3. Методические указания по выполнению расчетно-графических работ Задача 1.1

Очевидным способом нахождения комплексного спектра видеоимпульса является прямое интегрирование

.

Во многих случаях сигнал одновременно допускает и преобразование Фурье и преобразование Лапласа. Тогда прямого интегрирования можно избежать, воспользовавшись таблицами оригиналов и лапласовых изображений, а также связью спектраи изображения

.

Таким образом, для нахождения спектра импульса можно сначала найти лапласово изображение, а затем сделать замену .

Этот прием может привести к кратчайшему получению спектра, но предполагает, что функция обладает свойствами оригинала. Частоне является оригиналом только потому, что нарушается условиепри. Тогда можно сдвинуть функциюв сторону запаздывания для получения оригинала, найти спектр запаздывающего импульса и применить теорему запаздывания (которая для преобразования Фурье справедлива и в случае опережения)¹.

Этот подход не обязателен. Его целесообразность должна быть определена в каждом конкретном случае.

Многочисленные ошибки курсанты допускают при определении фазового спектра. Ошибки связаны с тем, что аргумент комплексной функции определяют некорректной формулой

.

Следует иметь в виду, что областью изменения арктангенса являются значения углов в пределах от до, в то время как аргумент комплексного выражения может выходить за эти пределы. Поэтому неосмотрительное применение арктангенса может приводить к ошибкам. Приведенная формуладает правильный результаттолько при выполнении условия. Для исключения таких ошибок можно пользоваться следующей формулой для отыскания аргумента комплексного выражения

(3.1)

Эта формула исключает случай и дает аргументы в пределах отдо, что может оказаться неудобным. В качестве наиболее общей формулы для вычисления аргумента, дающей результат в пределах отдо, можно использовать следующую:

(3.2)

где символами обозначена функция знака, дающая значение +1 при положительных ее аргументах и значение -1 при отрицательных.

Нередко видеоимпульс выражается четной или нечетной функцией или сдвигом таковых функций на некоторое время . В этих случаях целесообразно вообще отказаться от разложения спектра на вещественную и мнимую части и, соответственно, от применения формул (3.1), (3.2). Тогда стоит воспользоваться следующими соображениями.

• Спектр четной функции вещественен и четен. Его аргумент равен нулю, если спектр положителен, и равен (или), если спектр отрицателен.

• Спектр нечетной функции является мнимым и нечетным. Его аргумент равен илив зависимости от знака мнимой части спектра.

• Модуль произведения функций равен произведению их модулей. Аргумент произведения функций равен сумме их аргументов.

• Аргумент вещественной функции равен нулю, если функция положительна, и равен (или), если функция отрицательна.

• Аргумент мнимой функции равен илив зависимости от знака функции.

Пример.

Пусть требуется найти амплитудный и фазовый спектры сдвинутого треугольного импульса(рис.3.1).

Двукратное дифференцирование функции (см. рис.3.1) проводит к линейной комбинации трех запаздывающихфункций:

.

Учитывая, что спектр тождественно равен 1, на основе теоремы линейности и теоремы запаздывания получаем спектр второй производной сигнала:

,

или

.

Исходный сигнал связан с его второй производной операцией двукратного интегрирования. Следовательно, в соответствии с теоремой интегрирования для получения спектра сигнала следует спектр второй производной разделить на .

.

Выделение вещественной и мнимой частей спектра для нахождения модуля и аргумента здесь является излишней операцией. Взамен этого выполним простые тождественные преобразования:

.

Отсюда

.

Спектр представлен в виде произведения трех сомножителей. Первые два сомножителя вещественны и положительны. Их аргументы равны нулю. Третий сомножитель имеет единичный модуль и аргумент . Отсюда получаем окончательные выражения амплитудного и фазового спектра сигнала

.

Для определения комплексных амплитуд гармоник периодического повторения импульса с периодомпроще всего воспользоваться их связью со спектральной плотностьюодного импульса последовательности

. (3.3)

При графическом представлении спектров следует четко различать сплошные спектры одиночных импульсов и линейчатые спектры периодических сигналов.