12.2 Вероятность излучения электрона в квантованной плоской волне

Рассмотрим, как описывается излучение электрона в рамках модели «электрон + квантованная плоская волна» по теории возмущений.

Исходное уравнение модели (3.61) можно записать в виде:

Тогда гамильтониан Hможно разбить на две части

при этом выберем в качестве нулевого приближения

где - оператор потенциала поля плоской волны, а в качестве «возмущающего» оператора

где неучтенная вчасть оператора-потенциаласвободного электромагнитного поля иявляется малой поправкой к.

Точные решения (3.64) (обозначим их через ) есть полный набор решения уравнения

тогда из (3.64) можно разложить по

Если выбрать в качестве начального состояния решения невозмущенной задачии перейти к представлению взаимодействия [255], то

Здесь оператор Sподчиняется уравнению

а оператор эволюции -

Из (3.74) следует, что - амплитуда вероятности перехода из состоянияв момент временив состояниев момент времени, а сама вероятность перехода записывается в виде

Решая (3.75), S- матрицу можно записать следующим образом

где P– оператор Дайсона хронологического упорядочивания по времени.

Используя (3.77) и то, что мало, определим вероятность перехода (3.76) в первом порядке по возмущению:

Из (3.70) следует, что систему функций нулевого приближения модели электрона в поле излучения необходимо выбрать в виде произведения функций (3.64) на функцию свободного фотонного поля.

Таким образом, дифференциальная вероятность излучения фото частоты с импульсом,и поляризацииев элемент телесного углав единицу времени принимает вид

Здесь штрихом отмечены конечные состояния,

а суммирование распространяется на все конечные состояния.

Импульс излученного фотона направлен по

Матричный элемент с учетом того, что

имеет вид ,

Учет поляризации начальных фотонов производится выбором их начальных состояний при расчете средних (), (),, () по фотонным переменным. Явный вид этих величин будет приведен в каждом конкретном случае задания поляризации фотонов.

Мощность излучения фотона с энергией можно выразить через вероятностьWизлучения этого фотона.

Полученные формулы дают возможность в нулевом порядке по плотности падающих фотонов вывести все результаты, получаемые на уровне диаграммной техники Фейнмана-Аайсона, причем расчеты с поляризованными частицами проводятся значительно проще, и, кроме того, позволяют вычислить поправки, учитывающие интенсивность падающего пучка фотонов.

12.3 Процесс слияния фотонов на электроне

Рассмотрим эффект слияния двух фотонов с параллельными импульсами, но разными частотами в один на электроне

,(3.86)

37