3.4. Проверка устойчивости системы по критерию Михайлова

Подставим в этот полином вместо p мнимую переменную j. В результате получим комплексную функцию

Здесь U_D() - действительная часть, полученная из членов А(р), содержащих четные члены р, a V_D() - мнимая часть, полученная из членов А(р) с нечетными степенями р.

Изобразим A(j) в виде годографа в комплексной плоскости. Этот годограф называется годографом Михайлова.

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф A(j), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - порядок системы.

Для проверки устойчивости по критерию Михайлова заменим в характеристическом уравнение р на j.

A(j) = 0,0022 * (j)⁴ + 0,127 * (j)³ + 0,268 * (j)² + j + 0,144 =

= 0,0022 * ⁴ - 0,127 * j³ - 0,268 * ² + j + 0,144 =

= 0,0022 * ⁴ - 0,268 * ² + j (- 0,127³) + 0,144

Найдем точки пересечения годографа вектора частотной функции F(j) с осями на комплексной плоскости:

a) с j

0,0022 * ⁴ - 0,268 * ² + 0,144 = 0

₁ = 0,72;

₂ = 11,012;

при ₁ j₁= ₁- 0,127₁³ = 0,72 - 0,127*0,72³ = 0,673

при ₂ j₂= ₂- 0,127₂³ = 11.012 -0,127*11,012³ = -158,579

б) с “+1;-1”

- 0,127³= 0

₃= 0;

₄= 2,806;

при ₃ “+1” = 0,0022 * ₃⁴ - 0,268 * ₃² + 0,144 = 0,144

при ₄ “-1” = 0,0022 * ₄⁴ - 0,268 * ₄² + 0,144 = -1,83

Годограф последовательно проходит четыре квадранта. Годограф берет свое начало из точки 0,144, находящейся на действительной положительной полуоси и проходит последовательно против часовой стрелки 4 квадранта. Следовательно, по критерию Михайлова система устойчива.

3.5. Определение статической и скоростной ошибки

1. Поскольку исследуемая САР в структуре имеет астатическое звено, то статическая ошибка САР равна 0.

2. Коэффициент ошибки по скорости:

1/k1k2k3 = l / (0.08*0.15* 12) = 6,944

4. Оценка показателей точности работы сар

4.1. Частотные критерии качества переходных процессов

Для минимально-фазовых систем качество переходных процессов может быть оценено по амплитудной характеристике замкнутой системы Аз().

Построим АЧХ для передаточной функции:

Для этого заменим коэффициент р на j. тогда получим

Отделим мнимую часть от действительной.

отделим амплитуду от фазы

Построим АЧХ

По АЧХ можно оценить колебательность и длительность переходной характеристики системы. Колебательность определяется по величине относительного максимума характеристики, который поэтому называется показателем колебательности:

М=А(p)/А(0)

М=0.0288/0.0180=1.6

Длительность переходной характеристики может быть оценена по величине резонансной частоты _p. t_max =  / _{p= 3.14/2.51=1.251}

4.2. Корневые критерии качества переходных процессов

Чтобы проверить корневые критерии качества, необходимо решить следующее уравнение четвертой степени

0,0022 ⁴ + 0,127 ³ + 0,268 ² +  + 0,144 = 0

Найдем корни этого уравнения:

 ₁ = -55.69

 ₂ = -9,46– 2,64 j

 ₃ = -9,46 + 2,64 j

 ₄ = -0,150

Чтобы корневые критерии качества выполнялись, должно выполняться соотношение: