2.2. Маршрутизация мелкопартионных перевозок (метод Кларка-Райта)

Цель: определить рациональные маршруты при доставке грузов мелкими партиями.

При маршрутизации перевозок с использованием кратчайшей связывающей сети задачи выбора очередности объезда пунктов и их набора, включаемого в маршруты, для перевозки груза автомобилями заданной грузоподъемности решают последовательно. Алгоритм Кларка и Райта предусматривает совмещенное решение задачи маршрутизации перевозок, осуществляемых в общем случае парком автомобилей различной грузоподъемности.

Первым этапом является построение плана, состоящего из маятниковых маршрутов, на каждом из которых предполагается обслуживать одного потребителя. Для каждого такого маршрута назначают автомобиль возможно минимальной грузоподъемности (условно предполагается, что наличный парк автомобилей позволяет это сделать).

На каждом последующем шаге два маршрута объединяют в один. В результате объединения двух маятниковых маршрутов появляется один развозочный. Из полученных маятниковых и развозочных мар­шрутов выбирают такие два, которые после объединения обеспечивают наибольшее сокращение суммарных затрат.

Процесс заканчивают, когда не остается ни одной пары маршрутов, которые целесообразно объединить в один (поскольку в результате объединения уменьшится значение суммарного показателя, либо нет соответствующего для объединения автомобиля).

Рассмотрим решение данной задачи на примере: имеется 8 потребителей груза, потребности завоза которых указаны в первом столбце табл. 2.1. Выделено пять автомобилей грузоподъемностью 4,5 т (ЛуАЗ-890Б) и три автомобиля грузоподъемностью 1,75 т (ГЗСА-3702).

В каждом столбце Р_i (табл. 2.1) указывают рас­стояние от i-го пункта до любого другого (Р_i+1, Р_i+2...). Так как матрица кратчайших расстояний симметрична, то достаточно одной половины матрицы.

Таблица 2.1

Расстояния между пунктами

Потр., т	P0
0,89	10	P1
0,79	15	3	P2
0,84	20	11	8	P3
0,96	25	18	19	11	P4
1	30	2	10	15	4	P5
0,17	23	6	2	10	11	9	P6
0,61	19	8	7	5	12	6	11	P7
0,91	30	10	13	4	3	5	3	7	P8

Рассчитывают величины, характеризующие выигрыши в расстоянии, которые получают в резуль­тате объединения соответствующих маршрутов в один, и заносят их в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	P0
0,89	10	P1
0,79	15	22	P2
0,84	20	19	27	P3
0,96	25	17	21	34	P4
1	30	38	35	35	51	P5
0,17	23	27	36	33	37	44	P6
0,61	19	21	27	34	32	43	31	P7
0,91	30	30	32	46	52	55	50	42	P8

Расчет выигрыша в расстоянии рассмотрим на примере элемента, стоящего в столбце Р₄ и строке Р₈. Этот элемент соответствует объединению маршрутов Р₀ - Р₄ - Р₀ и Р₀ - Р₈ - Р₀, в результате которого получается маршрут Р₀ - Р₄ - Р₈ - Р₀ .

В новом маршруте вместо расстояния от пункта Р₄ к пункту Р₀ и от пункта Р₀ к пункту Р₈ (25+30=55 км) используют расстояние от пункта Р₄ к пункту Р₈ (3 км). Следовательно, выигрыш от объединения этих маршрутов в один составляет 55-3=52 км, что и указано в рассматриваемой клетке.

Поскольку для дальнейших расчетов необходимо знать только величины выигрышей, представляют их отдельно (см. табл. 2.2). Кроме того, присоединяют к матрице выигрышей отдельный столбец индикаторов (I) пунктов Р_i. Величины, стоящие в этом столбце, принимают значения 0; 1 или 2. Индикатор строки Р_i показывает, является пункт внутренним (0), первым или последним (1) в некотором развозочном маршруте, или он включается в маятниковый маршрут (2), т.е. маршрут вида Р₀ - Р_i - Р_0.

Из табл. 2.2 видно, что наибольший выигрыш (55 км) достигается при преобразовании (объединении) маятниковых маршрутов Р₀- Р₅ - Р₀ и Р₀ - Р₈ - Р₀ в развозочный Р₀ - Р₅ - Р₈ - Р₀ (табл. 2.3). Для развозочного маршрута Р₀ - Р₅ - Р₈ - Р₀ требуется автомобиль грузоподъемностью 1,91 т и более (1+0,91=1,91 т). Такой автомобиль имеется, поэтому объединение возможно.

Таблица 2.3

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	I
0,89	2	P1
0,79	2	22	P2
0,84	2	19	27	P3
0,96	2	17	21	34	P4
1	2	38	35	35	51	P5
0,17	2	27	36	33	37	44	P6
0,61	2	21	27	34	32	43	31	P7
0,91	2	30	32	46	52	55	50	42	P8

После объединения в соответствующих строках меняют элементы первого и второго столбцов. В первых клетках обеих строк записывают число 1,91 (загрузка автомобиля на маршруте Р₀- Р₅ - Р₈ - Р₀). Индикаторы строк Р₅ и Р₈ примут значение 1 (вместо 2). Эти изменения в нашем примере вносят в исходную матрицу. Кроме того, необходимо следить за изменением числа свободных и занятых автомобилей различной грузоподъемности.

На следующем этапе объединяют в маршрут Р₀ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₀ маршруты Р₀ - Р₄ - Р₀ и Р₀ - Р₅ - Р₈ - Р₀. Это объединение дает наибольший теперь выигрыш - 52 км (табл. 2.4). При этом вместо двух автомобилей используют один грузоподъемностью 4,5 т (0,96+1,91=2,87 т).

Пункт Р₈ является внутренним в принятом маршруте, поэтому в дальнейшем при поиске новых вариантов объединений он не рассматривается, а в столбце индикатора против соответствующей строки проставляют 0. Максимальный выигрыш отыскивают только в строках, которые соответствуют пунктам с индикаторами, имеющими отличные от нуля значения.

Таблица 2.4

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	I
0,89	2	P1
0,79	2	22	P2
0,84	2	19	27	P3
0,96	2	17	21	34	P4
1,91	1	38	35	35	51	P5
0,17	2	27	36	33	37	44	P6
0,61	2	21	27	34	32	43	31	P7
1,91	1	30	32	46	52	0	50	42	P8

Теперь максимальному выигрышу (44 км) соответствует объединение маршрутов Р₀ - Р₆ - Р₀ и Р₀ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₀ в развозочный Р₀ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₀. Объем перевозок на маршруте при этом станет 0,17+2,87= =3,04 т (табл. 2.5).

На следующих этапах объединяют маршруты Р₀ - Р₂ - Р₀ и Р₀ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₀ в развозочный Р₀ - Р₂ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₀ (выигрыш 36 км) и Р₀ - Р₇ - Р₀ и Р₀ - Р₂ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₀ в развозочный Р₀ - Р₂ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₇ - Р₀ (выигрыш 32 км). В первом случае объем перевозок на маршруте составит 0,79+3,04= 3,83 т (табл. 2.6), а во втором случае – 0,61+3,83=4,44 т (табл. 2.7). Дальнейшее объединение маршрутов невозможно, так как отсутствует автомобиль грузоподъемностью более 4,5 т, поэтому маршрут Р₀ - Р₂ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₇ - Р₀ считают законченным и за ним закрепляют автомобиль грузоподъемностью 4,5 т.

Таблица 2.5

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	I
0,89	2	P1
0,79	2	22	P2
0,84	2	19	27	P3
2,87	1	17	21	34	P4
2,87	1	38	35	35	51	P5
0,17	2	27	36	33	37	44	P6
0,61	2	21	27	34	32	43	31	P7
	0	30	32	46	0	0	50	42	P8

Таблица 2.6

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	I
0,89	2	P1
0,79	2	22	P2
0,84	2	19	27	P3
3,04	1	17	21	34	P4
	0	38	35	35	51	P5
3,04	1	27	36	33	37	0	P6
0,61	2	21	27	34	32	43	31	P7
	0	30	32	46	0	0	50	42	P8

Таблица 2.7

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	I
0,89	2	P1
3,83	1	22	P2
0,84	2	19	27	P3
3,83	1	17	21	34	P4
	0	38	35	35	51	P5
	0	27	0	33	37	0	P6
0,61	2	21	27	34	32	43	31	P7
	0	30	32	46	0	0	50	42	P8

На следующем этапе объединяют оставшиеся маршруты Р₀ - Р₁ - Р₀ и Р₀ - Р₃ - Р₀ в развозочный Р₀ - Р₁ - Р₃ - Р₀ (выигрыш 19 км). Объем перевозок на маршруте при этом станет 0,89+0,84= 1,73 т (табл. 2.8). Так как нет больше пунктов для объединения, то маршрут Р₀ - Р₁ - Р₃ - Р₀ считают законченным и за ним закрепляют автомобиль грузоподъемностью 1,75 т. Следовательно, для перевозок используют один автомобиль грузоподъемностью 4,5 т (Луаз-890Б) и один автомобиль грузоподъемностью 1,75 т (ГЗСА-3702).

