Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

ãäå

Òàêèì îáðàçîì, öåïü èç ï послеäîâàтельно соеäиненных резистиâíûõ, èíäóêòèâных или емкостных элементоâ может быть зàмененà îäíèì ýêâèâàлентным резистиâíûì, èíäóêòèâным или емкостным элементом с пàðàìåòðàìè, îïðåäеляемыми формулàми (1.22) (1.24). Причем, при нàõîæäåíèè ýêâèâàлентноãо сопротиâ- ления или экâèâàлентной инäóêòèâности необхоäимо суммироâàть сопротиâления и инäóêòèâности отäельных резистиâíûõ è èíäóêòèâных элементоâ, à äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàлентной обрàтной емкости суммироâàòü âеличины, обрàтные емкости отäельных емкостных элементоâ.  ÷àстности, при n = 2

При послеäîâàтельном соеäинении незàâисимых источникоâ íà- пряжения они зàменяются оäíèì ýêâèâàлентным источником нà- пряжения с зàäàþùèì íàпряжением uã, ðàâíûì àëãåáðàической сумме зàäàþùèõ íàпряжений отäельных источникоâ. Причем со знàком «+» берутся зàäàþùèå íàпряжения, соâïàäàþùèå ñ çà- äàþùèì íàпряжением экâèâàлентноãо источникà, à ñî çíàêîì « » íåñîâïàäàþùèå (ðèñ. 1.15).

Параллельное соединение элементов. Ïðè ïàðàллельном соеäи- нении элементоâ ñîãëàñíî ÇÍÊ ê íèì áóäет приложено оäíî è òî æå íàпряжение (рис. 1.16). Соãëàñíî ÇÒÊ äëÿ òîêà êàæäой из схем, изобрàженных нà рис. 1.16, можно зàïèñàòü

Ðèñ. 1.16

31

Íà îñíîâàíèè ýòîãî, óðàâнения с учетом формул (1.6), (1.9) и (1.12) получàåì:

äëÿ ïàðàллельноãî ñîåäинения резистиâных элементоâ

Ñëåäîâàтельно, цепь из ï ïàðàллельно соеäиненных резистиâ- íûõ, èíäóêòèâных или емкостных элементоâ можно зàменить оä- íèì ýêâèâàлентным резистиâíûì, èíäóêòèâным или емкостным элементом с пàðàìåòðàìè, îïðåäеляемыми формулàìè (1.27) (1.29).

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàðàллельном соеäинении резистиâных, емкостных и инäóêòèâных элементоâ äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàлентных проâîäимостей и емкости цепи проâîäимости или емкости от- äельных элементоâ ñêëàäûâàþòñÿ. Ýêâèâàлентнàÿ îáðàòíàÿ èí- äóêòèâность цепи нàõîäится суммироâàíèåì îáðàòíûõ èíäóêòèâностей отäельных инäóêòèâных элементоâ.  ÷àстности, при ï = 2

Ïàðàллельно соеäиненные незàâисимые источники токà можно зàменить оäíèì ýêâèâàлентным источником токà ñ çàäàющим током, рàâíûì àëãåáðàической сумме зàäàþùèõ òîêîâ îòäельных источникоâ. Причем со знàком «+» берутся зàäàþùèå òîêè, ñî- âïàäàþùèå ïî íàïðàâлению с зàäàющим током экâèâàлентноãо источникà, à ñî çíàêîì « » íå ñîâïàäàþùèå (ðèñ. 1.17).

Ïðè ðàсчете электрических цепей чàñòî âозникàет необхоäи- мость преобрàçîâàния источникà íàпряжения с пàðàìåòðàìè uã è

32

Ðèñ. 1.17

Rã (ñì. ðèñ. 1.5, ä) â ýêâèâàлентный источник токà ñ ïàðàìåòðàìè iã è Gã (ñì. ðèñ. 1.5, å), èëè íàоборот преобрàçîâàние источникà òîêà â ýêâèâàлентный источник нàпряжения. Эти преобрàçîâàния осущестâляются â ñîîòâåòñòâии с формулàìè

которые моãут быть получены из ЗНК и ЗТК äля схемы нà ðèñ. 1.5, ä, å и принципà ýêâèâàлентности.

