шпора

1

Обл практч деят и науки, где исп методы т.в. и мат.стат.

Цель – опис, объясн и предсказ явлений действт на основе установл законовб что позвол находить решен в тпичных ситуациях

Мат.стат. – изучает методы обработки результатов наблюдений массовых с.явлений, облад статистич устойчивостью, закономерностью, с целью выявл закономерности.

Т.В. – логически изуч закономерн случ явлений и имеет дело с мат моделями с.в.

Обл. практ.деят.: Различн отрасли естествознания и техники:

- теор надежности; теор массового обслуж-я; теоретич. физика; геодезия; астрономия; теор стрельбы; теор ошибок наблюд; теор автоматич управл; общ. теор связи.

+Обоснования мат.&прикладн статист:

- планировка&орг-я пр-ва; анал технол проц; предупредит & прёимочный контроль кач-ва продукции.

Основные понятия Т.В. и их соотнесения с соотв понятиями теор множ-в

-1-

2.1

Ф-ии распред-я с.в. и их св-ва

Пусть Х – с.в., Х:ℝ. Ф-ия распр-я с.в. Х = ф-я F:R[0;1],if x∈ℝ P(X≤x)=F(x),обознач. F_X(x) x∈ℝ, 0≤F_X(x)≤1

// ф-ия определенная вер-тью того, что с.в. Х в рез-те испыт <x.

Свойства:

I св-во: F_X – неубывающая ф-ия.

любая с.в.Х, x₁,x₂∈ℝ, x₁<x₂ имеет F_X(x₁)≤F_X(x₂)

Д-во 1:

A₁={w∈: X(w)≤x₁}

A₂={w∈: X(w)≤x₂}

F_X(x₁)=P(A₁); F_X(x₁)=P(A₁);

заметим: A₁∈A₂ (т.1к. x₁<x₂) => P(A₁)≤P(A₂) => F_X монотонно неубыв

Д-во 2:

A={X≤x₂}={X<x₁, P(A)=P(X<x₁) || x₁≤X<x₂, P(A)=P(x₁≤X<x₂).

по теореме сложения:

P(X≤x₂)= P(X<x₁)+P(x₁≤X<x₂) => P(X≤x₂)- P(X<x₁)=P(x₁≤X<x₂) <=>

F(x₂)-F(x₁)= P(x₁≤X<x₂)

т.к. любая Р≥0, то F(x₂)-F(x₁)≥0

II св-во:  с.в.Х lim F_X(x)=0 // x-∞

Д-во:Пусть Х∈(a;b)

x₁<a => X<x₁ невозможно (т.к. Х не приним значений <x₁) => P (X<x₁)=0

-3-

2.2

Квантили и Мода

Х- непрер с.в., f_X ее ф-ия плотности, 0<p<1. Точка х_p∈ℝ наз-ся квантилью порядка p с.в. Х, if ∫{-∞;∞}f(u)du=p

Мода – т-ка лок мах ф-ии f_X

f_X p

moda x_p – квантиль

Равномерное распределение

Распр-е вер-ей наз Равномерным, if на интервале,к-ому ∈ все возм значения с.в. f(x)=const=C; f(x)

∫{a;b}f(x)dx=1; 1/(b-a)

∫Cdx=1 =>

C=1/(b-a) a b

Функция распред-я системы с.в.

/* двумерной */ Ф-ия F_X(x,y…) опред-ую для каждй пары (тройки…) чисел x,y,… вер-ть того, что X<x и при этом Y<y… F_XY…(x,y…)=P(X<x,Y<y…)

Свойства ф-ии распр Y

I св-во: Значения ф-ии (x;y)

распр удовл: X

0≤F(x;y)≤1

Д-во: P всегда 0≤P≤1 

II св-во: F(x;y) есть неубывающая ф-я по каждому аргументу: F(x₂;y)≥F(x₁;y), if x₁<x₂

-5-

3.1

Числовые х-ки с.в.

числа, к-рые описывают с.в. суммарно.

Мат. ожидание

сумма призв всех возм знач с.в. на из P:

EX=∑{i=1;∞} x_ip_i

T. Пусть Х непр-ая с.в., f_X- ее ф-я плотности, тогда

EX=∫{-∞;∞}u·f(u)du

Замечание: интеграл сх-ся

Д-во: выберем x₀<x₁…<x_k

∫u·f(u)du≈∫(x_-0;x_k}u∙f(u)du=

=∑∫{x_i-1;x_i} u∙f(u)du ≈

≈ ∑(x_i-1+x_i)/2∙∫f(u)du=∑[(x_i-1+x_i)/2]∙P(A_i)

где A_i={x_i-1≤X≤x_i} 

Свойства EX:

I св-во: EI=C

Д-во: рассм С как дискр с.в., к-рая имеет одно возм знач и приним его с P=1 => E©=C∙1=C 

Замечание: С∙Х дискр с.в. (С=const, X-дискр. с.в., возм знач: Сx₁,Cx₂…; P(Cx₁)=P(x₁)=P₁,…

II св-во: E(CX)=C∙EX

Д-во: пусть X с.в., задана законом распр вер-тей:

EX=Cx₁p₁+…Cx_np_n= C∙(x₁p₁+…x_np_n)=

=C∙EX 

-7-

3.2

Дисперсия

оценивает как рассеяны возможные знач с.в. вокруг ее EX

Def: мат. ожид квадрата откл-я с.в.от ее мата ожид-я

D(X)=E[X-E(X)]²=E(X²)-EX

Т. Пусть Х – непр-я с.в., f_X- ее ф-я плотности, тогда

D(X)=∫{-∞; ∞}(u-E(X))²f(u)du.

Свойства DX:

I св-во: D(C)=0

Д-во:D(C)=E[C-E(C)]²=E[C-C]²=E(0)=0

=> D(C)=0 

II св-во: D(CX)=C²D(X)

Д-во: D(CX)=E{(CX-E(CX))²}=

=E{C²∙(E-E(X))²}=C²E[X-E(X)]² 

III св-во: if X,Y – независимы D(X+Y)=D(X)+D(Y)

Д-во: D(X+Y)= E[(X+Y)²]-[E(X+Y)]²=

=E(X²+2XY+Y²)-[E(X)+E(Y)]²=

=E(X²)+2E(XY)+E(Y²)-E²(X)-E²(Y)-2E(X)∙E(Y)={E(X²)- E²(X)}+{E(Y²)- E²(Y)}=D(X)+D(Y) 

Следствие 1: D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)

Следствие 2: D(C+X)=D(X)

III.1 св-во: if X,Y зависимы:

D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X;Y)

IV св-во: if X,Y – независимы

D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Д-во: D(X-Y)=D(X)+D(-Y)= D(X)+

+(-1)²D(Y)= D(X)+D(Y) 

Т. D(X) числа появления события А в n независ испыт, в кажд из к-рых p появл соб =const, q=1-p

D(X)=npq

-9-

4

Условные вероятности

P_H(A)=P(A|H) – вероятность события А при условии, что событие Р уже произошло

P(A|H)=P(A∩H)/P(H)

Формула полной вероятности

Т. Вер-ть события A, r-рое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B_i, (i1бююют), образующих полную группу =

P(A)=∑P(B_i)∙P(A|B_i)

Д-во: появл события А означает осущ-е любого из несовмест событ: B_i∙A. По теореме слож-я P(A)=∑P(B_i∙A). По теор умнож-я: P(B_i∙A)=P(B_i)∙P_Bi(A). Получаем: P(A)=∑P(B_i)∙P_Bi(A) 

Формулы Байеса

позвол переоценить вер-ти гипотез после того, как станов извест результ испыт, в итоге к-рого появ событ А.

Вывод ф-лы: (*)P(A)= ∑P(B_i)∙P_Bi(A);

по теор умнож:

P(AB_i)=P(A)P_A(B_i)=P(B_i)P_Bi(A) =>

P_A(B_i)=P(B_i)P_Bi(A)/P(A); подстав P(A);

P_A(B_i)= P(B_i)P_Bi(A)/ ∑P(B_i)∙P_Bi(A);

-11-

6

Нормальное распределение

-распр-е вер-тей непрер с.в., к-рое описывается плотностью:

определяется двумя параметрами: a,σ (среднее кв-ческое отклон)

EX=a

Д-во:

EX=[1/σ√(2π)]∙∫x∙e^[-(x- μ)² /2σ² ]dx

//{-∞;∞}

замена: z=(x-μ)/σ => x=σz+μ; dx=σ∙dz

получим //{-∞;∞}

EX=σ/σ√(2π)∙∫(σz+μ)∙e^[-z² /2]dz= =[1/√(2π)]∙∫σz∙e^[-z² /2]dz+ //=0, нечет

+[μ /√(2π)]∙∫e^[-z² /2]dz //=μ, ∫ Пуас 

D(X)=σ²

Д-во:

DX=[1/σ√(2π)]∙∫(x-μ)²∙e^[-(x-μ)² /2σ² ]dx

замена: z=(x-μ)/σ => x=σz+μ; dx=σ∙dz

//{-∞;∞}

DX=[σ²/√(2π)]∙∫z∙ze^[-z² /2]dz

по частям: u=z; dv=z∙ e^[-z² /2]dz

D(X)=σ²  => σ_Х=σ

Стандартное нормальное: a=0; σ=1

f(x)_{стандарт}=[1/√(2π)]∙ e^[-x² /2]

F(x)_{стандарт}=[1/√(2π)]∙∫e^[-z² /2]dz

σ=1

f(x)

Кривая Гаусса ­­σ=3

σ=7

0

1 x

-13-

Св-во стационарности(однородн) – вер-ть появл k событий на любом промеж-ке врем зависит только от числа k и от длит-ти промеж-ка.

Св-во отсутствия последствий (независ от предыстории) – вер-ть появл k событий на любом пормеж-ке врем не завис от прошлого. (т.е. условкая вер-ть появл k событий выч-ая при любых предполож о том, что происходило раньше = безусловной.

Св-во ординарности: появл 2 и более событий за o(1) промежуток времени невозможно.

Интенсивность потока λ – ср-ее число событий, к-ое появл в ед-у времени.

P_t(k)=(λt)^k∙e^-λ/k!

t- длительность

k- кол-во появл события

λ- постоянная интенсивность событий

8

Экспоненциальное (показательное) распределение

описывается плотностью:

f(x)= { 0 при x<0 1 f(x)

{ λe^-λx при x≥0

x__

F(x)= { 0 при х<0 1 F(x)

{ 1-e^-λx при х≥0

Вер-ть попадания в

интервал (а,b) экспон

распр с.в.: P(a<X<b)=e^-λa- e^-λb

Д-во: т.к. P(a<X<b)=F(b)-F(a)

EX=λ∙∫{0;∞}x∙e^-λxdx=1/λ=σ

DX=λ∙∫{0;∞}x²∙e^-λxdx – 1/λ²=1/λ²

-15-

Функция расп функции с.в.

Х – с.в.; f(x) φ(x)

Y=φ(X); F_Y(y)

F_Y(y)=P{Y<y}= B

=P{ φ(X)<y}

B={Y<y}

A_B= φ^-1(B)

F_Y(y)=∫{A;..}f_X(x)dx=

=∫{ φ(X)<y;..}f_X(x)dx

9

Основной прием мат статистики

Набору чисел (наблюдений) х₁,х₂…х_n ставится в соотв набор с.в. Х₁,Х₂,…Х_n

χ² распределение

Х_i ~N(0;1) (i=1,2,…n) –независ;

тогда χ²=∑X_i²

распределена α

по закону χ² с k=n

степенями свободы. χ²_α (k)

If эти велич свзаны //квантиль пор-ка k

одним линейным соотношением (напр ∑X_i=nЙ, то число степ своб k=n-1

f(x)= { 0 при x≤0

{ 1/[2^k/2Г(k/2)]∙ e^-x/2∙x ^{(k/2) -1} при x>0

Где Г(х)=∫(0;∞)t^x-1∙e^-tdt – гамма ф-ия

в частности: Г(n+1)=n!

t - распределение (Стьюдента)

X~N(0;1);

Y~χ²(k) – независ от X,

Тогда T=X/√(Y/k) ~t(k) α/2

k∞, t(k)N(0;1)

-t_α/2(k) t_α/2(k)

-17-

Лемма: в простой случ выборке

cov(X_i,X_j)={ σ² при i=о

{ σ²/(N-1) при i≠j

Д-во: пусть i=j; Cov(X_i,X_i)=D(X_i)=

E(X_i²)-(EX_i)²=1/N ∙∑{j=1;m}n∙ζ_J-μ²=

=1/n ∙ ∑{l=1;N}x_l² - μ²=σ²

Пусть i≠j; E(X_i,X_j)=E(X_iX_j)-E(X_i)∙E(X_j)=

= E(X_iX_j)- μ² …

T. При простой случ выборке

D(X)=[σ²/n]∙ [N-n]/[N-1]

Д-во: D(X)=D(1/n ∙ ∑X_i)=

=1/n² ∙ ∑{i=1;n}∑{j=1;n}cov(X_i;X_j)=

=1/n² ∙ ∑D(X_i) + +1/n²∙∑{i=1;n}∑{j=1;n}cov(X_i;X_j)…

11, 13

Статистические оценки

Найти статистич оценку неизвестного параметра теоретич распр= найти ф-ию от наблюд с.в., к-рая дает приближ-ое знач оцениваемого парам-ра. => это ф-ия от наблюд с.в.

Θˆ - статистич оценка

Θ – оцениваемый параметр

Свойства оценок:

Несмещенность – мат ожид-я оценки (Θˆ)совпадает с истинным значением параметра: E(Θˆ)= Θ

Смещенная оценка – E(Θˆ)≠Θ

Состоятельность – при n∞ Θˆ Θ (например if D(Θˆ)0 при n∞)

ξ>0 сущ n(номер выборки):

lim{P| Θ_n- Θ|<ξ}=1; Θ_n=Θ(X₁,X₂,…X_n)

Эффективность – при заданном объеме выб-ки (n) имеет наименьшую дисперсию. If Θ₁^ , Θ₂^ стат оценки, E(Θ₁^)= Θ; E (Θ₂^)= Θ; D(Θ₁^)<D(Θ₂^), то оценка Θ₁^ более эффективна

-19-

Закон больших чисел (Т.Бернули)

If в каждом из n независимых испыт вер-ть p появления событ А = const, то вер-ть того, что отклонение относительной частоты от вер-ти p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, if число испытаний достаточно велико, как угодно близка к 1.

Т.е. ε=o(1)>0, + усл теоремы, n∞ => lim P(|m/n – p|<ε)=1

Д-во: X_i- число появл событ в i-ом испыт. X_i={1 or 0}, с вер-ми p и 1-p. Испыт независ (по усл)=> попарно независ; D(X_i)=pq≤1/4 (т.к. p+q=1) =>O(1) => можно use Чебышева. Пусть E(X₁)=E(X₂)=…=a. Тогда:

lim P(|(∑X_i)/n – a|<ε)=1; где a=p

Т.к.X_i при появл событ в соотв испыт =1, то ∑X_i =m (появл событ в n испыт) => P(|m/n – p|<ε)=1 

14

Методы построения оценок

Метод моментов

приравнивание теор моментов рассматр распред-я эмпирическим моментам того же порядка.

μ_i= μ_i^, i=1,..l; l- числ оцен-ых парам.

/* Начальный теоретич момент:

μ_k=E(X^k)

Начальный выборочный момент:

μ_k^=1/n ∙ ∑x_i^k */

-21-

Для выборочных отнош и для вер-ти успеха в испыт

1) n – велико, для p^

p^=X/n ~ N (p; p(1-p)/n);

Z=[p^-p]/ √[p(1-p)/n] ~ N(0;1)

1-α=P{|Z|<z_α/2}=

=P{p- z_α/2∙ √[p(1-p)/n]<p^<p+…}

2) -//- p^ ~ N (p; p^(1-p^)/n);

Для дисперсии N ген.сов.

1) μ – неизв, σ^ - изв; X_i~N(μ;σ²)

(n-1)σ^²/σ² ~ χ²(n-1)

1-α= P{ χ²_n-1;1-α/2<(n-1)σ^²/σ²< χ²_n-1;α/2}=

=P{(n-1)σ^²/χ²_n-1;α/2<σ²<(n-1)σ^²/χ²_n-1;1-α/2

Для разности средних двух ген.сов.

1) n₁=n₂; распред любое

X₁,…X_n , EX=μ_x

Y₁,…Y_n , EY=μ_Y

пары: (X₁Y₁),…(X_n,Y_n).Узнать: μ_x=?μ_Y

d_i=X_i-Y_i /* разность */ ~N

можем посчитать: d^ // выб-ое среднее

σ_d^² – выб-ая дисперсия.

d^ ~N(μ_x-μ_Y; σ_d²/n);

// σ_d^² – оценка для каждого d_i

// σ_d² – дисперсия

[d^ - (μ_x-μ_Y)]/ [σ_d^/√n] ~ t(n-1)

1-α={d^ - t_n+1,α/2∙ σ_d^/√n< μ_x-μ_Y< d^ + +t_n–1,α/2∙ σ_d^/√n}

2) n₁≠n₂, N

a) σ² – знаем (X,Y); μ – не знаем

Й~N(μ_x;σ_Х²/n_X); Ў~ N(μ_Y;σ_Y²/n_Y);

Й-Ў~N(μ_x- μ_Y; σ_Х²/n_X+σ_Y²/n_Y);

Z=[(Й-Ў)- (μ_x- μ_Y)]/ √[σ_Х²/n_X+σ_Y²/n_Y]~N

1-α=P{|Z|<z_α/2}=

P{Й-Ў-z_α/2∙√[σ_Х²/n_X+σ_Y²/n_Y]< μ_x- μ_Y<...}

б) n>30; σ² – неизв; μ – неизв;

ищем < μ_x- μ_Y<, но все σ σ^

-23-

5

Схема Испытаний Бернулли

P_n(k)=C_n^k∙ p^k∙q^n-k

p^kq^n-k - вер-ть одного сложного события , соств том, что в n испытаниях событ А наступит k раз и не наступит n-k (по теор умнож-я)

C_n^k – кол-во сложных событий (кол-во сочетаний из n эл-ов по k эл-ов)

Биномиальное распределение

-распределение вер-тей ,определяемое формулой Бернулли.

Событие А: 0 or 1. p=const; X- число появлений событ А. X: x₁=0; x₂=1;…x_n+1=n

Приближенные формулы Муавра-Лапласа

Локальная теорема Лапласа

if p=const≠0; ≠1; n – большое

P_n(k) – А появ в n испыт ровно k раз

P_n(k)≈Y:

Интегральная теорема Лапласа

if p=const≠0; ≠1;

P_n(k₁,k₂) – что событ А появ не менее k₁ и не более k₂ раз в n испыт

x’=(k₁-np)/√(npq)

x”= (k₂-np)/√(npq)

-12-

Д-во: Рассм с.в. Х- число появл А в n независ испыт. X=∑X_i, где X_i- чило наступл соб А в i-ом исп. X_i взаимонезавис, => D(X)=∑D(X_i);

D(X_i)=E(X_i²)-[E(X_i)]²; E(X_i)=p; E(X_i²)=1²∙p+0²∙q=p => D(X_i)=p-p²=p∙q

D(X)=n∙p∙q 

Среднее квадратическое отклонение

σ(X)=√D(X)

Т. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимнонезав с.в. σ(∑X_i)= √ [∑σ²(X_i)]

Ковариация

Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

Cov (X,X)=D(X).

if X,Y независимы, cov(X,Y)=0 (Обратное неверно)

I св-во: cov(x₁+x₂,y)=cov(x₁,y)+cov(x₂,y)

II св-во: cov(α∙x,y)= α∙cov(x,y)

III св-во: cov(x,c)=0

Корреляция

в предположении,что b_X>0; b_Y>0

Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/σ_Xσ_Y

|Corr(X;Y)|≤1

if |corr(X;Y)|=1, значит Y=k∙X+b

Моменты с.в.

Момент порядка k с.в. Х – это E(X^k):

∫{-∞;∞}u^kf(u)du

Центральный момент порядка k с.в. Х

E[(X-E(X))²]

∫{-∞;∞}(u-E(X))^kf(u)du

-10-

III св-во: Y, X – независ с.в.; E(XY)=EX∙EY

Д-во:

E(XY)=y₁g₁(x₁p₁+x₂p₂)+y₂g₂(x₁p₁+x₂p₂)=

=EX∙EY 

Следствие: X,Y,Z – независ с.в.

E(XYZ)=E(XY)∙E(Z)=EX∙EY∙EZ

IV св-во: E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Д-во:

E(X+Y)=(x₁+y₁)p₁₁+…(x₂+y₂)p₂₂= (p₁₁+p₁₂)x₁+(p₂₁+p₂₂)x₂+(p₁₁+p₂₁)y₁+

+(p₁₂+p₂₂)y₂.

Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁

A₁: {X=x₁}=>P(X=x₁)=p₁ влечет А₂;

А₂: {X+Y=x₁+y₁ || X+Y= x₁+y₂}

P(A₂)=p₁₁+p₁₂ (по теореме слож-я)

и обратно => p₁₁+p₁₂=p₁. Аналог-но ост.

p₂₁+p₂₂=p₂; p₁₁+p₂₁=g₁; p₁₂+p₂₂=g₂

E(X+Y)=x₁p₁+x₂p₂+y₁g₁+y₂g₂=EX+EY

Следствие: E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ

T. EX числа появл события А в n независ испыт = EX=n∙p, где n- число испыт; p- вер-ть появл событ в кажд испыт.

Д-во: X- число успехов в n испыт; Х_i – число успехов в i-ом исп. Х=∑X_i; EX=∑EX_i; EX_i=p, т.к. EX числа успехов в одном испыт = p (т.к. X: {x₁=1;x₂=0}

=> EX=p∙n 

-8-

Д-во: Докажем, что F(x;y) неубыв по х

A: {X<x₂ && Y<y}=> (1) P(X<x₁;Y<y)

(2) P{x₁≤X≤x₂; Y<y)

по теор сложения получим:

P(X<x₂ && Y<y)= P(X<x₁;Y<y)+ +P{x₁≤X≤x₂; Y<y) =>

P(X<x₂;Y<y) – P(X<x₁;Y<y) =

=P{x₁≤X≤x₂; Y<y) OR

F(x₂;y)-F(x₁;y)=P(x₁≤X≤x₂; Y<y).

т.к.  P≥0=> F(x₂;y)≥F(x₁;y) 

III св-во: F(-∞,y)=0; F(x,-∞)=0;

F(-∞;-∞)=0; F(∞;∞)=1

Д-во: см. невозм-ть и достов-ть событ

IV св-во: F(x; ∞)=F₁(x); F(∞;y)=F₂(y)

Д-во: Y<∞ дост-но=>F(x; ∞)=P(X<x) 

Условные распред-я

Усл распр составляющей Х при Y=y_i назыв совок-ть усл вер-тей p(x₁|y_i), … p(x_n|y_i), вычис-ых в предпол, что событие Y=y_i (i=const) уже наступило

P(x_j|y_i)=P(x_j;y_i)/P(y_i) //j=1,2,…n

Независимость с.в.

if закон распр одной из них не зависит от того, какие возм знач-я приняла дрю В противном случае: завис.

Взаимонезавис – if законы распр любого числа из них не зависят от того,какие возмзнач приняли ост.

Произведение независ XY: x₁y₁,x₁y_2,…x_ny_n. При этом вер-ти значений равны: P_x1*P_y1,…P_xn*P_yт. If x₁y₂=x₃y₅, то P(x₁y₂) =P(x₃y₅)=P_x1P_y2+

+P_x3P_y5

-6-

III св-во:  с.в.Х lim F_X(x)=1 // x∞

Д-во: Пусть Х∈(a;b)

x₂≥b => X<x₂ достоверно (т.к. все возм знач X<x₂) => P(X<x₂)=1 

IV св-во: Любая с.в. X x∈ℝ ф-ия F_X непрерывна справа в точке х.

Непрерывные с.в.

1) if ее ф-ия распр F_X(ч)есть непрер, кусочно-диффер ф-ия с непрерывной произв

2) if с.в. имеет ф-ию плотности

Ф-ия плотности и ее св-ва

Пусть Х- с.в., F_X – ф-ия распр с.в. Х и пусть сущ. непрерывная ф-ия f: ℝℝ, такая, что х∈ ℝ сущ-т произв F'(x) и F'(x)=f(x). Тогда f наз-ся функцией плотности с.в.Х. Обознач f_X(x)

Свойства:

I св-во: Любая с.в. Х, х∈ℝ, f(x)≥0

Д-во: Ф-ия распр неубывающая ф-ия => ее произв F'(x)=f(x)≥0 

II св-во:  с.в. Х ∫f_X(x)dx=1 // (-∞;∞)

Д-во 1: Несобств интеграл выражает вер-ть событб сост в том, что с.в. Х примет знач (-∞;∞). Такое событие достоверно => P=1

Д-во 2: ∫/*(a;b)*/ f(x)dx =F(a)-F(b) =>

: ∫/*(-∞;∞)*/ f_X(x)dx =1-0=1 

-4-

 - прост-воэлем событ – множ-во всех элем-ых событийб к-ые могут появ-ся

={w₁ ,…w_n} // w_i – элем-ные событ-я (точки пространства)

Событие – явление, к-рое происх в рез-те осущ-я к-л определ комплекса усл

Испытание=Опыт – осущ-е комп-а усл

Случ. Велич.- в результ опыта может принимать то или иное знач-е, неизв заранее, но обязат одно.

Независ с.в. Х₁…Х_n- if  a₁,…a_n и b₁,…b_n: -∞≤a_i≤b_i≤∞ независимы собятия A₁,…A_n

// A_i={w ∈  a_iX_i(w)≤b_i}

События:

- независимые – пусть A,B . If P(A∩B)=P(A)·P(B);

- случайные – может произ-ти или не произ-тив рез-те испыт

- достоверное – 100% произойдет

- неозм-ое – 100% не произ-т

- несовмеснтые – если появл одного искл появл др.

- совместные – не искл

- противопол (=взаимо дополн) – if появл одного вкл появл др.

- благоприятствующ – if появл одного влечет появл др.

- полная группа событий – if в рез-те испыт-я обязано произойти хотябы одно из них и любый 2 из них несовместны.

- равновозм – if нет оснований считать к-л из них более возм,чем др.

-2-

3) ~N; σ_X=σ_Y=?, μ=?, n_X≠n_Y

Й~N(μ_X; σ²/n_X); Ў~ N(μ_Y; σ²/n_Y);

Й-Ў ~N(μ_X - μ_Y; σ²/n_X + σ²/n_Y);

t=[(Й-Ў)-( μ_X - μ_Y)]/σ^∙√[( n_X+n_Y}/n_Xn_Y]

~t*( n_X+n_Y-2)

//σ^²=[(n_X-1)∙σ_X^²+(n_Y-1)∙σ_Y^²]/n_X+n_Y-2

1-α=P{|t|<t_{nX+nY-2; α/2}}

Для разности пропорций при больших выборках

X_i , Y_i – принимает знач 0,1

X – кол-во успехов в I выб-ке

Y – кол-во успехов в II выб-ке

P_X,P_Y – вер-ть успехов

P^_X=X/n_X, P^_Y=Y/n_Y // выб-ое отнош

P^_X ~ N(P_X; [P^_X(1- P^_X]/n_X)

P^_Y ~ N(P_Y; [P^_Y(1- P^_Y]/n_Y)

P^_X –P^_Y ~ N(P_X –P_Y; [P^_X(1- P^_X]/n_X + +[P^_Y(1- P^_Y]/n_Y)

Z= [(P^_X –P^_Y)-(P_X –P_Y)]/ [P^_X(1- P^_X]/n_X +[P^_Y(1- P^_Y]/n_Y ~ N(0;1)

1-α=P{|Z|<z_α/2}

-24-

Метод максим. правдоподобия

Функция правдопод. дискретной с.в.

L(x₁,x₂,…x_n; Θ)=p(x₁; Θ)p(x₂; Θ)…

где x₁,.. – fix числа. Θ* - оценка наибольшего правдоподобия. Ищется из dL/dΘ=0 или d lnL/dΘ=0 + d²lnL/dΘ≤0

Функция правдоподобия непрер с.в.

Дано: f(x), но не известен Θ, к-рым она определ.

L(x₁,x₂,…x_n; Θ)= f(x₁; Θ)f(x₂; Θ)…

15

Интервальные оценки

определяется двумя числами: концами интервала.

Доверительный интервал

If 1-α =P{a< Θ<b}, то (a;b) –

(1-α)∙100% д. и. для Θ

Для генеральной совокупности (μ)

1) Для среднего N ген.сов. при σ – изв; X₁,…X_n – генер сов-ть;

X_i~N(μ;σ²); Й=1/n ∙ ∑X_i ~N(μ;σ²/n);

Z=[Й-μ]/[σ/√n] ~N(0;1); //центр, норм

1-α=P{|Z|≤z_α/2}=P{[Й-μ]/[σ/√n]<z_α/2}=

=P{|Й-z_α/2∙σ/√n <μ< Й+…}

2) Для среднего ген.сов. при n>30

σ^ - изв, EX_i=μ_i; Й=1/n∙∑X_i~N(μ;σ²/n);

σ^²=1/(n-1)∙ ∑(X_i²-nЙ²)

1-α=P{|Й-z_α/2∙σ^/√n <μ< Й+…}

3) Для сред. N ген.сов. при σ – неизв и n<30;

σ^²=1/(n-1)∙ ∑(X_i-Й)²;

t=[Й-μ]/[σ/√n] ~t_n-1

1-α=P{|t|<t_n-1;α/2}=

=P{|Й- t_n-1;α/2∙σ^/√n <μ< Й+…}

-22-

12

Генеральная дисперсия

D_г – ср арифм квадр отклон значений признака генер совок от их ср значения й_г. D_г=∑{i=1;N}(x_i-й_г)²/N or =∑{i=1;k}N_i∙(x_i-й_г)²/N

Выборочная дисперсия

D_В ср арифм квадр отклон наблюд значений признакаот их ср знач й_В

D_В=[∑(x_i-й_В)²]/n or =[∑n_i(x_i-й_В)²]/n

T. Дисперсия равна среднему квардов значений – квадрат общей срденей

D=й²-[й]²

13

Точечные оценки

- оценка, определяющаяся одним числом.

Неравенство Чебышева

If X₁,X₂… - попарно независимые с.в., причем дисперчии их равномерно огр (не превышают С=const), то как бы мало ни было положительное число ε, вер-ть нер-ва

|(∑X_i)/n – (∑EX_i)/n| < ε будет как угодно близка к 1, если число с.в. достаточно велико.

Д-во: Пусть Й=(∑X_i )/n; EЙ=(∑EX_i)/n

имеем: P(|Й-EЙ|< ε)≥1-DЙ/ ε², <=>

P(|Й-(∑EX_i)/n |< ε)≥1-(∑DX_i)/ n²ε²

по усл: D(X_i)≤C =>DЙ=(∑DX_i)/ n²≤C/n

имеем: P(|Й-(∑EX_i)/n |< ε)≥1-С/nε²

при n∞ lim P(…)=1 

Смысл Т.Чебышева: среднее арифм достаточно большого числа независ с.в. утрач-т характер с.в.

-20-

F- распр-е (Фишера-Снедекора)

X,Y – назавис с.в.

X~χ²(m); Y~χ²(n);

Z=[X/m]/[Y/n] ~F(m;n)

~ график χ²

f(x)= { 0 при x≤0

{ C₀[x^(m-2)/2]/[(n+xm) ^(n-2)/2] при x>0

// С₀=[Г([m+n]/2)m^m/2n^n/2]/[Г(m/2)Г(n/2)

10, 12

Генеральная совокупность, выборка

Исслед-е выборк-и (Survery Sampling):

Генер сов-ть – мн-во, содерж n элем-ов

Генер средняя й_г– среднее ариф-ое значений признака генер совокупности

й_г=(∑x_i )/ N or =(∑x_iN_i)/ N; //N_i- частоты

Е(Х)=й_г

Выборочная средняя й_в– среднее арифметич значение признака выборочной сов-ти.

