Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

857.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Решение

При дифференцировании функции z z x, y по переменной x считаем постоянной величину y. Таким образом, в соответствии с формулами дифференцирования находим

zx ex y2 1 ex2 y 2x ex y2 2xex2 y .
При дифференцировании функции z z x, y по переменной	y считаем по-
стоянной величину x
zy ex y2 2y ex2 y 1 2yex y2 ex2 y .
Ответ: zx ex y2 1 ex2 y 2x ex y2 2xex2 y ;
zy ex y2 2y ex2 y 1 2yex y2 ex2 y
Задача 3.2. Найти полный дифференциал функции трех	переменных
f f x, y,z .
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)f arctgzx z2 xy ;

2)f 2x3yz 4xy5z2;

3)f xlnz zln y ;

2x 3y z

4)f 7x3yz3 zxy;

5)f arcsin 2x y zxy ;

6)f ln 3x2 2y2 6z4 ;

7)f e3y2 2x3 6z5 ;

8)f tg x2 z ;

zy2

9)f z2x3y4 3x2y z;

10)f ctg2y3x z4 ;

11)f xzy2 2yx2 ;

12)f arcsin xz 3zy ; z3

13)f 2x2y2z2 x3 y3 z3;

14)f 3x2 y2 z ;

15)f arccos x 2y 2z2xy ;

16)f ln xyz x2 ; y2 xyz

17)f cos 2zx z2exy ;

18)f z3 x3 y3 3xyz;

19)f 7z2x x3y2 z3y4;

20)f zy ln 6zx 3y 5z 4;

21)f arcctge xzy xyz;

22)f 5xz3y4 2x2y7 z2;

23)f sin 3xzy exyz ;

24)f xsin y ysinx z sin z; xyz

25)f ln 2zx ezxy 3y2z2;

26)f arcctg zx zy ;

27)f arctg z 2xy zxy 2 ;

28)f zey2 2x x2 2zy;

29)f xyze3y 2x z;

30) f zcos y ycosz . x y

Пример 3.2

Найти полный дифференциал функции трех переменных

f arcsin exyz xyz 3 .

Решение

Полным дифференциалом функции многих переменных называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения независимых переменных, т.е.

				df fx dx fy dy fz dz,
где fx ,	fy	и fz	частные производные функции f f x, y,z
ка.
Вычислим fx ,			fy	и fz

(3.1)

первого поряд-

exyz yz 3 xyz 2 yz

yz exyz 3x2 yz 3

1 exyz

xyz 3 2

1 exyz xyz 3 2

exyz xz 3 xyz 2 xz

xz exyz 3y2 xz 3

1 exyz

xyz 3 2

1 exyz xyz 3 2

exyz xy 3 xyz 2 xy

xy exyz 3z2 xy 3

1 exyz

xyz 3 2

1 exyz xyz 3 2

Запишем полный дифференциал функции f f x, y,z , подставив найден-

ные частные производные в формулу (3.1)

yz exyz 3x2 yz 3

xz exyz 3x2 xz 3

xy exyz

3x2 xy 3

dz.

1 exyz

1 exyz xyz 3 2

xyz 3 2

1 exyz xyz 3 2

Ответ:

yz exyz 3x2 yz 3

xz exyz 3x2 xz 3

xy exyz

3x2 xy 3

dz.

1 exyz xyz 3 2

Задача 3.3. Вычислить

значения

частных производных функции

z z x, y , заданной неявно, в данной точке M0 x0;y0;z0 .

