http://emb.ustu.ru/kurs/tau/files/lec_tz.htm
http://www.б170.su/2009/01/23/minimalno-fazovye-i-neminimalno-fazovye-zvenja.html
http://emb.ustu.ru/kurs/tau/files/lec_tz.htm
http://chitalky.ru/?p=7593
http://studopedia.net/10_62869_otsenka-tochnosti-sar-v-ustanovivshemsya-rezhime.html
http://automation-system.ru/main/item/67-tipovye-zvenya-sistem-regulirovaniya.html
Будем использовать следующие обозначения: входная величина звена – x(t), выходная величина – y(t).
Пропорциональное звено (другое название – безынерционное звено).
Передаточная функция: W(p)=K
Передаточная функция не зависит от переменной p, т.е. пропорциональное звено является статическим. Параметр К называют коэффициентом передачи звена.
Уравнение звена: y(t)=К·x(t)
Пропорциональное звено – статическое, уравнение не содержит производных.
Статическая характеристика: yст=W(0)·xст=K·xст
Статическая характеристика – прямая линия с углом наклона arctg(K).
Переходная функция: h(t)=K·1(t)
Переходная функция совершает скачок от 0 до К в момент времени t=0.
ЛАЧХ: L(ω)=20·lg(K)
ЛАЧХ не зависит от частоты. При любой частоте гармонического воздействия звено изменяет амплитуду в К раз, т.е. на 20·lg(K) децибел.
ЛФЧХ: φ(ω)=0
ЛФЧХ не зависит от частоты. Звено не вносит фазовый сдвиг при любой частоте гармонического воздействия.
Примеры пропорциональных звеньев
Электронный усилитель
Уравнение усилителя: u2=Ku1, где К – коэффициент усиления.
Замечание. Представление усилителя пропорциональным звеном всегда является идеализированным. Реальный усилитель не может пропускать сигналы всех частот одинаково, с увеличением частоты входного напряжения коэффициент усиления реального усилителя будет уменьшаться, однако в широкой полосе частот это уменьшение незначительно и его можно не учитывать.
Механический редуктор
Уравнение редуктора: ω2=Kω1, где К – передаточное отношение редуктора.
Замечание. Представление редуктора пропорциональным звеном всегда является идеализированным, т.к. не учитывается упругие деформации валов и шестерен (они предполагаются абсолютно жесткими), а также зазоры в зубчатых передачах.
Интегрирующее звено
Передаточная функция:
.
Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде:
,
где Т – постоянная времени (в секундах).
Уравнение звена:
или .
Выходная величина пропорциональна интегралу входной величины.
Статическая характеристика: yст =W(0)·xст, где W(0) = ∞
Это значит, что статический режим невозможен при xст0, т.к. звено непрерывно интегрирует входную величину и выходная величина непрерывно изменяется. Статический режим возможен только при xст=0, когда интегрирование прекращается. Таким образом, статическая характеристика совпадает с осью y.
Переходная функция: h(t)=K·t·1(t)
Ее значение линейно нарастает во времени (теоретически до бесконечности). Скорость нарастания переходной функции равна коэффициенту К.
Весовая функция: g(t)=K·1(t)
Интегрирующее звено обладает способностью сохранять постоянное не равное нулю значение выходной величины при равенстве нулю входной величины.
Пример: реакция интегрирующего звена на сложное ступенчатое воздействие.
ЛАЧХ:
В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном –20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ уменьшается.
При ω<K, L>0 – звено усиливает амплитуду.
При ω=K, L=0 – амплитуды входной и выходной величины одинаковы.
При ω>K, L<0 – звено ослабляет амплитуду.
ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).
ЛФЧХ: φ(ω)= – 90˚ = – π/2 рад
Интегрирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит отставание по фазе на четверть периода.
Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена для К>1.
Примеры интегрирующих звеньев
Гидравлический демпфер
Скорость движения поршня будет пропорциональна силе: , следовательно, перемещение поршня будет пропорционально интегралу силы: . Коэффициент К – зависит от конструкции демпфера и вязкости жидкости.
Замечание. Такое математическое описание допустимо, только если пренебречь механической инерцией поршня, силами трения между поршнем и стенками и рядом других факторов.
Механическая часть электропривода
М – электромагнитный момент двигателя, Мс – момент статического сопротивления механизма на валу двигателя, ω – угловая скорость вала двигателя.
Скорость двигателя пропорциональна интегралу разности моментов М и Мс, которая называется динамическим моментом: Мдин = М–Мс.
,
где JΣ – суммарный момент инерции механической части электропривода. Таким образом, моделью механической части электропривода является интегрирующее звено.
Замечание. Такое представление допустимо, только если пренебречь упругими деформациями валов и других элементов механической части, а также, если момент инерции не зависит от скорости и от угла поворота (для кривошипно-шатунного механизма, у которого момент инерции является переменной величиной, эта модель не подходит).
Дифференцирующее звено
Передаточная функция:
Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде:, где Т – постоянная времени (в секундах). Дифференцирующее звено относится к идеальным звеньям (m>n).
Уравнение звена:
Выходная величина пропорциональна производной входной величины.
Статическая характеристика: yст =W(0)·xст= 0
В статическом режиме выходная величина всегда равна нулю (т.к. производная постоянной величины – ноль). Статическая характеристика совпадает с осью x.
Переходная функция:
Это дельта-импульс с площадью К. При постоянной входной величине выходная величина дифференцирующего звена равна нулю.
Реакция на линейно нарастающее воздействие
При воздействии x(t)=t·1(t) реакция y(t)=K·1(t). При линейно изменяющейся входной величине выходная величина дифференцирующего звена постоянна.
Пример: реакция дифференцирующего звена на произвольное воздействие.
ЛАЧХ: L(ω)= 20lg(Kω)=20lg(K)+20lg(ω)
В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном +20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ возрастает.
При ω>1/K, L>0 – звено усиливает амплитуду.
При ω=1/K, L=0 – звено не изменяет амплитуду.
При ω<1/K, L<0 – звено ослабляет амплитуду.
ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=1/К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).
ЛФЧХ: φ(ω)= +90˚ = π/2 рад.
Дифференцирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит опережение по фазе на четверть периода.
Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ для К<1.
Примеры дифференцирующих звеньев
Дифференцирующее звено является идеальным (физически нереализуемым) звеном. Это означает, что его нельзя реализовать искусственно. Однако такое звено может встретиться в модели объекта управления, когда две физические величины по своему определению связаны через производную.
Примером таких величин могут быть угол поворота вала двигателя α и угловая скорость ω. По определению угловая скорость является производной угла:
Поэтому угол поворота может рассматриваться как входная величина, а угловая скорость – как выходная величина дифференцирующего звена (в данном случае К=1).
Также дифференцирующие звенья могут использоваться в случаях, когда не учитывается какое-то существенное свойство рассматриваемого объекта (при идеализированном его представлении).
Рассмотрим идеальный конденсатор, обладающий только емкостью C и не обладающего активным сопротивлением R=0.
Таким образом, модель идеального конденсатора будет дифференцирующим звеном с передаточной функцией W(p)=Cp.
Апериодическое звено первого порядка (другое название – инерционное звено).
Передаточная функция: , где K – статический коэффициент передачи, Т – постоянная времени (измеряется в секундах).
Уравнение звена
Найдем дифференциальное уравнение апериодического звена. По определению передаточной функции:
Переходим от изображений к оригиналам:
Статическая характеристика: yст =W(0)·xст= К·xст (как у пропорционального звена).
Переходная функция: . Зависимость h(t) – экспоненциальная.
При скачке воздействия выходная величина не может измениться скачком, а изменяется плавно по экспоненте, т.е. звено обладает инерцией. Отсюда происходит название звена – инерционное. Переходная функция возрастает монотонно, без колебаний. Отсюда происходит название звена – апериодическое (т.е. не имеющее периода, неколебательное).
Установившееся значение переходной функции равно коэффициенту К. Теоретически переходная функция будет бесконечно приближаться к значению K. На практике обычно считают, что переходный процесс закончился за время 3Т, когда переходная функция достигает значения 0,95К. Постоянная времени Т – это показатель инерционности звена. Чем больше Т, тем медленнее возрастает переходная функция и тем более инерционным является звено.
Весовая функция
Найдем ее как производную переходной функции:
Начальное значение весовой функции: g(0)=K/T.
Установившееся значение весовой функции: g(∞)=0.
Уравнение АЧХ и ФЧХ
Получим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ.
Частотная передаточная функция апериодического звена (после подстановки в передаточную функцию p=jω):
Таким образом, вещественная частотная характеристика:
Мнимая частотная характеристика:
Амплитудная частотная характеристика:
Фазовая частотная характеристика:
АФЧХ
Годограф Найквиста для апериодического звена имеет вид полуокружности.
