Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сборник задач по ТеорВер 2003

.pdf
Скачиваний:
60
Добавлен:
08.05.2015
Размер:
654.99 Кб
Скачать

Михайлова И.Г.

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

2003

УДК 51(07)

Михайлова И.Г.

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебно-методическое пособие. Озерск: ОТИ МИФИ, 2003, 109с.

Рецензенты: к. ф.-м. н. Витовтов И.Г., ЮУрГУ к. ф.-м. н. Лисицын С.Г., ОТИ МИФИ.

Вариант 1.

1.В конверте среди 30 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

2.Бросаются 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся нечетные количества очков.

3.Слово «ПРОГРАММА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют а) слово ПРОГРАММА, б) слово РАМА.

4.В урне содержатся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара; б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний; б) событие А наступит не менее 170 и не более 180 раз в серии из 250

независимых испытаний.

6.Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдут не менее 700.

7.В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 8 черных шаров. Из обеих урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

8.Литье в болванках поступает из двух цехов: 60% из первого цеха и 40% из второго. Литье первого цеха имеет 5% брака, второго – 10% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность того, что она изготовлена первым цехом?

9.В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка K (a,b). Найти вероятность того, что корни уравнения x2 +ax +b = 0 действительны.

10.Дан закон распределения случайной величины X :

 

X

–2

 

0

 

1

 

3

 

 

p

0,2

 

0,1

 

0,5

 

0,2

 

Найти

функцию распределения F (x), значение F (0).

Вычислить вероятность того, что

X примет значение из интервала (0;3). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :

 

 

 

 

 

0, x < 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)= 0,3, 2 x <3

 

 

 

 

 

 

 

0,5, 3 x < 4

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

X

120

135

150

165

180

p

0,1

0,2

0,3

0,2

0,2

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. В баскетбольную корзину бросают мяч до первого попадания. Разрешается сделать не более трех бросков. Составить закон распределения количества выполненных бросков, если вероятность попадания при одном броске равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выполненных бросков.

14. Электростанция обслуживает сеть из 2000 ламп, вероятность включения каждой из которых равна 0,8. Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на

50?

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:

а) ровно 2 неправильных соединения; б) больше трех неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения

 

 

0, x < 0

 

 

 

 

 

x

 

 

 

p (x)=

 

, 0 x

< 6

 

3

 

 

 

 

 

 

0, x

6.

 

 

Найти функцию распределения F (x)

 

случайной величины X . Построить графики

функций

p (x) и F (x). Вычислить

для этой случайной величины математическое

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина X задана функцией распределения

 

 

 

0, x <1

 

 

 

 

 

 

F (x)= a (x 1), 1 x <3

 

 

 

1, x 3.

 

 

 

Найти а)

параметр a ;

 

 

 

б)

плотность распределения p (x);

 

в)

вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X

примет значение из интервала (2,5; 3,5);

 

 

г)

математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина X примет 150 раз значение из интервала (2,5; 3,5).

18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,5; 3, 7]. Найти выражения

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 7 и σ = 6 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка [1; 1,5];

б) меньшее 8; в) большее 6;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 7.

21.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X , которая распределена нормально с проектной длиной 50. Известно, что σ =3,6 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали находится в пределах от 55мм до 68мм.

22.По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; б) вычислить относительные и накопленные частоты, в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о распределении

Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

Выборка А:

4

4

5

1

2

2

2

3

2

3

2

5

0

3

0

1

0

2

5

0

2

3

2

1

1

4

2

1

1

1

1

5

2

5

1

2

3

1

3

4

3

3

0

0

2

5

2

4

2

3

2

5

3

2

2

1

6

3

5

1

23. По выборке В решить следующие задачи: а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты, в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

135

124

137

137

133

126

132

114

124

117

112

119

132

131

134

121

132

123

126

125

134

127

127

133

104

129

128

120

131

130

124

135

152

121

111

129

120

126

127

131

134

122

129

125

129

124

135

125

130

125

115

123

135

135

120

114

129

131

147

127

132

127

129

115

120

147

131

132

132

108

126

117

122

124

132

118

108

134

132

118

Вариант 2.

