3. Построение интерполяционного полинома в форме Лагранжа.

Интерполяционный полином первой степени мы построили, решая напрямую систему двух уравнений с двумя неизвестными - коэффициентами и. Однако решить таким же образом систему при произвольномтехнически очень сложно. Проще сделать это с помощью специальных методов, учитывающих особенности рассматриваемой задачи. Один из таких методов, принадлежащих Лагранжу, мы и рассмотрим в этом разделе.

Представим искомый полином в виде:

,

где полиномы степени, «ориентированные» на точкив том смысле, что

Такие полиномы легко построить:

или в развернутом виде:

Иногда нам будет удобно записывать в виде:

.

Из выражения и формул очевидно, что построенный полином действительно является интерполяционным полиномом для функциина сетке с узлами. Его принято называть интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. Этим подчеркивается, что возможны и другие эквивалентные представления интерполяционного полинома. С одним из них мы познакомимся в следующем разделе.

В заключение отметим, что из трех различных представлений интерполяционного полинома первой степени - формула дает его запись в форме Лагранжа.

Задача 2.

Написать интерполяционный полином второй степени для функции по ее значениям в трех точках:,,. Вычислить с помощью этого полинома приближенное значение синуса в точке, сравнить полученный результат с точным значением синуса и подсчитать погрешность.

Воспользуемся для записи полинома формулой Лагранжа . В рассматриваемом случае , так что в формуле останется только два слагаемых соответствующих точками. В результате получим:

Перейдем к выполнению второй части задания. Вычислим с помощью интерполяционного полинома приближенное значения синуса в точке и подсчитаем погрешность:

,.

На рис. 1 приведены для сравнения графики функций (сплошная линия) и(пунктир).

4. Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа, несмотря на своё изящество, неудобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.

Перепишем интерполяционный полином Лагранжа в иной, эквивалентной форме

,

где - полиномы Лагранжа степени, соответствующие узлам интерполирования. В частности,- полином нулевой степени.

Полином

имеет степень и по построению обращается в ноль припоэтому его можно представить в виде

,

где - числовой коэффициент при. Поскольку не содержит степени, топросто совпадает с коэффициентом прив полиноме.Согласно и его можно записать в виде

,

где

.

При этом

.

Формулы и позволяют написать рекуррентное соотношение для полинома :

.

Выражая аналогичным образом по индукции через,черези т. д., получим окончательную формулу для полинома:

Представление удобно для вычислителя, поскольку увеличение на единицу требует только добавления к «старому» многочлену одного дополнительного слагаемого. Такое представление интерполяционного полиноманазывают интерполяционным полиномом в форме Ньютона.

Из трех эквивалентных представлений интерполяционного полинома первой степени - формула дает его запись в форме Ньютона.

Задача 3.

Написать интерполяционный полином второй степени в форме Ньютона для функции по ее значениям в трех точках: ,,(см. задачу 2).

Согласно формуле

.

Коэффициенты в этом разложении вычисляются по формулам и:

,,.

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу , получим

.

Первоначальные выражения для интерполяционного полинома в форме Лагранжа и Ньютона различны, но окончательные ответы, естественно, совпадают.