1.6. Принцип наложения

Принцип нàложения (суперпозиции) имеет âàжнейшее знàчение â теории линейных электрических цепей. Поäàâляющее число метоäîâ àíàëèçà линейных цепей бàзируется нà этом принципе. Если рàññìàòðèâàòü íàпряжения и токи источникоâ êàê çàäàþùèå âîç- äåéñòâèÿ, à íàпряжение и токи â îòäельных âåòâÿõ öåïè êàê ðå- àêöèþ (отклик) цепи нà ýòè âîçäåéñòâия, то принцип нàложения можно сформулироâàòü ñëåäующим обрàçîì: ðåàкция линейной цепи нà сумму âîçäåéñòâèé ðàâíà сумме реàêöèé îò êàæäîãî âîçäåéñòâèÿ â îòäельности.

Принцип нàложения можно использоâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ðå- àêöèè â линейной цепи, нàõîäящейся кàê ïîä âîçäåéñòâием нескольких источникоâ, òàк и при сложном произâольном âîçäåéñò- âèè îäíîãо источникà.

Ðàссмотрим âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà â линейной цепи äåéñòâует несколько источникоâ.  ñîîòâåòñòâии с принципом нàложения äëÿ íàõîæäåíèÿ òîêà i èëè íàпряжения è â çàäàííîé âåòâи осущестâим поочереäíîå âîçäåéñòâèå êàæäым источником и нàéäåì ñîîòâåòñò- âующие чàстные реàêöèè ik è uk íà ýòè âîçäåéñòâèÿ. Òîãäà результирующàÿ ðåàêöèÿ â ñîîòâåòñòâии с принципом нàложения опреäе- лится кàê

ãäå ï общее число источникоâ.

Åñëè â линейной цепи приложено нàпряжение сложной формы, применение принципà íàложения позâоляет после рàзложения это-

33

применить к любым физическим âеличинàм, которые сâÿçàíû ìåæ- äу собой линейной зàâисимостью (нàпример, ток и нàпряжение). В то же âремя этот принцип нельзя использоâàòü ïðè âычислении мощности, тàê êàê îíà ñâÿçàíà ñ íàпряжением и током кâàäðàòè÷- íîé çàâисимостью (1.7).

Принцип нàложения лежит â îñíîâе большинстâà âременных и чàстотных метоäîâ ðàñ÷åòà линейных цепей, которые рàññìàò- ðèâàþòñÿ â послеäующих ãëàâàх. В отличие от линейных äля нелинейных цепей принцип суперпозиции неприменим и это обстоятельстâî ÷àсто служит критерием оценки линейности или нелинейности электрической цепи.

Для оценки линейности электрической цепи поäàäèì íà åå âõîä âîçäåéñòâèå x(t) â âèäå íàпряжения или токà (ðèñ. 1.18) è áóäåì íàáëþäàòü ðåàêöèþ y (t) íà âûõîäå. Åñëè ïðè âîçäåéñòâèè kx(t) (ãäå k âещестâенное число) реàêöèÿ ðàâíà ky (t), òî äàííàÿ öåïü áóäет линейной. Если тàкой пропорционàльности нет, то цепь яâ- ляется нелинейной.

Ìíîãие нелинейные цепи â режиме мàëûõ ñèãíàëîâ òàêæå ìîãóò ñ÷èòàться линейными и к ним может быть применен принцип суперпозиции. Все это сâèäетельстâóåò î ÷ðåçâû÷àéíî âàжном месте, который зàíèìàет принцип нàложения â теории электрических цепей.

Большàÿ ÷àñòü ðàäиотехнических устройстâ и систем относится к клàссу линейных цепей: это усилители, фильтры, корректоры, интеãðàòîðû, äифференциàòîðû, äðóãèå öåïè, ïðåäíàçíàченные äля линейной обрàботки сиãíàëîâ.  òî æå âремя имеется знàчи- тельное количестâо устройстâ, которые нельзя отнести к клàссу линейных цепей и äëÿ èõ àíàëèçà необхоäимо использоâàть специ- àльные метоäû (ñì. ãë. 10, 11, 15).

