ТИК-контр-з / Кодирование информации

Кодирование информации при передаче с помехами.

Для этих целей используются помехоустойчивые коды, позволяющие обнаруживать и исправлять ошибки. Способность кода обнаруживать и исправлять ошибки обусловлена наличием избыточных символов.

Кратностью ошибки называют количеством исправленных символов в кодовой комбинации.

Кодовое расстояние d – это число символов, в которых комбинации отличаются одна от другой. Достаточно подсчитать число единиц, получаемых после сложения по mod 2 всех комбинаций.

Минимальное расстояние, взятое по всем парам кодовых разрешённых комбинаций кода, называется минимальным кодовым расстоянием d min.

При d=1 все кодовые комбинации являются разрешёнными

При d=2 ни одна из разрешённых кодовых комбинаций при одиночной ошибке не переходит в другую разрешённую комбинацию. Тогда подмножество разрешённых кодовых комбинаций может быть образованно по принципу чётности в них числа единиц.

В общем случае при необходимости обнаруживать ошибки кратности до r включительно минимальное Хеммингово расстояние между разрешёнными комбинациями должно быть по крайней мере, на единицу больше *, т.е

d₀min≥r+1

Тогда ошибка кратности r не в состоянии перевести одну разрешённую комбинацию в другую.

Для исправления одиночной ошибки каждой разрешённой кодовой комбинацией необходимо сопоставить подмножество запрещённых кодовых комбинаций. Чтобы эти подмножества не пересекались, Хеммингово расстояние между разрешёнными кодовыми комбинациями должно быть не меньше трёх.

В общем случае для облегчения возможности исправления всех ошибок кратности до S включительно минимальным Хемминоговым расстоянием между комбинациями:

d_nmin≥2S+1

Для исправления всех ошибок кратности S и одновременного обнаружения всех ошибок кратности r (r≥S) минимальное Хеммингово расстояние нужно выбирать из условия

dn₀min≥r+S+1

Приведённые формулы справедливы для случая взаимно-независимых ошибок и дают завышенные значения при помехе, передаваемой с сигналом.

Двоичные линейные групповые коды.

Двоичный групповой код является n-разрядным и содержит k-информационных разрядов и m = (n-k) – проверочных, являющихся избыточными.

В двоичном линейном коде значения проверочных символов (опознавателя – синдрома) подбирают так, чтобы сумма по mod 2 всех индексов (включая проверочный), входящих в каждое из равенств, равнялось нулю.

Количество подлежащих исправлению ошибок является орпеделяющим для выбора числа избыточных символов (n-k). Их должно быть достаточно для того, чтобы обеспечить необходимое число опознавателей.

Если необходимо исправить все одиночные ошибки, то исправлению подлежит n ошибок, тогда необходимое число проверочных разрядов должно определяться из соотношения

2^n-k-1≥n, или 2^n-k-1≥C_n¹

(k=4, n=7),

(k=11, n=15),

(k=26, n=31).

Если необходимо исправить все одиночные и двойные ошибки, то количество проверочных разрядов выбирается из соотношения

2^n-k-1≥C_n¹+C_n²

(k=2, n=7).

В общем случае для исправления всех независимых ошибок кратности до S включительно имеем

2^n-k-1≥C_n¹+C_n²+…+C_n^S

Это теоретический придел минимально возможного числа проверочных символов, но их иногда требуется больше.

Проверочные равенства кода Хэмминга

В качестве примера рассмотрим коды, предназначенные для исправления одиночных ошибок.

Оптимальные коды: (4,7); (15,11); (31,26); (63,57); и т.д., где первое число- n, а второе –k.

Проверочные равенства (для кода (15,11)):

E₁=a₁+a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁+a₁₃+a₁₅=0

E₂=a₂+a₃+a₆+a₇+a₁₀+a₁₁+a₁₄+a₁₅=0

E₃=a₁₄+a₁₅+a₁₆+a₁₇+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅=0

E₄=a₇+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅=0

Контолирующие разряды : 2⁰=1 - a₁

2¹=2 - a₂

2²=4 - a₄

2³=8 - a_8.

Пример

Передать по дискретному каналу число 10d: (10d=1010) кодом, исправляющим одиночные ошибки.

x₃=a₇=1; a₁=a₃+a₅+a₇=0+1+1=0

x₂=a₆=0; a₂=a₃+a₆+a₇=0+0+1=1

x₁=a₅=1; a₄=a₅+a₆+a₇=1+0+1=0

x₀=a₃=0

Передаваемый код: 1 0 1 0 0 1 0

Если исправить ошибку в разряде a₆,то тогда имеем код 1 1 1 0 0 1 0 и

E₁=a₁+a₃+a₅+a₇=0,

E₂=a₂+a₃+a₆+a₇=1,

E₃=a₄+a₅+a₆+a₇=1.

Модифицированный код Хэмминга

К контрольным разрядам добавляется ещё один разряд контроля чётности всех одновременно считываемых (записываемых) индексных и конролирующих разрядов, т.е будем иметь код, способный исправлять одиночные и обнаруживать двойные ошибки: коды (8,4); (16,11); (32,26) и т.д.

При считывании формируются корректирующее число Хэмминга

E_k E_k-1…E₁ и разряд общей чётности F для всех считанных разрядов, включая контрольный разряд. Так для кода (8, 4) F=a₅+a₇+a₆+…+a₁

Результаты отображены в виде таблицы

Корректирующее число Хэмминга	F	Наличие ошибок
Ek ..E1
Нули	0	Нет ошибок
Нули	1	Ошибка в контр. разряде общей чётности F
≠0	0	Двойная ошибка (коррекция блокируется, посылается запрос повnjhной передачи)
≠0	1	Одиночная ошибка (осуществляется её исправление)