6. Теорема о работе силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Предположим, что точка приложения постоянной по модулю и напрвлению силы Р получает совокупность последовательных перемещений u₁, u₂, …, u_n (рис выполнен для n = 3). Результирующее перемещение точки М: u = u₁ + u₂ +…+u_n. Работа силы Р на этом перемещении определяется по формуле: A = Pu = P(u₁ + u₂ +…+u_n). полученная сумма представляет собой сумму работ силы на составляющих перемещениях. Т.о., A = A₁ + A₂+…+ A_n.

На основании этой теоремы при вычислении работы постоянной силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным. При u = 0, т.е. в случае замкнутого контура, работа постоянной силы = 0.

u₂ M₂

M₁

u₃

М

u₁ P

M₃

u

8. Теорема об изменении кинетической энергии мех. Сис.

Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил. Для этого разделим силы .действующие на точки М_1, М_2, М₃, …, М_n, на внешние силы P₁^E_, Р₂^Е, …, Р_i^E, …, Р_n^Е и внутрение силы P₁^J, P₂^J, P_i^J, …, P_n^J. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка М_i перемещается из М_i(1) в M_i(2), причём скорость её изменяется от υ_i(1) до v_i(2) (рис.).

Тогда по уравнению mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑ A_i для каждой материальной точки

(m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) – (m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) = A_i^E + A_i^J _, (i = 1, 2, …, n),

где A_i^E - работа силы Р_i^E и A_i^J _­- работа силы P_i^J на перемещении М_i(1) M_i(2). Просумируем левые и правые части составленных n равенства: (∑(m_i^υ2_i / 2))₂ – (∑(m_i­­υ_i² / 2))₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J.

Согласно T = ∑T_i, (∑(m_iυ_i² / 2)) = T₁ – кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(m_iυ_i² / 2))₂ = T₂ – кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

T₂ - T₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J. (a)

Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.

Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑A_i^J = 0.

Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид

T₂ - T₁ = ∑A_i^E,

т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

υ_i(2)

M_i(2)

Mi

υ_i(1) P_i^J

P_i^E

M_i(1)