1.7. Теорема замещения

При обосноâàнии некоторых метоäîâ àíàëèçà электрических цепей используется теоремà çàмещения, которую можно сформулироâàòü ñëåäующим обрàçîì: çíàчение âñåõ òîêîâ è íàпряжений â цепи не изменится, если любую âåòâü öåïè ñ íàпряжением и и током i (ðèñ. 1.19, à) çàменить источником нàпряжения с зà-

äàþùèì íàпряжением uã = u (ðèñ. 1.19, á) или источником токà ñ çàäàющим током iã (ðèñ. 1.19, â).

34

(ðèñ. 1.19, á). Äëÿ ýòîãî âключим â âåòâü ñ R (ðèñ. 1.19, à) äâà источникà íàпряжения с зàäàþùèì íàпряжением u1 = u2 = Ri è íàïðàâленные нàâстречу äðóã äðóãó (ðèñ. 1.19, ã).

Приняâ потенциàë óçëà V0 = 0, íàéäем потенциàëû óçëîâ V3,

V3 = Ri, V2 = V3 − u2 = Ri − Ri = 0; V1 = V2 + u1 = Ri.

Òàêèì îáðàзом, потенциàë óçëà I â схеме рис. 1.19, à è â схеме

ðèñ. 1.19, ã îêàçûâàåòñÿ îäèíàêîâûì. À òàê êàê V2 = 0 è V0 = 0, òî çàêîðà÷èâàÿ èõ ìåæäу собой, прихоäим к схеме рис. 1.19, á, ÷òî

è äîêàçûâàет теорему. Анàëîãè÷íî äîêàçûâàется и теоремà çàмещения источником токà (ðèñ. 1.19, â).

Теоремà çàмещения спрàâåäëèâà êàк по отношению к линейным, тàк и нелинейным цепям, тàê êàê ïðè åå äîêàçàтельстâå íå íàêëà- äûâàåòñÿ íà âûäеленную âåòâü íèêàêèõ îãðàничений, кроме тоãî, ÷òî îíà обмениâàåòñÿ ýíåðãèåé ñ îñòàльной чàстью цепи только че- рез зàæèìû 1 0 с помощью токà i.

1.8. Теорема об активном двухполюснике

Теоремà îá àêòèâíîì äâухполюснике используется обычно â ñëó- ÷àå, êîãäà íàäî íàéòè ðåàêöèþ öåïè (òîê èëè íàпряжение) â îäíîé âåòâè. Ïðè ýòîì óäîáíî âñþ îñòàльную чàсть цепи, к которой поä- ключенà äàííàÿ âåòâü, ðàññìàòðèâàòü â âèäå äâухполюсникà (íà ðèñ. 1.20, à) ïîêàçàíà резистиâíàÿ âåòâü). Äâухполюсник нàçûâàþò àêòèâíûì, åñëè îí ñîäержит источники электрической энерãèè, è

ïàññèâíûì â протиâíîì ñëó÷àå. Íà рисункàõ àêòèâíûé äâухполюсник буäем обознà÷àòü áóêâîé À, à ïàññèâíûé Ï. Более поäробно опреäеление и общàя теория äâухполюсникоâ èçëàãàåòñÿ â ãë. 4.

35

Ðàçëè÷àþò äâå ìîäèôèêàции теоремы об àêòèâíîì äâухполюснике: теоремà îá ýêâèâàлентном источнике нàпряжения (теоремà Òåâåíèíà) и теоремà îá ýêâèâàлентном источнике токà (теоремà Нортонà).

Теорема об эквивалентном источнике напряжения. Ñîãëàсно теореме Теâåíèíà òîê â любой âåòâи линейной электрической цепи не изменится, åñëè àêòèâíûé äâухполюсник, к которому поä- ключенà äàííàÿ âåòâü, çàменить экâèâàлентным источником (ãåíåðàтором) íàпряжения с зàäàþùèì íàпряжением, ðàâíûì íàпряжению холостоãî õîäà íà çàæèìàõ ðàзомкнутой âåòâè è âнутренним сопротиâлением, ðàâíûì ýêâèâàлентному âõîäному сопротиâлению пàññèâíîãî äâухполюсникà со стороны рàзомкнутой âåòâè (ðèñ. 1.20, á).

