Лабораторные работы

15

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.А.Володин

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам

по дисциплине

«Системный анализ»

Донецк - 2014

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Исследование решения прямой задачи 5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Получение градиента критерия качества

идентификации 9

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Исследование решения сопряженной задачи 12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 Идентификация параметра неоднородного

линейного дифференциального уравнения 13

ЛИТЕРАТУРА 14

Введение

Рассмотрим краткие теоретические сведения, которые необходимы для дальнейшего изложения.

Определение 1. Пусть - некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция , если каждому числу поставлено в соответствие определенное число .

Определение 2. Функция называется функцией с интегрируемым квадратом на , если интеграл

существует (конечен). Совокупность всех таких функций образует пространство функций с интегрируемым квадратом, которое обозначается через .

Определение 3. Отображения пространства во множество действительных чисел называются функционалами, определенными на этом пространстве, или функционалами над этим пространством.

Определение 4. Пусть функции и определены на отрезке . Скалярное произведение функций и определяется по формуле

.

Определение 5. Норма функции определяется по формуле

.

Определение 6. Пусть заданы последовательность функций , и функция , определенные на множестве . Указанная последовательность сходится к функции равномерно на множестве , если для любого существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство .

Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве , если существует функция, к которой она равномерно сходится на .

Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого можно выбрать такой номер , зависящий только от заданного и не зависящий от выбора точки , что при неравенство будет выполняться всюду на множестве , т.е. «графики» функций расположены в «-полоске», окружающей график функции .

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого при всех достаточно больших (а именно при ) значения функции приближают функцию с погрешностью, меньшей , сразу на всем множестве .

Определение 7. Пусть и - два нормированных пространства и - отображение, действующее из в и определенное на некотором открытом подмножестве пространства . Назовем это отображение дифференцируемым в данной точке , если существует такой линейный ограниченный оператор , что для любого можно найти , при котором из неравенства следует неравенство

.

То же самое сокращенно записывают так:

.

Выражение (представляющее собой, очевидно, при каждом элемент пространства ) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения в точке . Сам линейный оператор называется производной, точнее, сильной производной отображения в точке .

Если отображение дифференцируемо в точке , то соответствующая производная определяется единственным образом.

Определение 7. Множество метрического пространства называется компактом, если из любой последовательности его точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к его точке.

Если , - метрическое пространство, - компакт, - его точка прикосновения, то существует такая последовательность что

Всякое замкнутое подмножество компакта является компактом.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Исследование решения прямой задачи

Цель работы: Приобретение навыков решения прямых задач.

Постановка задачи: Пусть некоторый процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Варианты заданий приведены в таблице. Необходимо получить и исследовать решение неоднородного уравнения с соответствующими граничными условиями. Экстремальная функция необходима для выполнения третьей и четвертой лабораторных работ. Значение параметра получить у преподавателя.

№, п/п	Уравнение	Граничные условия	Экстремальная функция,
1		,	,
2		,	,
3		,	,
4		,	,
5		,	,
6	,	,	,
7		,	,
8		,	,
9		,	,
10		,	,
11		,	,
12		,	,
13		,	,
14		,	,
15		,	,
16		,	,
17		,	,
18		,	,
19		,	,
20		,	,
21		,	,
22		,	,
23		,	,
24		,	,
25		,	,
26		,	,
27		,	,
28		,	,
29		,	,
30		,	,

Теоретическая часть

1⁰. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и без правой части имеет вид

(1.1)

Если и - корни характеристического уравнения

, (1.2)

то общее решение уравнения (1.1) записывается в одном из следующих трех видов:

1) , если и вещественны и ;