1.Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 3 дамы?

2.Бросают 3 монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится герб.

3.Слово «СТАТИСТИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают

ивынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) СТАТИСТИКА, б) ТАКТ.

4.В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

а) 2 белых шара; б) менее двух белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,12. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 2 раза в серии из 3 независимых испытаний; б) событие А наступит не менее 65 и не более 70 раз в серии из 300 независимых

испытаний.

6.30% изделий данного предприятия – продукция высшего качества. Некоторая организация приобрела 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того. что ровно 4 из них высшего сорта?

7.В первой урне 4 белых и 5 черных шаров, а во второй – 5 белых и 8 черных шаров. Из первой урны наудачу извлекают 2 шара, а из второй – 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 3 белых шара.

8.В группе спортсменов 10 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. вероятность выполнения квалификации для лыжника равна 0,9, для велосипедиста – 0,7, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что вызванный наудачу спортсмен выполнит норму.

9.В прямоугольник с вершинами (1, 0),(1, 5), (2, 5) и (2,0) наудачу брошена точка с координатами (x, y). Какова вероятность того, что они будут удовлетворять неравенствам

x2 +1 y x +3 ?

10.Дан закон распределения случайной величины X :

 

X

0

 

1

 

2

 

3

 

 

p

0,1

 

0,1

 

0,3

 

0,5

 

Найти

функцию распределения F (x), значение F (2).

Вычислить вероятность того, что

X примет значение из интервала (0;3). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :

 

 

 

 

 

0, x <3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)= 0,3, 3 x < 6

 

 

 

 

 

 

 

0,7, 6 x <9

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

12.

Задан закон распределения дискретной случайной величины:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

125

130

 

135

 

140

 

145

 

 

Вычислить

p

 

0,1

0,12

 

0,3

 

0,08

 

0,4

 

 

ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

 

отклонение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

Монету подбрасывают 5 раз. Построить закон распределения количества выпадений герба.

 

Сколько раз в среднем может появиться герб? Найти дисперсию числа выпадений герба.

14.

Определить, сколько раз надо произвести замеров поперечных сечений деревьев на

 

большом участке, чтобы с вероятностью 0,98 средний диаметр дерева отличался от

 

истинного значения не более чем на 4см. Предполагается известным, что среднее

 

квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 12см, и

 

измерения производятся без погрешностей.

 

 

 

 

 

 

 

15.

На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.

 

Найти вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:

 

 

 

 

 

 

а)

ровно 5 неправильных соединения;

 

 

 

 

 

 

б)

больше трех неправильных соединений.

 

 

 

 

16.

Случайная величина задана функцией плотности распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (x)=

x

, 0 x

< 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x 2

2.

 

 

 

 

 

 

Найти функцию

распределения

F (x)

случайной величины

X .

Построить графики

функций p (x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина X задана функцией распределения

 

0, x < 0

 

 

F (x)= ax2 , 0 x <1

 

1, x 1.

 

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения p (x);

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение из интервала (0,5; 2,5);

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная

величина X примет 320 раз значение из интервала (0,5; 2,5).

18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,3; 3, 7]. Найти выражения

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3,2. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 5 и σ = 4 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка [0; 10];

б) меньшее 8; в) большее 5;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 6.

21.Масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с M (X )=375 г и σ (X )= 25 г. Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы составит не более 450г.

22.По выборке А решить следующие задачи:

 

а)

составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

 

б)

вычислить относительные и накопленные частоты,

 

 

 

в)

построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

 

 

г)

вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную

 

 

среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

 

д)

 

при

уровне

значимости

α = 0,05

проверить

гипотезу о

распределении

 

 

Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

 

 

Выборка А:

3

 

3

1

0

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

3

0

2

3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

4

1

5

1

 

 

 

 

 

 

 

6

 

5

4

7

4

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

3

4

5

4

 

 

 

 

 

 

 

7

 

4

0

5

6

3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

4

1

3

3

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

1

5

2

3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

3

4

1

5

 

 

 

 

 

 

 

6

 

1

3

3

5

6

 

 

 

 

23.

