Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

695.77 Кб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

М. К. Курчин

Математика для инженеров

Сборник задач

КЕМЕРОВО 2007

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

£Кузбасский государственный технический университет¦

М. К. Курчин

Математика для инженеров

Сборник задач

КЕМЕРОВО 2007

УДК 517

Рецензенты:

Кафедра высшей математики ГОУ ВПО ™КемГУš (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор С. П. Брабандер)

Доцент кафедры товароведения и экспертизы товаров ГОУ ВПО ™РГТЭУš, Кемеровского института (филиал), кандидат физикоматематических наук М. Н. Сидоров

Курчин, М. К. Математика для инженеров : сб. задач / М. К. Курчин ; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2007. – 102 с.

ISBN 976-5-89070-548-0

Учебное пособие представляет собой сборник задач для практических занятий и домашних заданий по курсу ™Математикаš за исключением раздела ™Элементы теории вероятностейš. Подготовлено по дисциплине ™Математикаš.

Для студентов специальностей горного факультета университета: 090100 (130402) – Маркшейдерское дело; 090200 (130404) – Подземная разработка месторождений полезных ископаемых; 090300 (130405) – Обогащение полезных ископаемых; 090500 (130403) – Открытые горные работы.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГУ КузГТУ.

	УДК 517
	° ГУ КузГТУ, 2007
ISBN 976-5-89070-548-0	° Курчин М. К., 2007

Оглавление
Предисловие	6
Глава 1. Алгебра и геометрия	7
±1. Метод последовательного исключения неизвестных ……..	7
±2. Вычисление определителей …………………………….…...	8
±3. Правило Крамера …………...………………………….…….	8
±4. Действия с векторами ……………..….……………………...	9
±5. Скалярное произведение векторов ….….…………….……..	11
±6. Векторное и смешанное произведения векторов ..………...	12
±7. Плоскость и прямая в пространстве …………………...…...	14
±8. Смешанные задачи на прямую и плоскость ...……………...	15
±9. Уравнение прямой на плоскости ……………………………	17
±10. Смешанные задачи на прямую на плоскости …………...…	17
±11. Канонические уравнения линий второго порядка …………	18
±12. Свойства линий второго порядка ..……………....………….	20
±13. Ранг матрицы ……………..……………...…………………..	21
±14. Действия с матрицами …………….…………………………	22
±15. Решение уравнений матричным способом …….…………..	23
±16. Базис в пространстве ………………..………………..……...	24
Глава 2. Дифференцирование функций	26
±17. Понятие функции …………………….......……………..……	26
±18. Понятие предела ………………………..…………….….…..	27
±19. Нахождение пределов …..………………………......……….	28
±20. Число е. Исследование функции на непрерывность ………	31
±21. Производная функции ………....…………………………….	32
±22. Производные неявной, параметрической функций ………..	33
±23. Дифференциал функции. Производные высших порядков .	34
±24. Правило Лопиталя …………………...………………………	35
±25. Наибольшее и наименьшее значения функции ..……….….	36
±26. Исследование функций на экстремум …………….………..	37
±27. Исследование на перегиб кривой. Асимптоты кривой .…..	37
±28. Исследование функции ………..…………………………….	38

Глава 3. Функции нескольких переменных	38
±29. Область определения функции двух переменных .………...	38
±30. Частные производные ………………………………....…….	39
±31. Дифференциал и дифференцирование сложных функций ..	40
±32. Дифференцирование сложной функции и повторное ...…...	41
±33. Дифференцирование неявной функции и повторное ……...	42
±34. Экстремум функции двух переменных .………………..…..	43
±35. Наибольшее и наименьшее значения функции двух
переменных .…..………………………...……………..……..	44
±36. Касательная, нормаль, плоскости …………………………..	44
±37. Производная по направлению и градиент скалярного
поля …………………………………………………………...	45
Глава 4. Интегрирование функций	47
±38. Табличное интегрирование …………………..……………...	47
±39. Подведение под знак дифференциала ..……...……………..	48
±40. Метод интегрирования по частям ...……………….………..	49
±41. Интегрирование заменой переменной …..…………….……	49
±42. Интегрирование рациональных дробей ..…………………...	50
±43. Интегрирование иррациональностей ……...………………..	50
±44. Интегрирование тригонометрических функций ...…………	51
±45. Разные интегралы …...………………………………….……	51
±46. Несобственные интегралы ……………………..……………	52
±47. Вычисление площадей плоских фигур ……………..………	52
±48. Вычисление длин дуг и объемов тел вращения …………...	53
±49. Задачи физики и механики ………………………..……..….	54
Глава 5. Дифференциальные уравнения	56
±50. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и однородные первого порядка ……..….…...	56
±51. Уравнения Бернулли и линейные …………………………..	57
±52. Уравнения, допускающие понижение порядка ……………	57
±53. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами ……………...……………...	58

