Analiticheskaya_geometria
.doc
;
.
Определим взаимное
расположение векторов
и
,
т.к. если
,
то
,
если
,
то
,
иначе
и
либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся.
координаты
направляющих векторов заданных прямых
не пропорциональны, следовательно,
и
не параллельны,
скалярное
произведение направляющих векторов
заданных прямых не равно нулю,
следовательно,
и
не перпендикулярны, таким образом,
прямые либо пересекающиеся, либо
скрещивающиеся.
Если векторы
,
и
(
,
)
– компланарны, то
и
– пересекающиеся прямые, иначе
и
– скрещивающиеся.
Из уравнений
прямых
и
находим
,
,
откуда
.
Найдем определитель,
составленный из координат
,
,
,
,
поскольку
,
то векторы
,
и
являются компланарными, значит прямые
и
пересекаются под углом .
Найдем угол
между прямыми
и
.
Ответ:
и
пересекаются,
.
в) Выше было определено
,
.
Исследуем взаимное
расположение векторов
и
,
т.к. если
,
то
,
если
,
то
,
иначе
.
координаты векторов
заданных прямой и плоскости не
пропорциональны, следовательно,
и
не перпендикулярны,
скалярное
произведение векторов заданных прямой
и плоскости равно нулю, следовательно,
и
параллельны, т.е.
.
Найдем расстояние
между прямой
и плоскостью
.
Для этого возьмем точку
и найдем расстояние от точки
до плоскости
по формуле (5.12)
.
Ответ:
,
,
.
Задача 5.6. Построить кривые второго порядка по заданным уравнениям. Для окружности указать центр и радиус; для эллипса и гиперболы – фокусы; для параболы – фокус и директрису.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
2) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
3) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
4) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
5) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
6) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
7) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
8) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
9) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
10) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
11) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
12) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
13) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
14) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
15) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
16) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
17) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
18) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
19) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
20) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
21) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
22) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
23) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
24) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
25) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
26) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
27) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
28) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
29) а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
30) а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Пример 5.6
Построить кривые второго порядка по заданным уравнениям. Для окружности указать центр и радиус; для эллипса и гиперболы – фокусы; для параболы – фокус и директрису.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение
а)
– окружность с центром в точке
и радиусом
(рис. 16).
б)
– эллипс (рис. 17),
– малая полуось;
– большая полуось. Учитывая, что большая
полуось расположена по оси
,
фокусы будут иметь следующие координаты
,
где
.
Найдем координаты фокусов
,
тогда
.
в)
– гипербола (рис. 18),
– действительная полуось;
– мнимая полуось. Учитывая, что
действительная полуось расположена
по оси
,
фокусы будут иметь следующие координаты
,
где
.
Найдем координаты фокусов
,
тогда
.
|
Рис. 16 |
Р |
ис.
17
г)
– парабола с вершиной в точке
,
– ось симметрии;
– параметр параболы (рис. 19). Ветви
параболы направлены вверх, т.к.
.
Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы
;
.
|
Р |
Р |
ис.
18
ис.
19
Задача 5.7. С помощью выделения полного квадрата и переноса начала координат упростить уравнение линии и определить ее тип. Сделать рисунок.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
|
1)
2)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
|
3)
4)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Пример 5.7
С помощью выделения полного квадрата и переноса начала координат упростить уравнение линии и определить ее тип:
.
Сделать рисунок.
Решение.
Для выделения полного квадрата сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
,
тогда,
,
откуда получим
,
поделим обе части уравнения на свободный коэффициент
.
Таким образом,
данное уравнение является уравнением
эллипса с центром в точке
,
где
– большая полуось;
– малая полуось.
Ответ:
эллипс (рис. 20).
Рис. 20