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	x3 y3 z3 3xyz 4,		M0 2;1;1 ;
2)	x2 y2 z2 xy 2,		M0 1;0;1 ;
3)	3x 2y z xz 5,	M0 2;2; 1 ;

4) ez x 2y z 4,

M0 1;1;0 ;

x2 y2 z2 z 4 0,

M0 1;1; 1 ;

z3 3xyz 3y 7,

M0 1;1;1 ;

7) cos2 x cos2

y cos2

;

8) ez 1 cosxcos y 1,

;1 ;

x2 y2 z2 6x 0,

M0 1;2;1 ;

10)

xy z2 1,

M0 0;1; 1 ;

M0 1;1;1 ;

11)

x2 2y2 3z2 yz y 2,

12)

x2 y2 z2

2xz 5,

M0 0;2;1 ;

xcos y ycosz zcosx

13)

;

14)

3x2 y2 2xyz2

2x3z 4y3z 4,

M0 2;1;2 ;

15)

x2 2y2 z2 4x 2z 2 0,

M0 1;1;1 ;

16)

x y z 2 xyz,

M0 2; 1; 1 ;

17)

x2 y2 z2 2xz 2,

M0 0;1; 1 ;

18)

ez xyz x 1 0,

M0 2;1;0 ;

M0 1; 1;2 ;

19)

x3 2y3 z3 3xyz 2y 15 0,

20)

x2 2xy 3y2

6x 2y z2 8z 20 0,

M0 0; 2;2 ;

21)

x2 y2 z2

y z 3,

M0 1;2;0 ;

M0 1; 1;1 ;

22)

x2 y2 z2 2xy yz 4x 3y z 0,

23)

x2 y2 z2 6z 2x 4y 12 0,

M0 0;1; 1 ;

3z 3,

M0 4;3;1 ;

24)

x2 y2

25)

x2 2y2 3z2

59,

M0 3;1;4 ;

M0 2; 1;2 ;

26)

x2 y2 z2

2xy 2xz 2yz 17,

27)

x3 3xyz z3

27,

M0 3;1;3 ;

28)

ln z x 2y z ln3,

M0 1;1;3 ;

29)

2x2 2y2 z2 8xz z 6 0,

M0 2;1;1 ;

30)

z2 xy z x2 4,

M0 2;1;1 .

Найдем частные производные функции

Пример 3.3

Вычислить значения частных производных функции

xsin y ysin z zsin x ,

заданной неявно, в точке M			;	3	;0
	0					.
		2		2
Решение

Если уравнение вида F x, y,z 0 задает функцию двух переменных

в неявном виде и Fz x, y,z 0, то			Fy x, y,z
zx	Fx x, y,z
		, zy		.
	Fz x, y,z		Fz x, y,z

Представим заданную функцию в виде F x, y,z 0

xsin y ysin z zsin x 0,

тогда

F x, y,z xsin y ysin z zsin x .

F x, y,z

Fx xsin y ysin z zsinx x sin y zcosx, Fy xsin y ysin z zsin x y xcos y sin z,

Fz xsin y ysinz zsinx z ycosz sinx.

Подставив найденные производные в формулы (3.2), получим

z x, y

(3.2)

								sin y zcosx																					xcos y sinz
			zx																			, zy																	.
			zx						ycosz sinx													, zy							ycosz sinx										.
Следовательно, частные производные в точке M																																		;	3			;0
																																								будут равны
																																2				2				будут равны
																					3										0	2				2
											3					sin					3				0 cos								1
											3					sin									0 cos								1
		z					;							;0									2				2									1,
		z			2		;					2		;0																		1				1,
			x		2							2					3			cos0 sin												1
															2					cos0 sin
															2												2
										3									cos								3	sin0								0
	z									3								2	cos								2	sin0								0
						;							;0					2									2										0.
					2	;						2	;0					3																		1	0.
			y		2							2						3						cos0 sin												1
																		2						cos0 sin						2
			3															2						3						2
			3																					3
Ответ: zx	;			;0								1,			zy					;						;0 0.
Ответ: zx	;	2		;0								1,			zy			2		;			2			;0 0.
2		2																2					2

Задача 3.4. Найти частные производные второго порядка функции z z x, y . Убедиться в том, что zxy zyx .