Таблица 2.8

Выигрыши при объединении пунктов

Потр., т	I
0,89	2	P1
4,44	1	22	P2
0,84	2	19	27	P3
	0	17	21	34	P4
	0	38	35	35	51	P5
	0	27	0	33	37	0	P6
4,44	1	21	27	34	0	43	31	P7
	0	30	32	46	0	0	50	42	P8

Вместо использованных выигрышей и тех, которые не удалось использовать, в табл. 2.4–2.8 проставляют нули.

Алгоритм Кларка и Райта не гарантирует получения оптимального решения. Поэтому следует проверять целесообразность перестановок пунктов, входящих в маршруты. Одним из методов, позволяющих это сделать, является метод суммирования по столбцам.

В качестве исходных данных необходима матрица кратчайших расстояний между точками маршрута. Для маршрута № 1 (Р₀ - Р₂ - Р₆ - Р₅ - Р₈ - Р₄ - Р₇ - Р₀) она приведена в табл. 2.9.

В итоговой строке табл. 2.9 проставляют сумму расстояний в каждом столбце. Затем выбирают три начальных пункта, имеющих максимальные суммы в столбцах (пункты 0, 4 и 2). Они образуют кольцевой маршрут 0 - 4 - 2 - 0. В него включают следующий пункт с максимальной суммой в столбце – пункт 5. Чтобы определить, между какими пунктами его следует вставить, необходимо найти минимально возможное увеличение длины маршрута  l_ij, обусловленное включением пункта 5. Величину  l_ij находят по формуле

l_kj=l_ki+l_ij-l_kj, (2.1)

где l_ki, l_ij, l_ki – расстояние между соответствующими пунктами, км;

k, j – пункты, между которыми предполагается вставка;

i – вставляемый пункт.

В данном случае пункт 5 можно вставить между парами пунктов (0,4), (4,2) и (2,0). Например, для первой пары формула (2.1) будет иметь вид l_0-4=l_0-5+l_5-4-l_0-4.

Таблица 2.9

Матрица кратчайших расстояний

Пункты	Кратчайшие расстояния между пунктами, км
	P0	P2	P6	P5	P8	P4	P7
P0		15	23	30	30	25	19
P2	15		2	10	13	19	7
P6	23	2		9	3	11	11
P5	30	10	9		5	4	6
P8	30	13	3	5		3	7
P4	25	19	11	4	3		12
P7	19	7	11	6	7	12
СУММА	142	66	59	64	61	74	62

При подстановке расстояний из матрицы (табл. 2.9) получим l_0-4=30+4-25=9. Для остальных двух пар l_4-2=4+10-19=-5; l_2-0=10+30--15=25. Минимальное значение (l_4-2 =-5) определяет место вставки: пункт 5 включают в маршрут между пунктами 4 и 2. Маршрут примет вид 0-4-5-2-0. Следующее по величине значение в итоговой строке матрицы соответствует пункту 7. Его можно вставить между парами пунктов (0,4), (4,5), (5,2) и (2,0). Подсчитаем изменения длины маршрута: l_0-4=l_0-7+l_7-4-l_0-4=19+12-25=6; l_4-5=12+6-4=14; l_5-2=6+7-10=3; l_2-0=7+19-15=11. Пункт 7 вставляют между пунктами 5 и 2. Получают маршрут 0-4-5-7-2-0.

На следующем этапе вставляют пункт 8. Производят аналогичный расчёт. Минимальное значение имеет l_4-5=4. Следовательно, пункт 8 вставляют между пунктами 4 и 5 и получают маршрут 0-4-8-5-7-2-0.

В заключение вставляют пункт 6. Произведя вычисления, получают, что минимальное значение имеет l_7-2=6. Поэтому пункт 6 вставляют между пунктами 7 и 2 и окончательно получают маршрут 0-4-8-5-7-6-2-0. Аналогичным образом определяют порядок объезда пунктов на маршруте №2 (Р₀ - Р₁ - Р₃ - Р₀).