ЛАЧХ и ЛФЧХ
Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена для К>1.
Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена состоит из двух прямых. Первая прямая проходит в диапазоне частот 0…1/T с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lg(K) относительно оси частоты. При К=1 20lg(K)=0, т.е. первая прямая будет совпадать с осью частоты, при К>1 она расположена выше оси частоты, при К<1 – ниже оси частоты. Вторая прямая проходит в диапазоне частот 1/Т…∞ с наклоном –20 дБ/дек (минус двадцать). Частота, на которой соединяются прямые с разными наклонами ω=1/Т, называется частотой сопряжения. На этой частоте будет наибольшее отличие точного графика ЛАЧХ от асимптотического (оно составляет около 3дБ).
Значения ЛФЧХ лежат в пределах 0…–π/2 рад (0…–90º). На частоте сопряжения φ(Т/2)= –π/4 рад (–45º). В области низких частот ω<<1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к пропорциональному звену W(p)=K, в области высоких частот ω>>1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к интегрирующему звену W(p)=K/(Тр).
Примеры апериодических звеньев
Цепь якоря двигателя постоянного тока
Дифференциальное уравнение якорной цепи (по 2-му закону Кирхгофа):
или
,
где – электромагнитная постоянная времени.
Входной величиной звена будем считать разность , а выходной величиной – ток якоря Iя. Запишем уравнение якорной цепи для изображений величин:
Находим передаточную функцию звена:
Получена передаточная функция апериодического звена. Коэффициентом К является величина – проводимость цепи якоря. Цепь якоря обладает электромагнитной инерцией, обусловленной ее индуктивностью.
Резистивно-емкостный фильтр низких частот
Входная величина звена – напряжение U1, выходная величина звена – напряжение U2.
Статический коэффициент передачи фильтра К=1, постоянная времени фильтра:
Т = RC.
При скачке входного напряжения U1 выходное напряжение U2 нарастает по экспоненте (по мере заряда конденсатора и снижения тока в цепи конденсатора) и стремится к значению входного напряжения.
Такой фильтр хорошо пропускает сигналы низких частот (при ω<<1/T значение АЧХ близко к единице) и подавляет сигналы высоких частот (при ω>>1/T значение АЧХ близко к нулю).
Механическая инерционная система (демпфер и пружина).
Корпус
закреплен
Входной величиной (воздействием) будем считать перемещение конца пружины x, а выходной величиной (реакцией) – перемещение поршня y. Тогда данную систему можно описать как апериодическое звено с единичным коэффициентом К=1.
Постоянная времени Т=δ/с, где δ – коэффициент вязкого трения при движении поршня [Нс/м], с – коэффициент жесткости пружины [Н/м].
Если переместить конец пружины на некоторое расстояние, то поршень переместится на такое же расстояние, но не мгновенно, а за время примерно равное 3Т. Величина y будет изменяться во времени по экспоненте (см. переходную функцию апериодического звена).
При таком математическом описании не учитывается масса поршня (если поршень обладает значительной массой, то данная модель может оказаться неверной – переходные процессы будут колебательными).
Тепловая модель электродвигателя постоянного тока
Входная величина – квадрат тока обмотки якоряI2,
Выходная величина – температура двигателя.
Двигатель обладает тепловой инерцией. При изменении тока температура изменяется не мгновенно, а по экспоненциальному закону.
Статический коэффициент передачи К= RA–1, где R – сопротивление обмотки якоря [Ом], А – теплоотдача в окружающую среду [Дж/с˚С]. Постоянная времени нагрева Тн = С/А, где С – теплоемкость двигателя [Дж/ ˚С ].
Реальное дифференцирующее звено
Передаточная функция: .
Это произведение передаточных функций идеального дифференцирующего звена и апериодического звена. Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточная функция записывается в виде:
где Т1 – постоянная времени дифференцирующей части, Т2 – постоянная времени инерционной части.
Уравнение звена
Найдем дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена. По определению передаточной функции:
Переходим от изображений к оригиналам:
Статическая характеристика: такая же, как у идеального дифференцирующего звена.
Переходная функция: h(t)= – такая же, как весовая функция апериодического звена.
В отличие от идеального дифференцирующего звена у реального нет скачка до бесконечности при t=0. Инерционность сглаживает переходный процесс. Начальное значение h(0) = K/T. Чем меньше Т, тем ближе звено к идеальному. Установившееся значение переходной функции равно нулю (она асимптотически приближается к этому значению).