й_в=(∑x_i)/ n or =(∑x_in_i)/ n;

Выборка: 1. подмнож, сост из n эл-ов;

2. процедура извлеч n Эл-ов

3. набор наблюд х₁,х₂…х_n

4. набор с.в. Х₁,Х₂,…Х_n

μ=1/N ∙ ∑x_i – среднее по ген совок-ти

Й =1/n ∙∑Х_i – выборочное среднее

σ²=1/N ∙∑(x_i-μ)² – дисперсия по ген. сов

σ²=1/(n-1) (x_i-й)² – выборочная дисп-я

Простая случайная выборка

это такая процедура, при к-рой любые n эл-ов из генер совок-ти могут быть выбраны с одной и той же вер-тью

Т. в простой случ выборке EX=μ

Д-во: E(X_i)=∑{J=1;m} ζ_J∙P(X_i= ζ_J)

=∑ ζ_J ∙ n_J/N=1/N=∑ ζ_J ∙ n_J=

=1/N∙∑{l=1;N}x_l=μ

E(Й)1/n ∙ ∑{i=1;n}EX=μ 

-18-

Бета распределение

f(x)=[x^α-1(1-x)^β-1]/B(α;β)

B(α;β) – нормирующий множитель, бета функция. f(x)

B(α;β)=∫{0;1}x^α-1(1-x)^β-1dx

EX=α / (α-β)

DX=αβ/[(α +β)²∙(α+β+1)] 0 1 x

Гамма распределение

f(x)=[x^{α -1}e^-x/β ] / [β^α ∙Г(α)]

Г(α)=∫{0;∞}t^α-1∙e^-tdt – гамма ф-ия

Г(n)=(n-1)!

EX=αβ; DX=αβ²

Геометрическое распределение

P(X=k)=q^k-1p

p- появл событ А в каждом испыт

Испытания заканчиваются, как только появ событие А (в k-ом испытании)

X- дискр с.в., числ испыт до 1го появ А

P(X=k)=q^k-1p // геом прогрессия.

EX=p; DX=q/p²

Отрицательное биномиальное распр

P{X(k)=x}=C_x-1^k-1p^k(1-p)^x-k)

p- появл событ А в каждом испыт

X(k) – число испыт до появл k-ого успеха.

Гипергеометрическое респр

P(X=m)=[С^m_M∙ С^n-m_N-M ]/Cⁿ_N

Имеем: N изделий, из них M стандарт. Бывираем любые n и ищем P(X=m), где m – станд-ые из n.

С^m_M – способами извлекаем m из M (cт)

С^n-m_N-M- Cп-ми берем n-m из N-M (нест)

С^m_M∙ С^n-m_N-M- число благопр исходов

-16-

T. ∫e^[-x² /2]dx=√2π

Т. Каждая из функций

является ф-ией плотности.

Д-во: y=(x-μ);

1/[σ∙√2π]∙∫e^[-(x-μ)²/2σ²]dx=

=1/[σ∙√2π]∙∫e^[-y²/2]dy=1 // {-∞;∞} 

T. //S- централ момент с.в. Х~N(μ, σ²)

при S>3 μ₃=(S-1)σ²∙μ_3-2

Центральная предельная теорема

If c/d/X представл собой сумму оч большого числа взаимнотезавис с.в.,влияние каждой из к-рых на суму ничтожно мало, то Х имеет распр-е, близкое к нормал.

7

Распределение Пуассона

n – велико, p – мало (≤0,1)

n∙p=λ => ср. число успехов в различн сериях испыт (при разл n) одинак

P_n(k)=λ^ke^-λ/k!

Д-во: по Бернулли:

P_n(k)=[n(n-1)...(n-[k-1])/k!]∙p^k(1-p)^n-k=

=[n(n-1)...(n-[k-1])/k!]∙(λ/n)^k(1-λ/n)^n-k≈

≈lim{n∞}[n(n-1)...(n-[k-

-1])/k!]∙(λ/n)^k(1-λ/n)^n-k=(λ/n)^klim(1-λ/n)ⁿ∙

∙lim(1-λ/n)^-k= [λ^k/k!]∙e^-λ 

Простейший поток событий:

Поток событий - посл-ть событий, к-рые наступают всл моменты времени: поступл вызово на АТС…

Простеший (пуассоновский) поток событий – облад св-вами стационарности, отсутсвия посл, ординарности.

-14-