1.5. Погрешность интерполирования.

Поставим вопрос о том, насколько хорошо интерполяционный полином приближает функцию на отрезке , то есть попытаемся оценить погрешность (остаточный член)

, .

Сразу же отметим, что по определению интерполяционного полинома

при ,

поэтому речь идет об оценке при значениях .

Для того, чтобы это сделать, следует ввести дополнительно предположение о гладкости функции . Предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке .

В силу можно представить в виде:

,

где - полином степени :

.

Зафиксируем произвольное значение и рассмотрим вспомогательную функцию от переменной :

,

заданную на отрезке и содержащую переменную в качестве параметра. В силу своего определения функция обязана обращаться в нуль в узлах интерполирования при и кроме того при , т. е. как функция аргумента она имеет нуля:

, , .

Если , то все ее нули также лежат на отрезке . Если то эти нули, вообще говоря, принадлежат отрезку , а если , то они находятся на отрезке . Объединяя эти три случая, скажем, что указанные нули функции принадлежат отрезку , где .

Согласно известной теореме Ролля можно утверждать, что производная имеет по крайней мере нуль на отрезке (эти нули перемежаются с нулями самой функции ). Повторяя это рассуждение, заключаем, что имеет по крайней мере нулей на отрезке , - нуль и, наконец, обращается хотя бы один раз в нуль в некоторой точке , то есть

.

Учитывая, что производная полинома степени тождественно равна нулю, получаем, что

;

и соответственно

.

Формула не позволяет вычислить погрешность, поскольку точное значение аргумента нам неизвестно. Однако с ее помощью погрешность можно оценить:

,

где

.

Обсудим роль полинома в оценке . На отрезке он имеет нуль, а его значения между этими нулями сравнительно невелики, но, когда точка выходит за пределы отрезка и удаляется от точки влево или от точки вправо, оценка ухудшается из-за быстрого роста функции . Это хорошо видно на рис. 2, где в качестве примера приведен график функции с корнями , , , :

.

Ее наибольшее по модулю значение на отрезке равно единице. Однако уже в точках за пределами отрезка полином принимает значение

.

Из сказанного можно сделать следующий вывод. Если , то множитель не обесценивает оценку . Такой случай называют собственно интерполяцией . Противоположный случай, когда точка лежит вне отрезка называют экстраполяцией функции . Отмеченная выше особенность поведения полинома резко ухудшает оценку при экстраполяции. Поэтому на практике экстраполяции избегают или ограничиваются многочленами невысокой степени , когда рост функции не настолько критичен.

Задача 4.

Написать мажорантную оценку для погрешности при вычислении приближенного значения в точке с помощью интерполяционного полинома второй степени . Сравнить ее с погрешностью , подсчитанной непосредственно.

Формула для погрешности принимает в данном случае вид:

, .

Она правильно определяет знак погрешности, но не позволяет вычислить ее величину, поскольку значение аргумента неизвестно. Чтобы получить мажорантную оценку погрешности , нужно заменить на его наибольшее значение – единицу. В результате будем иметь:

.

Эта оценка согласуется с величиной погрешности , вычисленной «в лоб».