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

z ey2 2x

2y; 11)

z ln 3x2

2y2 ;

21)

z sin 3xy 5 ;

z xy

y 1;

12)

xy x

;

22)

z xsin y ysin x;

23)

z ln 2x 3y 3y2;

z e3y2 2x3 4;

y2 xy

z xy2

2yx2 ;

13)

z arcctg xy ey ; 24)

z 5xy4 2x2y7 ;

;

14)

z 7x x3y2 y4;

25)

z y 6x 3y 5 4;

3x2 y2 x

z 7x3y

;

15)

z arcsin 2x y ;

26)

z xy e3y 2x 4;

z xy y ctg xy ;

16)

z 2 x3 y3 5x;

27)z 2xy

xy 2;

x2 y

17)

z arccos x 2y ;

z arcctg x

;

28)

;

18)

z arcsin x 3y ;

x y2

29)

z 2x3y 4xy5;

z xcos y ycosx;

19)z 2x exy

cosxy;

30)

x 1

20)

z 2x2 y2

x3 y3;

10) z arctgx

x 1

Пример 3.4

Найти

частные

производные

второго

порядка

функции

z ln 2x y 2x3. Убедиться в том, что равны их смешанные производ-

ные.

Решение

Частные производные первого порядка заданной функции имеют вид

		2
zx ln 2x y 2x3 x				6x2 ,
zx ln 2x y 2x3 x				6x2 ,
			2x y
		1			1
zy ln 2x y 2x3 y						.
zy ln 2x y 2x3 y	2x y				2x y	.
	2x y				2x y

Частные производные второго порядка найдем как частные производные первого порядка от zx и zy , считая последние новыми функциями

2 12x

zxx zx

2 2x y

2 1 2x y

12x,

2x y 2

2x y 1

1 2x y 2 1

2x y

найдем смешанные производные

zxy

2 2x y

2 1 2x y

2x y 2

2x y 1

1 2x y 2 2

2x y

Ответ: z

12x,

, z

2x y 2

Задача 3.5. Исследовать на экстремум функцию двух переменных f x, y .

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

f x, y x2 (y 1)2;

16)

f x, y (y 2x 5) ex2 y ;

f x, y (x y 1)2;

17)

f x, y x2

y2 xy 4lnx 10ln y;

f x, y xyln(x2 y2);

18)

f x, y (5x 7y 25) e (x2 xy y2 );

f x, y x2y2(6 x y);

19)

f x, y x4

y4 x2 y2 2xy;

f x, y x2 3xy y2;

20)

f x, y x3

8y3 6xy 5;

f x, y (x2

y2) ex2 y2 ;

21)

f x, y x2 xy y2 2x y;

f x, y y2 (x 1)2 ;

22)

f x, y 1 15x 2x2 xy 2y2;

f x, y x2 y2

2x 2y;

23)

f x, y x y 4sin xsin y;

f x, y 2x3

2y3 6xy 5;

24)

f x, y 1 6x x2

xy y2;

10)

f x, y xy

;

25)

f x, y x2

xy y2 3x 6y;

1 x y

11)

f x, y

x y 1

;

26)

f x, y xy

, x 0, y 0;

x2 y2 1

12)

f x, y 4(x y) x2

y2;

27)

f x, y (8x2 3y2

6xy) e2x 3y ;

13)

f x, y

x y 1

;

28)

f x, y x2

xy y2 x y 1;

29)

f x, y 3x3 3y3 9xy 10;

x2 y2 1

f x, y x2

;

f x, y

2x 3y 1

14)

x2 y2

30)

15)

f x, y xy2(1 x y);

x2 y2

Пример 3.5

Исследовать на экстремум функцию

f x, y x3 y2 6xy 39x 18y 20.

Решение

Исследование функции на экстремум проведем по следующей схеме: 1. Находим частные производные заданной функции

fx x, y 3x2 6y 39, fy x, y 2y 6x 18.

2. Находим критические точки функции из системы

fx x, y 0,

(3.3)

Решая систему (3.3)

fy x, y 0.

3x2 6y 39 0,

2y 6x 18 0,

получаем

x1 1,

y1 6; x2 5,

y2 6,

т.е. функция имеет две критические точки

1; 6 и 5;6 .

3. Находим частные производные второго порядка заданной функции

6y 39 x

6x,

fxx x, y 3x

fyy x, y 2y 6x 18 y

6y 39 y

fxy x, y fyx x, y

Введем обозначения

x, y

A fxx x, y 6x, B

fyy x, y 2, C fxy

fyx x, y 6.

4. Составим выражение

AB C2.

(3.4)

По формуле (3.4) имеем

6x 2 6 2 12x 36.

5. Находим значение в каждой из выше найденных критических точек.

Если значение

исследуемой точке отрицательно,

то в данной точке нет

экстремума, если значение в исследуемой точке положительно, то точка является точкой экстремума (при А 0 – точка максимума, при А 0 – точка минимума), иначе вопрос о наличии экстремума остается открытым. Таким образом,1; 6 12 1 36 24 0, т.е. в точке 1; 6 экстремума нет;

5;6 12 5 36 24 0, т.е. в точке 5;6 функция имеет экстремум, определим значение А

A 5;6 6 5 30 0,

следовательно, 5;6 – точка минимума функции f x, y ,

fmin f 5;6 53 62 6 5 6 39 5 18 6 20 86.

Ответ: fmin f 5;6 86.

Задача 3.6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z z x, y в области D, ограниченной заданными линиями.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:


1)	z 3x y xy,	D: y x, y 4,				x 0;
2)	z xy x 2y,	D: x 3, y x,				y 0;
3)	z x2 2xy 4x 8y,			D: x 0, x 1,				y 0, y 2;
4)	z 5x2 3xy y2,		D: x 0, x 1,				y 0, y 1;
5)	z x2 2xy y2 4x,			D: x y 1 0, x 3,						y 0;
6)	z x2 y2 2x 2y 8,				D: x 0, y 0,				x y 1 0;
7)	z 2x3 xy2 y2,		D: x 0, x 1,				y 0, y 6;
8)	z 3x 6y x2 xy y2,				D: x 0, x 1,				y 0, y 1;
9)	z x2 2y2 4xy 6x 1,				D: x 0, y 0,				x y 3 0;

10)

z x2 2xy 10,

D: y 0,

y x2

11)

z xy 2x y,

D: x 0,

x 3,

y 0, y 4;

12)

z 0,5x2 xy,

D: y 8,

y 2x2 ;

13)

z 3x2 3y2 2x 2y 2,

D: x 0,

y 0,

x y 1 0;

14)

z x2 2xy y2

4x 1,

D: x 3,

y 0,

x y 1 0;

15)

z 3x2 3y2 x y 1,

D: x 5,

y 0,

x y 1 0;

16)

z 2x2 2xy 0,5y2 4x,

D: y 2x,

y 2,

x 0;

17)

z x2 2xy 2,5y2 2x,

D: x 0,

x 2,

y 0, y 2;

18)

z xy 3x 2y,

D: x 0, x 4,

y 0,

y 4;

19)

z x2 2xy y2

2x 2y,

D: x 2,

y 0,

y x 2;

20)

z x2y(4 x y),

D: x 0,

y 0,

y 6 x;

21)

z x3 y3 3xy,

D: x 0,

x 2,

y 1,

y 2;

22)

z 4(x y) x2 y2,

D: x 2y 4,

x 2y 4;

23)

z x2 2xy y2

4x,

D: x 3,

y 0,

y x 1;

24)

z 6xy 9x2 9y2 4x 4y,

D: x 0,

x 1,

y 0, y 2;

25)

z x2 xy 2,

D: y 0,

y 4x2 4;

z 4 2x2 y2,

D: y 0,

;

26)

1 x2

27)

z 5x2 3xy y2 4,

D: x 1,

x 1,

y 1,

y 1;

28)

z x2 2xy 4x y2,

D: x 0,

y 0,

y x 2 0;

29)

z 2x2y x3y x2y2,

D: x 0,

y 0,

y x 6;

30)

z x2 2xy y2

2x 2y,

x 2,

y 0,

y x.

Пример 3.6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z 2x2 3y2 1 в

области D: y 0, y 9 9 x2 .

Решение

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области по следующей схеме:

1.Построим область D (рис. 4).

2.Найдем критические точки заданной функции.

