронных машинах с неявно выраженными полюсами, электромагнитный момент определяется угловой характеристикой, которая имеет максимальное значение при угле между положением ротора, которое определяет положение вектора потокосцепления ротора, и вектором потокосцепления статора θ=90˚.

Для асинхронного двигателя ток в обмотке ротора формируется под действием ЭДС, возникающей в результате изменения потока статора. Ток статора при этом имеет реактивную составляющую, создающую магнитный поток, и активную составляющую, формирующую момент двигателя. При этом, если рассматривать модель асинхронного двигателя в полеориентированной системе координат, то электромагнитный момент пропорционален произведению модуля вектора потокосцепления ротора на проекцию тока статора на ось q, расположенную перпендикулярно относительно вектора потокосцепления ротора, как это показано на рис. 19.2. Учитывая, что проекция тока статора на ось q будет равна произведению

модуля этого вектора на синус угла между векторами i1q = I 1 sinϕ , то вы-

ражение момента:

M i1qΨ 2 = I 1Ψ 2 sinϕ

соответствует векторному произведению тока статора и потокосцепления ротора.

Рис. 19.2 наглядно показывает особенность формирования электромагнитного момента характерную для любого типа двигателей, если векторы, через которые определяется момент, расположены под углом не равным 90˚. В этом случае момент пропорционален произведению составляющих этих векторов рассматриваемых как проекции на некоторую прямоугольную систему координат.

149

Рис. 19.2. Векторы асинхронного двигателя в полеориентированной системе координат

Рассмотрим особенности формирования момента с точки зрения управления на примере обобщенной электрической машины.

Будем рассматривать электромагнитный момент, выраженный через векторы потокосцеплений статора и ротора, определяемый зависимостью:

Выражение стоящее перед скобками, если не учитывать эффект насыщения электротехнической стали, является постоянной величиной, и в случае дифференцирования момента оно будет фигурировать в виде коэффициента, на который умножается результат дифференцирования. Для упрощения записи примем этот коэффициент равным единице. Тогда производная электромагнитного момента будет определяться зависимостью:

Предположим, что величина электромагнитного момента меньше требуемого значения, тогда система управления должна обеспечить его положительную производную. Рассмотрим достаточное условие положительной производной момента.

Это условие исходя из (19.3), подставляя на место производных правые части уравнений обобщенной электрической машины:

150

По аналогии можно записать достаточное условие отрицательности производной момента:

Для анализа процесса формирования момента рассмотрим выполнение данных условий на примере векторной диаграммы обобщенной электрической машины в системе координат α-β, неподвижной относительно статора:

151

Предположим, что в некоторый момент времени векторы ОЭМ расположены в соответствии с рис. 19.3. При этом будем считать, что электромагнитный момент меньше заданного значения, то есть нужно обеспечить положительную производную, а также, что вектор потокосцепления ротора поддерживается постоянным по модулю и положению. В этом случае, для получения положительной производной электромагнитного момента, в соответствии с (19.4) необходимо переместить вектор ЭДС в первый квадрант, как это показано на рис. 19.4. Вектор ЭДС статора при этом попадет в сектор 0-180˚. При неподвижном положении вектора потокосцепления ротора, под действием ЭДС обмотки статора вектор тока статора, а значит и потокосцепления, также будет стремиться попасть в этот сектор. Очевидно, что условие 19.14 будет выполняться независимо от положения вектора потокосцепления ротора в том случае, если угол между векторами ЭДС статора и потокосцепления ротора будет равно 90˚. При этом вектор потокосцепления статора будет стремиться занять положение под углом 90˚ к вектору потокосцепления ротора, что, в соответствии с (19.2), обеспечивает максимальный момент двигателя.

Рис. 19.3. Векторная диаграмма обобщенной электрической машины

По аналогии можно получить требуемое направление вектора ЭДС ротора для обеспечения положительной производной момента. При этом, как видно из рис. 19.5, вектор ЭДС, при неподвижном векторе потокосцепления статора, будет стремиться повернуть вектор потокосцепления ротора на угол 90˚ по отношению к вектору потокосцепления статора, создавая положительное значение производной момента.

152

Рис. 19.4. Формирование положительной производной момента вращением вектора ЭДС статора

Рис. 19.5. Формирование положительной производной момента вращением вектора ЭДС ротора

153

Для формирования отрицательной производной момента, в соответствии с выражением 19.5, векторы потокосцепления будут стремиться занять положение, как это показано на рис. 19.6. При этом вектор потокосцепления статора будет стремиться к положению под углом 90˚ относительно вектора потокосцепления ротора против направления вращения ротора, а вектор потокосцепления ротора под углом 90˚ относительно вектора потокосцепления статора по направлению вращения ротора, что даст отрицательное значение электромагнитного момента.

Рис. 19.6. Формирование векторов потокосцеплений для получения отрицательной производной момента

19.2. Градиентное управление электроприводом

Рассмотрим вариант решения задачи и одновременного регулирования электромагнитного момента и модулей векторов потокосцеплений статора и ротора, используя для математического описания процесса электромеханического преобразования энергии известную модель обобщенной электрической машины, выраженную через потокосцепления двигателя в произвольно вращающейся системе координат u-v. Для этой модели поставленные задачи управления сформулируем в виде следующих целей:

M = K (ψ1vψ2u −ψ1uψ2v ) = M * ;

154

где индексом x* отмечены заданные величины; М – электромагнитный момент; ψ1, ψ1u, ψ1v и ψ2, ψ2u, ψ2v – амплитуда и составляющие векторов потокосцепления статора и ротора соответственно; K=p L12/(L1L2-L122); p – количество пар полюсов; L12 – взаимная индуктивность; L1, L2 – индуктивности статора и ротора.