±54. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами ………………...…………...	58
±55. Метод вариации произвольной постоянной ……………….	58
Глава 6. Ряды	59
±56. Последовательности …………………………………………	59
±57. Теоремы сравнения ………………………………………….	60
±58. Признаки сходимости ……………………………………….	60
±59. Абсолютная и условная сходимости ……………………….	61
±60. Промежуток сходимости степенного ряда …………………	62
±61. Разложение функций в степенные ряды ……………………	62
±62. Применения степенных рядов ………………………………	63
±63. Ряды Фурье по стандартному промежутку ………………...	64
±64. Ряды Фурье по не стандартному промежутку ……………..	64
Глава 7. Кратные интегралы	65
±65. Криволинейные интегралы по длине дуги …………………	65
±66. Криволинейные интегралы по координатам ……………….	66
±67. Двойные интегралы ………………………………………….	67
±68. Применение двойных интегралов …………………………..	68
±69. Тройные интегралы ………………………………………….	69
±70. Применение тройных интегралов. Площадь поверхности ..	70
±71. Формула Грина ………….…………………………………...	71
±72. Поверхностные интегралы и формула Остроградского …..	72
Ответы	73
Список рекомендуемой литературы	101

Предисловие

Настоящее пособие освещает основные положения курса ™Математикаš в соответствии с Государственным образовательным стандартом для технических специальностей вуза.

Предлагаемый сборник задач представляет собой набор задач для аудиторных занятий и домашних заданий. Он разбит по параграфам, соответственно темам практических занятий. При этом предполагается, что первая половина каждого параграфа выполняется в аудитории, вторая – дома. Все задачи брались из разных традиционных задачников по ™Высшей математикеš, перечень которых дается в списке рекомендуемой литературы.

Сборник задач содержит свыше 1000 задач, систематически расположенных в главах (1—7) и охватывает все разделы инженерного курса ™Математикаš за исключением теории вероятностей и математической статистики. Приведенное количество задач, как показывает практика преподавания, удовлетворяет потребности студентов по практическому закреплению соответствующих разделов курса. Теоретические сведения и справки о необходимых формулах не помещены; имеется в виду, что студент найдет их в соответствующих разделах общеизвестных учебников или в учебных пособиях автора: ™Алгебра и геометрияš, ™Дифференцирование функцийš, ™Интегрирование функций и дифференциальных уравненийš.

Имея рассматриваемое учебное пособие в дополнение к лекциям, студенты горного факультета получают возможность более успешного усвоения учебного материала и качественной сдачи курсовых экзаменов по математике.

Глава 1. Алгебра и геометрия

¬1. Метод последовательного исключения неизвестных

Методом Гаусса решить систему уравнений:

2x y z =	4
1. 3x+4 y 2z =
1. 3x+4 y 2z =	11 .
3x 2 y+4z =
3x 2 y+4z =	11

x 2 y+3z 4t= 4

y z + t= 3
3.			.
x + 3y	3t=		1

7 y+3z + t= 3
2x y+	3z=	3
3x+ y	5z=	0
3x+ y	5z=	0
5.	z=	3	.
4x y +	z=	3
x+3y 13z=
x+3y 13z=		6

x+2 y+3z t=1

3x+2 y+ z t=1

7. 2x+3y+ z + t=1 .