По выборке В решить следующие задачи:

 

 

 

 

 

 

а)

составить вариационный ряд,

 

 

 

 

 

 

б)

вычислить относительные и накопленные частоты,

 

 

 

в)

построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

 

 

г)

вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную

 

 

среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

 

д)

 

при

уровне

значимости

α = 0,05

проверить

гипотезу

о нормальном

 

 

распределении соответствующей генеральной совокупности.

 

 

Выборка В:

58

78

84

62

63

10

55

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102

70

66

89

71

92

71

93

 

 

 

 

 

83

42

110

110

56

96

95

87

 

 

 

 

 

88

102

104

88

64

96

92

67

 

 

 

 

 

78

95

71

105

50

66

73

76

 

 

 

 

 

100

72

86

46

102

95

98

84

 

 

 

 

 

82

46

60

94

109

93

79

74

 

 

 

 

 

62

97

94

91

81

71

89

78

 

 

 

 

 

85

80

93

64

65

109

89

55

 

 

 

 

 

103

98

108

68

65

71

82

70

 

 

Вариант 3

1.Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношенных. При включении устойства случайным образом начинают работать 2 элемента. найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2.Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что на двух из них появится герб.

3.Слово «ПРОЦЕДУРА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПРОЦЕДУРА, б) ЦЕДРА.

4.В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара; б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,45. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 7 независимых испытаний; б) событие А наступит не менее 200 и не более 290 раз в серии из 500

независимых испытаний.

6.Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. какова вероятность того, что некто, приобретя 8 облигаций, выиграет по шести из них.

7.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй – 6 белых и 3 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы 1 белый шар.

8.Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный – в 30% и недогруженный – в 10%. Надежность прибора в нормальном режиме равна 0,8, в форсированном – 0,5, в недогруженном – 0,9. Найти вероятность надежной работы прибора.

9.Взяты наугад 2 положительных числа, каждое из которых не больше 1. Какова вероятность того, что их сумма не более 1, а произведение не более 92 ?

10.Дан закон распределения случайной величины X :

 

X

0,3

 

0

 

0,1

 

1

 

 

p

0,3

 

0,1

 

0,4

 

0,2

 

Найти

функцию распределения F (x), значение F (0).

Вычислить вероятность того, что

X примет значение из интервала (0;1). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :

 

 

 

 

 

0, x < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)= 0,3, 0 x < 2

 

 

 

 

 

 

 

0,6, 2 x <5

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

12.

Задан закон распределения дискретной случайной величины:

 

 

 

 

 

 

X

 

90

 

 

93

 

96

 

99

 

102

 

 

Вычислить

p

 

0,15

 

 

0,3

 

0,05

 

0,2

 

0,3

 

 

ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

 

отклонение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

В студии имеются 3 видеокамеры, работающие независимо друг от друга. Для каждой

 

камеры вероятность включения в определенный момент времени равна 0,6. Составить

 

закон распределения числа включенных в данный момент видеокамер. вычислить

 

математическое ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.

14.

В результате независимых опытов найдены 200 значений случайной величины, у которой

 

математическое ожидание равно 4, а дисперсия равна 2. Оценить снизу вероятность того,

 

что абсолютная величина разности между средним арифметическим найденных значений

 

и математическим ожиданием этой случайной величины меньше0,2.

 

 

 

15.

На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти

 

вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:

 

 

 

 

 

 

а)

ровно 5 неправильных соединения;

 

 

 

 

 

 

б)

больше двух неправильных соединений.

 

 

 

 

16.

Случайная величина задана функцией плотности распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x

< 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (x)=

x

, 0

x < 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x 10.

 

 

 

 

 

Найти функцию

распределения F (x)

 

случайной величины

X .

Построить графики

функций p (x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина X задана функцией распределения

 

0, x < 2

 

 

x < 4

F (x)= a (x 2)2 , 2

 

1, x

4.

 

 

 

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения p (x);

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение из интервала (3; 3,5);

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; д) вероятность того, что в результате 100 независимых испытаний случайная

величина X примет 40 раз значение из интервала (3; 3,5).

18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 7; 5,9]. Найти выражения

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,3. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .