9. Определение динамических реакции при вращении тв. Тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим тв. тело под действием приложенных к нему внешних сил Р₁^Е, Р₂^Е,…, Р_n^E. Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, приложим к каждой точке тела М_к силу инерции Ф_к. При неравномерном вращении эта сила состоит из Ф_к^ω – вращ. и Ф_к^ε – центроб. состояния силы инерции. Применим принцип освобождения от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакции. На основании принципа Даламбера все силы должны удовлетворять уравнению:

P^E + R_A + R_B + Ф^A = 0,

M_A^E + M_A^RA + M_A^RB + M_A^ФA = 0

Или спроецируем на оси координат: получим новую систему линейных уравнений:

∑ x_к^E + x_A + x_B + ∑ P_кx = 0

∑ y_к^E + y_A + y_B + ∑ Ф_кy = 0

∑ z_к^E + z_A = 0

∑ M_кx^E – y_Bh + ∑ M^Ф_кx = 0

∑ M_кy^E + x_Bh + ∑ M^Ф_кy = 0

∑ M_кz^E + ∑ M_к^Ф = 0

10. Вывод общего уравнения динамики.

Если система получит возможное помещение при котором каждая точка имеет возможное перемещение δS_к, то сумма работ этих сил на перемещении δS_к должна быть равна 0.

Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0,

(k = 1, 2, …, n). Просуммируем все n уравнения:

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0

Положим, что связи в рассматриваемой мех. сис. двухстороннеидеальные тогда ∑ работ рекции связи = 0, тогда

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) =0

11. Вывод уравнения Лагранжа 2 рода.

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq₁ (δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ -Q₁) + δq₂(δ/ δt - δT/ δq₂ – δT/ δq₂ – Q₂) + … + δq_S(δ/ δt - δT/ δq_S – δT/ δq_S - Q_S) = 0

Где q₁, q₂,…, q_S – обобщённые координаты, q₁, q₂,…, q_S - обобщённые скорости, δq_1, δq₂,…, δq_S - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q₁, Q₂,…, Q_S - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq_1, δq₂,…, δq_S в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ = Q₁ } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt *(δT/ δq₂) – δT/ δq₂ = Q₂ }

5. Диффер. Уравнение вращения тв. Тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точки M_i тело относительно оси z: где L_iz = m_iυ_iz_i (a), r_i - радиус окружности описываемой точкой M_i ; υ_i = r_i ω - алгебраическая величина вращательной скорости точки M_i. Подставляя в (а) это значение υ_i , получаем L_iz = m_ir_i²ω. Кинетический момент твердого тела относительно оси z: Здесь L_z = ∑ L_iz = ∑ m_ir_i²ω = ω∑ m_ir_i², ∑ m_ir_i² = J_z - момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Таким образом,

L_z = J_zω (в) т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P₁^E, P₂^E,…, P_n^E

Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:

dL_z /dt = ∑ M_iz^E (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): L_z = J_zω = J_zφ , то dL_z/dt = J_zφ, а потом уравнение (г)принимает вид: J_zφ = ∑ M_iz^E (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.