Analiticheskaya_geometria
.docРаздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»: составление различных уравнений прямых на плоскости и в пространстве; определение взаимного расположения прямых на плоскости, прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве; изображение кривых второго порядка. Необходимо отметить, что в данном разделе представлены задачи экономического содержания, при решении которых применяются сведения из аналитической геометрии на плоскости.
При решении задач аналитической геометрии целесообразно воспользоваться учебными пособиями следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш. Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина, т.к. в данной литературе рассматривается более широкий круг задач, которые можно использовать для самостоятельной подготовки по данной теме. Применение аналитической геометрии к решению экономических задач изложено в учебных изданиях М.С. Красса и В.И. Ермакова.
Задача 5.1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Необходимо
а) написать уравнения сторон треугольника;
б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ и найти ее длину;
в) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В к стороне АС;
г) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный);
д) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторонний, равнобедренный, равносторонний);
е) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника АВС.
К каждому из пунктов а) – в) решения сделать рисунки в системе координат. На рисунках обозначить соответствующие пунктам задачи линии и точки.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
|
1)
2)
3)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
|
4)
5)
6)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30) |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Пример 5.1
Даны координаты
вершин треугольника АВС:
.
Необходимо а) написать уравнения сторон
треугольника; б) написать уравнение
высоты треугольника проведенной из
вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину; в) написать уравнение
медианы треугольника, проведенной из
вершины В
к стороне АС;
г) найти длины сторон треугольника и
определить его тип (разносторонний,
равнобедренный, равносторонний); д)
найти углы треугольника и установить
его вид (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный); е) найти координаты центра
тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка
пересечения высот) треугольника АВС.
Решение
а) Для каждой стороны треугольника известны координаты двух точек, которые лежат на искомых линиях, значит уравнения сторон треугольника – уравнения прямых, проходящих через две заданные точки
|
|
(5.1) |
,
где
и
соответствующие координаты точек.
Таким образом, подставляя в формулу (5.1) координаты соответствующих прямым точек получаем
,
,
,
откуда после преобразований записываем уравнения сторон
,
,
.
На рис. 7 изобразим
соответствующие сторонам треугольника
прямые.
Ответ:
,
,
.
|
Рис. 7 |
б)
Пусть
– высота, проведенная из вершины
к стороне
.
Поскольку
проходит через точку
перпендикулярно вектору
,
то составим уравнение прямой по следующей
формуле
|
|
(5.2) |
,
где
– координаты вектора перпендикулярного
искомой прямой,
– координаты точки, принадлежащей этой
прямой. Найдем координаты вектора,
перпендикулярного прямой
,
и подставим в формулу (5.2)
,
,
,
,
.
Найдем длину высоты
CH
как расстояние от точки
до прямой
|
|
(5.3) |
,
где
– уравнение прямой
,
– координаты точки
.
В предыдущем пункте было найдено
.
Подставив данные в формулу (5.3), получим
,
На рис. 8 изобразим треугольник и найденную высоту СН.
Ответ:
.
|
Р |
ис.
8
в)
медиана
треугольника
делит сторону
на две равные части, т.е. точка
является серединой отрезка
.
Исходя из этого, можно найти координаты
точки
|
|
(5.4) |
,
,
где
и
– координаты соответственно точек
и
,
подставив которые в формулы (5.4), получим
;
.
Уравнение медианы
треугольника
составим как уравнение прямой, проходящей
через точки
и
по формуле (5.1)
,
.
Ответ:
(рис. 9).
|
Р |
ис.
9г) Длины сторон треугольника найдем как длины соответствующих векторов, т.е.
,
,
.
Стороны
и
треугольника
равны, значит, треугольник является
равнобедренным с основанием
.
Ответ:
треугольник
равнобедренный с основанием
;
,
.
д)
Углы треугольника
найдем как углы между векторами,
исходящими из соответствующих вершин
данного треугольника, т.е.
,
,
.
Поскольку треугольник
равнобедренный с основанием
,
то
,
Углы между векторами
вычислим по формуле (4.4), для которой
потребуются скалярные произведения
векторов
,
.
Найдем координаты и модули векторов, необходимых для вычисления углов
,
;
,
,
.
Подставляя найденные данные в формулу (4.4), получим
,
,
Поскольку значения
косинусов всех найденных углов
положительны, то треугольник
является остроугольным.
Ответ:
треугольник
остроугольный;
,
,
.
е)
Пусть
– центр тяжести треугольника
,
тогда координаты
точки
можно найти, по формулам (5.5)
|
|
(5.5) |
,
,
где
,
и
– координаты соответственно точек
,
и
,
следовательно,
,
.
Ответ:
– центр тяжести треугольника
.
ж) Пусть
– ортоцентр треугольника
.
Найдем координаты точки
как координаты точки пересечения высот
треугольника. Уравнение высоты
было найдено в пункте б).
Найдем уравнение высоты
:
,
,
,
.
Поскольку
,
то решение системы
является координатами
точки
,
откуда находим
.
Ответ:
– ортоцентр треугольника
.
Задача 5.2. Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некоторой продукции составляют F руб. в месяц, переменные издержки – V0 руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет R0 руб. за единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P(q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Пример 5.2
Фиксированные
издержки на предприятии при выпуске
некоторой продукции составляют
руб. в месяц, переменные издержки –
руб. за единицу
продукции, при этом выручка составляет
руб. за единицу
изготовленной продукции. Составить
функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.
Решение
Вычислим совокупные издержки на производстве при выпуске q единиц некоторой продукции
.
Если будет продано q единиц продукции, то совокупный доход составит
.
Исходя из полученных функций совокупного дохода и совокупных издержек, найдем функцию прибыли
,
,
.
Точка
безубыточности – точка, в которой
прибыль равна нулю, или точка, в которой
совокупные издержки равны совокупному
доходу
,
,
откуда находим
– точка безубыточности.
Для построения графика (рис. 10) функции прибыли найдем еще одну точку
.
Рис. 10
Ответ:
функция прибыли
,
точка безубыточности
.
Задача 5.3. Законы спроса и предложения на некоторый товар соответственно определяются уравнениями p=pD(q), p=pS(q), где p – цена на товар, q – количество товара. Предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке pС, а предложение – только ценой pS, получаемой поставщиками. Необходимо
а) определить точку рыночного равновесия;
б) точку равновесия после введения налога, равного t. Определить увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж;
в) найти субсидию s, которая приведет к увеличению объема продаж на q0 ед. относительно изначального (определенного в пункте а));
г) найти новую точку равновесия и доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного N%;
д) определить, сколько денег будет израсходовано правительством на скупку излишка при установлении минимальной цены, равной p0.
К каждому пункту решения сделать рисунок в системе координат. На рисунке обозначить соответствующие пункту задачи линии и точки.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;