Частные	производные		функции					y
z z x, y имеют вид
z z x, y имеют вид				y	9	9	x2
	zx 4x, zy 6y,			y	9		x2
	zx 4x, zy 6y,				4			D
тогда решением системы (3.3)								D
	x 0,	y 0.						1
Точка 0;0 – критическая точка функ-								1	х
Точка 0;0 – критическая точка функ-									х
ции.									y 0
ции.							–1	0 1	y 0
3. Если критические точки лежат в области
D, то находим значение функции z x, y
в этих точках.								Рис. 4

0;0 D,

z 0;0 2 03 3 02 1 1.

4. Исследуем функцию на границе заданной области. а) Если y 0, то исходная функция принимает вид

z x;0 2x2 1, где 2 x 2.

Таким образом, необходимо найти критические точки функции одной переменной z x 2x2 1 при 2 x 2

zx 4x, zx 0 x 0.

Найденная точка удовлетворяет условию 2 x 2, найдем значение z x в этой точке

z 0 2 02 1 1.

и на концах отрезка

z 2 2 22 1 9, z 2 2 2 2 1 9.

б) Если y		9	9		x2 , то исходная функция принимает вид
б) Если y		9			x2 , то исходная функция принимает вид
		4
														2
		9				2		2			9		2	2		2		27		2


z	x; 9			x			2x		3	9		x			1 2x		27		x		1
z	x; 9			x			2x		3	9	4	x			1 2x		27	4	x		1
		4									4							4

19 x2 28, где 2 x 2. 4

Следовательно, необходимо найти критические точки функции одной пере-

менной z x 19 x2 28 при 2 x 2

zx		19	x, zx	0 x 0, при этом y	9	9	02	3.

	2				4

Найденная точка удовлетворяет условию 2 x 2, найдем значение z x в этой точке

z 0 19 02 28 28. 4

5. Из всех найденных значений функции z нужно выбрать наибольшее и наименьше.

Из полученных значений

z 0;0 1, z 2;0 z 2;0 9, z 0;3 28,

следует

zнаиб z 0;3 28, z наим z 0;0 1.

D	D
Ответ: zнаиб z 0;3 28, z	наим z 0;0 1.
D	D

Задача 3.7. Найти значения величин используемых ресурсов x;y , при

которых фирма-производитель получит максимальную прибыль, если заданы производственная функция K x, y (в денежном выражении) и стоимость p1 и p2 единицы первого и второго ресурса.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	K x, y 30						3							,						p 4,	p					1			;
1)			x								y															1
1)			x								y
																				1			2			48
	K x, y 104					3											,			p 2,		p					2	;
2)			x								y2																2
2)			x								y2
	K x, y 10																			1				2		3
3)	K x, y 10		x		3						y		,							p 2, p		2		4;
	K x, y 243																			1		2
4)	K x, y 243		x							3	y2								,	p 27,				p	2	4;
5) K x, y 18																				1					2
5) K x, y 18		x		3						y2						,				p 4,	p				2;
	K x, y 203																			1				2
6)								4							,					p 8,	p			3;
6)			x					4			y				,					p 8,	p	2		3;
	K x, y 103																			1		2
7)		x2							3									,		p 2,		p			8;
7)		x2							3			y						,		p 2,		p		2	8;
																				1				2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.08.201996.82 Кб22_-_bolshie.docx
#
01.12.2018499.2 Кб72_01.doc
#
22.09.2019603.65 Кб42_chast_praktika.doc
#
08.05.201577.82 Кб232_kurs_Proizvod_praktika.doc
#
24.11.2018228.86 Кб172_Lektsia_Semya_i_sexualnost.doc
#
09.05.2015857.4 Кб92ая методичка МАТАН.pdf
#
28.08.20192.06 Mб42Вариант-пример.doc
#
01.05.2025808.45 Кб02ИСПР_Отчет 5 курс.docx
#
01.05.2025119.3 Кб03 - реализм.doc
#
01.05.20253.47 Mб13 CK3 шпора готовая.docx
#
18.11.2019145.13 Кб33 вопрос.rtf