12.1 Модель квантовой электродинамики "электрон плюс квантованное поле плоской электромагнитной волны"

Исходное уравнение модели - одно частичное уравнение Дирака:

(3.61)

здесь - матрица Дирака

- вектор состояния электрона в пространстве фотонных переменных,

- потенциал свободного квантованного внешнего поля.

Как показано в [228], уравнение (3.61) является следствием точных уравнений квантовой электродинамики, записанных, например, в гейзенберговом представлении [253]:

где ,,- полевые операторы, а- вектор состояния в гейзен6ерговом представлении. Если теперь в (3.62) прене6речь эффектами рождения электрон-позитронных пар, то из (3.62) можно получить (3.61).

Уравнение (3.61) точно решить не удается. Поэтому будем учитывать взаимодействие электрона не со всем полем излучения, а только с квантованной плоской волной, т.е. с фотонами, движущимися в одном направлении. Тогда в (3.61) заменим на оператор-потенциал

здесь ,,- частоты фотонов, занумерованных индексомK=1, 2, 3, … в порядке возрастания,- орты поляризации

- операторы рождения и уничтожения фотонов частоты и поляризации,V– объём,иобразуют правую тройку ортонормированных векторов декартовой системы координат.

Уравнение (3.61) с оператором (3.63) будет исходным для модели электрон + квантованное поле плоской электромагнитной волны. Его точное решение находится методом разделения переменных: находятся такие волновые функции, которые являются собственными функциями операторов-интегралов движения, т.е. операторов, соответствующих физическим величинам, сохраняющимся во времени. Таким образом, отыскиваются так называемые чистые состояния, соответствующие сохранению определенных физических величин.

Решения уравнения Дирака (3.61) для электронов в поле квантованной плоской волны

где D– нормировочный множитель, унитарный оператор

- целые числа (числа заполнения),

- постоянный двух компонентный спинор описывает ориентацию спина электрона.

Один из основных физических выводов состоит в том, что система из электрона, взаимодействующего с квантованной плоской волны, эффективно описывается в терминах невзаимодействующих квазичастиц: квазиэлектрона

с постоянным 4-вектором энергии-импульса квазифотонов с 4-вектором энергии-импульса, причем энергия квазифотоновRсвязана с числами заполнения квазифотоновсоотношением

А частоты квазифотонов определяются уравнением

Из (3.66) следует, что при выключении взаимодействия электрона с квантованным полем () совокупностьчастот квазифотонов должна перейти в совокупностьчастот свободных фотонов, т.е. с каждой частотойможно сопоставить частоту квазифотона.

Введенные квазифотоны обладают поляризацией. Связь чисел фотонов с числами квазифотоновлинейная, и число фотонов одного сорта выражается через полный набор чисел квазифотонов, т.е., но в нулевом впорядке число фотонов равно числу квазифотонов.

Также и вакуумы фотонов и квззифотонов, не совпадающие в общем, совпадают в нулевом по порядке.

Как показано в [229], величина пропорциональна параметру интенсивности классической волны(- классический потенциал поля волны). Кроме того,пропорционально постоянной тонкой структуры, а величинуможно понимать как плотность квазифотонов сорта, умноженную на постоянную тонкой структуры. Следовательно, параметромможно характеризовать интенсивность поля квантованной плоской волны, и, рассматривая малые, мы тем самым рассматриваем поле малой интенсивности.

Из рассмотрения интегралов движения в модели электрон + квантованная волна следует, что если в качестве независимых квантовых чисел выбрать ,,и спиновое квантовое число, энергиясистемы электрон + квантованная волна определяется однозначно из дисперсионного соотношения

При выключении взаимодействия (е=0) волновые функции (3.64) переходят в произведение функций свободного электрона и свободных фотонов. Если все числа заполненияположить равными нулю, то получим волновую функцию электрона, взаимодействующего с частью электромагнитного вакуума, учтенного плоской волной.

Для использования решений (3.64) в расчетах множественных процессов необходимым условием является полнота решений. Ортогональность и полнота волновых функций (3.64) строго доказана в [231] в формализме «нулевой плоскости» [254].

Проведенная выше классификация решений (3.64) позволяет ставить задачу о спонтанном переходе системы из одного состояния в другое с излучением одного фотона. Этот процесс схематично можно представить формулой:

Выбор начального и конечного состояний определяет конкретный вид реакции.