Äëÿ äîêàçàтельстâà этой теоремы преäположим, что цепь не со- äержит зàâисимых источникоâ. Òîãäà, ðàзомкнуâ âåòâь с элементом R, îïðåäåëèì ðàсчетным или экспериментàльным путем нàпряжение холостоãî õîäà uxx (ðèñ. 1.21, à). Çàòåì âключим â ýòó âåòâü íàâстречу äðóã äðóãó äâà источникà íàпряжения с зàäàþùèì íà- пряжением uã = uxx (ðèñ. 1.21, á). Òîê â âåòâè ñ R ïðè ýòîì (ðèñ. 1.21, á) не изменится по срàâнению с током i â èñõîäной схеме (рис. 1.20, à). Результирующий ток â âûäеленной âåòâè íàé- äåì â ñîîòâåòñòâии с принципом нàложения: i = iA + i1 + i2, ãäå iA ÷àстичный ток, обуслоâленный àêòèâíûì äâухполюсником; i1 ток, обуслоâленный äåéñòâием источникà uã1; i2 ток, обуслоâленный äåéñòâием источникà uã2. Îäíàêî íàпряжение àê- òèâíîãî äâухполюсникà è çàäàþùåå uã2 äåéñòâóåò íàâстречу äðóã äðóãу, поэтому iA + i2 = 0. Ñëåäîâàтельно, ток â öåïè i = i1 áóäåò

36

обуслоâлен только äåéñòâием источникà ñ uã1 = uxx (ñì. ðèñ. 1.20, á). ×àстичный ток i1 может быть нàéäен, если положить âñå çàäàþùèå íàпряжения и токи àêòèâíîãî äâухполюсникà ðàâ- ными нулю. Получиâшийся при этом пàññèâíûé äâухполюсник полностью хàðàктеризуется сâîèì ýêâèâàлентным сопротиâлением Rý = Rã относительно âûäеленных зàæèìîâ. Òàêèì îáðàзом, прихоäим к схеме, изобрàженной нà ðèñ. 1.20, á и теоремà äîêàçàíà.

Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона):

òîê â любой âåòâи линейной электрической цепи не изменится, åñëè àêòèâíûé äâухполюсник, к которому поäключенà äàííàÿ âåòâü, çàменить экâèâàлентным источником токà ñ çàäàющим током, ðàâным току короткоãî çàìûêàíèÿ ýòîé âåòâè, è âнутренней проâîäимостью, ðàâíîé ýêâèâàлентной âõîäíîé ïðîâîäи- мости со стороны рàзомкнутой âåòâè (ñì. ðèñ. 1.20, â).

Äîêàçàтельстâо этой теоремы проще âñåãо осущестâить путем преобрàçîâàíèÿ ýêâèâàлентноãо источникà íàпряжения (см. рис. 1.20, á) â ýêâèâàлентный источник токà (ðèñ. 1.20, â) ñ ïàðà- ìåòðàìè

ãäå iêç ток короткоãî çàìûêàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé âåòâè.

Èç (1.33) ñëåäует формулà, которую можно положить â îñíîâу экспериментàëüíîãî îïðåäеления пàðàметроâ ïàññèâíîãî äâухполюсникà:

Теоремà îá àêòèâíîì äâухполюснике сущестâенно упрощàåò ðàсчет сложной цепи, тàê êàê ïîçâоляет ее преäñòàâèòü â âèäе простейшей схемы экâèâàлентноãо источникà íàпряжения или токà с конечным âнутренним сопротиâлением Rã èëè âнутренней проâî- äимостью Gã. В отличие от иäåàльных источникоâ íàпряжения и токà (ñì. § 1.2) íàпряжение и ток этих источникоâ çàâисят от сопротиâления R âåòâè.

Теоремà îá àêòèâíîì äâухполюснике спрàâåäëèâà è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà послеäíèé ñîäержит зàâисимые источники с оãðàниченными зàäàющими нàпряжениями и токàìè. Ïðè ýòîì ïðè íàõîæäåíèè ïàðàметроâ ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà ñëåäует положить рàâíûìè íóëþ çàäàþùèå íàпряжения и токи лишь незàâисимых источникоâ.

1.9. Принцип дуальности

Àíàëèç óðàâнений äëÿ íàпряжений и токоâ, полученных â ïðå- äûäóùèõ ðàçäåëàõ, ïîçâоляет сформулироâàòü âàжный принцип теории электрических цепей принцип äóàльности (äâîéñòâенности). Этот принцип ãëàñèò: åñëè äëÿ äàнной электрической цепи

37

Òàáëèöà 1.2