2x+2 y+2z t=1 5x+5y+2z =2

x + y + z + s	=	0
y + z + s + t =		0
2. x+2 y+3z	=	2
			.
y+2z+3s	= 2
z+2s+ 3t =		2

2x+3y z + t=5

3x y+2z+ t=1

4. . x+2 y+3z+4t=6

6x+4 y+4z+6t=1

x+	y 3z= 1
2x+	y 2z=	1

6.		3		.
x+ y + z=
x+2 y 3z=		1

2x+3y z + t= 3
3x y+2z + 4t=		8

8.		6	.
x+ y+3z 2t=
x +2 y+3z + 5t=		3

									¬2 Вычисление определителей
	2			1		1	0				1		1			2	3		4						2	3			1		4


											2	1				1	2		0
	0			1		2	1				2	1				1	2		0						2	1			1		2
9.	0			1		2	1	. 10.			1	2				1	1		3			. 11.			2	1			1		2		.
9.	3			1		2	3	. 10.			1	2				1	1		3			. 11.			6	2				1	0		.
	3			1		2	3				1	5				8	5	12							6	2				1	0
	3			1		6	1				1	5				8	5	12							2	3				0	5
	3			1		6	1				3	7				8	9		13						2	3				0	5
			8			7	2	0			3	7				8	9		13
																1	2		5								2			3	1


			8			2	7	10
12.			8			2	7	10	.			13.				3	4		7		.			14.			6			6	2	.
12.			4			4	4	5	.			13.				3	4		7		.			14.			6			6	2	.
			4			4	4	5							3		12	15									2			1	2
			0			4	3	2							3		12	15									2			1	2
			0			4	3	2
		4				2	1	1						1		3	1		1							1			2	9	4
		4				2	1	1						1		3	1		1							1			2	9	4
15.		12		12			9	12		.	16.			2		12	6		8	.				17.		2			3	12	1		.
15.		4				6	6			.	16.			1		12	9	16		.				17.		3			4	3			.
		4				6	6	10						1		12	9	16								3			4	3	2
		4				8	10	20						1		24	27	64								4			1	6	3
						1	2	3				4					2	3	4									12		6	4


					2		1	4				3
18.					2		1	4				3	.			19.	5 2		1				.	20.					6	4	4			.
18.						3	4	1				2	.			19.	5 2		1				.	20.					6	4	4			.
						3	4	1				2					1	2	3										3	2	8
						4	3	2			1						1	2	3										3	2	8
						4	3	2			1

¬3. Правило Крамера

Решить системы уравнений методом определителей:

3x 2 y	7	2x y z 4	3x 2 y z 5
			23. 2x	3y z 1
21.	.	22. 3x 4 y 2z 11 .			.
4x 5 y 40			2x
		3x 2 y 4z 11		y 3z 11

2x 3y z 2 0	2x y	z 2		x 2y 3z 4
	25. 3x 2y 2z 2
24. x 5 y 4z + 5 0 .	25. 3x 2y 2z 2		.	26. 2x y z 3 .
	x 2y
4x y 3z 4 0	x 2y	z 1		3x 3y 2z 7

2x 3y 2z 6t 4			2x 4y z 3t 41			x 2y 3z 4
5x 2y z t			9x 7y 2z 4t			x 2y 3z 4
5x 2y z t	1		9x 7y 2z 4t		93
27.	1	.	28.		.	29. 2x 4y 6z 3 .
x 7y 3z 3t	1		y 5z		11
3x y 2z 4t 3			y 3z 5t 19			3x y z 1

5x+2 y 4			2x 4 y 3z 1			x 2 y 3z 4
5x+2 y 4		31.	x 2 y 4z		. 32.
30.	.	31.	x 2 y 4z	3	. 32.	2x y z 3 .
7x+4 y=8			3x y 5z
			3x y 5z	2		3x 3y 2z 10

x 2 y 3z 5				x 2 y z 4		x y 2z 1
33. 2x y z		34. 2x				35. 2x y
	1 .				3y z 3 .		2z 4 .
x 3y 4z			4x			4x y
	6				y z 11		4z 2
x 2 y 4z 31						x 4 y 5z 3t 1
						2x 7 y z	5t 2
					37.
36. 5x y 2z 29 .						3x y 2z	4t 1		.
3x y	z 10
						4x 2 y 5z
							t 1
x 3y 5z 7t			0		x y z s			0
						y z s		t 0
9x 2 y 6z
		27			39. x 2 y 3z			2
38.		18		.						.
8z t						y 2z 3s		2
3x 2 y 5z t		17

						z 2s 3t 2