Задача реализации перечисленных целей управления с учетом сложности математического описания объекта требует использования нелинейных методов управления. Одним из них является метод скоростного градиента8, гарантирующий изменение управляющего воздействия пропорционально градиенту скорости изменения функционала, задающего цель управления.

Результатом применения метода скоростного градиента для обобщенной электрической машины, выступающей в качестве модели процесса электромеханического преобразования энергии, и целей управления (19.6) является обобщенный алгоритм, работу которого естественно называть градиентным управлением:

где u – вектор управляющих воздействий; r – вектор-функция переменных состояния:

u1u, u1v и u2u, u2v – составляющие векторов напряжения, подводимого к статору и ротору соответственно; h1, h2, h3 – настроечные коэффициенты, определяющие вес каждой из целей (19.6).

Фактически, полученный алгоритм представляет собой математические зависимости, определяющие в каком направлении должен изменяться вектор управляющих воздействий, в то время как его амплитуда будет зависеть от выбранного значения настроечных коэффициентов. В простейшем случае реализовать заданное направление вектора u можно с исполь-

8 Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. – СПб.: Наука, 2003. – 208 с

155

зованием интегрального закона регулирования, однако метод скоростного градиента предоставляет более широкие возможности для управления электромеханическими преобразователями. Его форма записи может конкретизироваться не только в интегральном виде, но и трансформироваться

вформу линейной или знаковой зависимости, представляя собой пропорциональный или релейный регулятор. Очевидно также, что не исключены различные комбинации способов задания направления для вектора управляющих воздействий, применение которых будет определять динамику процесса электромеханического преобразования энергии, управляемого по закону (19.7). Учитывая перечисленные особенности, следует обратить внимание, что в алгоритм (19.7) уже на стадии постановки задачи заложена возможность координатных преобразований, в силу чего его обобщенная форма в ряде случаев может по смыслу совпадать с известными законами управления электродвигателями.

Отдельной задачей, не имеющей однозначного решения, является выбор значений настроечных коэффициентов. При их определении необходимо либо проводить анализ динамики работы электропривода и аналитически выводить значения настроечных коэффициентов в зависимости от его параметров, либо адаптировать алгоритм (19.7) к текущему состоянию,

вслучае чего настроечные коэффициенты будут зависеть от потокосцеплений двигателя.

Несмотря на перечисленные особенности, важно отметить, что обобщенную форму алгоритма (19.7) можно использовать для управления электрическими двигателями любого типа. Для этого достаточно применить приемы, справедливые для перехода от обобщенной электрической машины к математическому описанию конкретных типов двигателей. При этом, однако, становится очевидным, что решение задачи в полном соответствии с изначально поставленными целями возможно лишь для тех типов электрических машин, в которых конструктивно предусмотрены каналы воздействия не менее чем на три составляющие вектора u (этому требованию в полной мере отвечают синхронные электродвигатели и машины двойного питания), поскольку в противном случае система становится лишь частично управляемой.

Перенесем разработанный обобщенный алгоритм для управления электроприводами с наиболее распространенными в промышленности типами двигателей: синхронным явнополюсной конструкции (СД), асинхронным с короткозамкнутым ротором (АД) и постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ).

Для получения алгоритма управления СД целесообразно производить переход от обобщенных уравнений к частным решениям с использованием системы координат d-q, жестко связанной с положением ротора двигателя. В этой системе координат вектор управляющих воздействий примет вид:

156

u = u1d u1q uв 0 T ,

где uв – напряжение возбуждения двигателя, а с учетом конструкции двигателя составляющая потокосцепления ротора ψ2d равняется потокосцеплению возбуждения ψв, а ψ2q=0.

Тогда математическая зависимость (19.7) в случае выбора интегрального регулятора трансформируется в выражение:

u1d = −∫h2ψ1d ∆Ψ 1dt ;

u1q = −∫(h1ψв∆M + h2ψ1q∆Ψ 1 )dt ;(19.8) uв = −∫(h1ψ1q∆M + h3ψв∆Ψ 2 )dt ,

использование которого для управления СД действительно обеспечивает достижение всех изначально поставленных целей управления.

Анализируя полученную модификацию алгоритма градиентного управления можно отметить, что для ее применения требуется дополнить систему управления электропривода на базе СД элементом, обеспечивающим реализацию управляющих воздействий в выбранной системе координат, в качестве которого может выступать блок координатных преобразований различной природы. Данный факт позволяет, как частный случай, использовать (19.8) для управления вентильным двигателем.

В отличие от СД, при получении на базе разработанного обобщенного алгоритма частного решения для управления АД, двигатель целесообразно рассматривать в неподвижной системе координат α-β. Тогда вектор управляющих воздействий запишется как:

а математическая зависимость (2) трансформируется в выражение:

u1α = −∫(−h1ψ2β ∆M + h2ψ1α∆Ψ 1 )dt ; u1β = −∫(h1ψ2α∆M + h2ψ1β∆Ψ 1 )dt .

Как можно отметить, в полученном выражении отсутствует возможность формировать амплитуду вектора потокосцепления ротора. В то же время анализ динамических свойств модификации алгоритма градиентного управления для АД свидетельствует, что по основным показателям он не уступает широко известному полеориентированному управлению.

В случае управления ДПТ, недостаточное число ненулевых составляющих вектора управляющих воздействий:

u =[0 uв uя 0]T ,

где uя – напряжение якоря двигателя, так же, как и в случае с АД, не позволит реализовать все поставленные цели управления. При этом, учитывая

157