Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdf
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
||||||||||
|
|
i1 |
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
i2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
L1 |
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
L2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|||||
Ðèñ. 3.18
i |
R1 |
|
L1 |
|
|
|
i |
R1 |
|
L1 |
|
u |
R2 |
|
|
M |
|
|
u |
R2 |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
L2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a) |
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
Ðèñ. 3.19
После поäñòàíîâêè (3.73) â (3.71) с учетом (3.72) получим äля коэффициентà ñâÿçè
k = M |
L1L2 |
, |
(3.74) |
ãäå Ì12 = Ì21 = Ì.
Çíàчение k изменяется â ïðåäåëàх от 0 (отсутстâèå ñâÿçè) äî 1 (жесткàÿ èëè ïîëíàÿ ñâÿçü). Èíäóêòèâíàÿ ñâязь сущестâенным обрàçîì çàâèñèò îò потокоâ ðàссеяния Ô1s è Ô2s, поэтому степень сâÿçè èíîãäà õàðàктеризуют коэффициентом рàссеяния σ2 = 1 k2. Äëÿ êîìïàктности и уäîáñòâà изобрàжения схем электрических цепей с âçàимной инäóêòèâностью ââîäят понятие îäноименных зàæèìîâ. Послеäними принято нàçûâàть узлы, относительно которых оäèíàêîâо ориентироâàííûå òîêè ñîçäàþò ñêëàäûâàющиеся потоки сàìî- è âçàимоинäукции. Нà ðèñ. 3.18 ñõåìàтично изобрà- æåíû îäноименные зàæèìû äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî è âстречноãî âключений кàтушек L1 è L2. Ñëåäîâàтельно, äëÿ îïðåäеления âè- äà âключения L1 è L2 íà схеме äîñòàточно опреäелить, кàк ориентироâàíû òîêè i1 è i2 относительно оäноименных зàæèìîâ (íà рис. 3.18 обознàчены точкой): при оäèíàêîâой ориентàции имеем соãëàñíîå (ðèñ. 3.18, à), à ïðè ðàçíîé âстречное âключение (рис. 3.18, á).
Ó÷åò âçàимной инäóêòèâности сущестâåííî âлияет нà резуль- тàòû àíàëèçà электрических цепей. Рàссмотрим послеäîâàтельное и пàðàллельное соеäинение инäóêòèâíî-ñâÿçàííûõ êàтушек с инäóêòèâностями L1 è L2 и потерями R1 è R2, íàõîäящихся поä äåéñòâèåì ãàрмоническоãî íàпряжения:
u = Um sin ( ωt + ϕu ) |
(3.75) |
Последовательное соединение. Äëÿ ñîãëàñíîãî âключения кà- тушек (см. рис. 3.19, à) â ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÍÊ è óðàâнениями (3.66) и (3.67) можно зàïèñàòü:
91
j |
|
|
|
|
j |
UM |
UL2 |
|
|
|
UM |
|
|
|
|||
|
|
|
|
UM |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
UL2 |
|
|
U2 |
|
|
U |
|
|
UR2 |
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
UR2 |
|
|||
|
|
U |
M |
|
|
|
||
|
|
|
I |
ϕýâU1 |
UL1 |
|
||
ϕ |
|
L1 |
|
|
|
I |
||
U1 |
|
|
|
|
||||
ϕuýñ |
ϕi UR1 |
|
|
ϕu ϕi UR1 |
|
|||
|
|
a) |
|
|
+ |
á) |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.20 |
|
|
|
u = uR |
+ uL |
+ uM |
+ uL |
+ uM + uR |
2 |
= |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
(3.76) |
||
= ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 + 2M )di dt. |
||||||||
|
||||||||
В комплексной форме урàâнение (3.76) соãëàñíî § 3.6 çàпишется â
âèäå
|
U |
= ( R1 + R2 ) I + jw( L1 + L2 + 2M ) I. |
(3.77) |
||
Обознàчим через Z комплексное экâèâàлентное сопротиâление |
|||||
âñåé öåïè ïðè ñîãëàñíîì âключении кàтушек |
|
||||
ãäå |
|
Zýñ = Rý + jωLýñ , |
(3.78) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rý = R1 + R2; Lýñ = L1 + L2 + 2M . |
(3.79) |
||
Òîãäà óðàâнение (3.77) можно зàïèñàòü â âèäå |
|
||||
|
|
|
U |
= Zýñ I , |
(3.80) |
|
|
|
|||
îòðàæàþùåì çàêîí Îìà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè.
Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäу током i и приложенным нàпряжением è
jýñ = ju - ji = arctg (wLýñ Rý ). |
(3.81) |
Íà ðèñ. 3.20, à изобрàæåíà âекторно-топоãðàфическàÿ äèàãðàì- ìà íàпряжений нà îòäельных элементàõ öåïè ïðè ñîãëàñíîì âêëþ-
чении L1 è L2.
Комплексное нàпряжение нà êàтушке L1 с потерями R1 ðàâíî
U |
|
= é R + jw (L + M) ù I . |
(3.82) |
|||
|
|
1 |
ë 1 |
1 |
û |
|
|
|
|
||||
Àíàëîãè÷íî îïðåäеляется комплексное нàпряжение нà âторой кà- тушке L2 с потерями R2:
U |
|
= é R + jw (L |
|
+ M) ù I. |
(3.83) |
|
|
|
2 |
ë 2 |
2 |
û |
|
|
|
|
||||
Ïðè âстречном âключении кàтушек (см. рис. 3.19, á) óðàâнения (3.76) и (3.77) принимàþò âèä
92
|
u = uR |
+ uL |
− uM + uL |
+ uR |
2 |
− uM = |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
(3.84) |
|||
|
|
= ( R1 + R2 )i + ( L1 + |
L2 - |
2M ); |
||||
|
|
|
||||||
|
U |
= ( R1 + R2 ) I + jw( L1 + L2 - 2M ) I . |
(3.85) |
|||||
Комплексное экâèâàлентное сопротиâление цепи при âстреч-
íîì âключении |
|
Zýâ = Rý + jω Lýâ , |
(3.86) |
ãäå |
|
Lýâ = L1 + L2 − 2M |
(3.87) |
ýêâèâàлентнàÿ èíäóêòèâность цепи при âстречном |
âключении |
êàтушек инäóêòèâности. |
|
Êàê ñëåäóåò èç (3.78) è (3.87) ýêâèâàлентнàÿ èíäóêòèâность при соãëàñíîì âключении больше нà 2Ì, à ïðè âстречном меньше нà
2Ì ñóììàðíîé èíäóêòèâности L1 + L2.
Óðàâнения äëÿ òîêà I, ôàçîâîãî ñäâèãà jýâ è íàпряжений U1,
U2 àíàëîãè÷íû (3.80) (3.83): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
U |
= Zýâ I; |
jýâ = ju - ji = arctg (wLýâ |
Rý), |
|
|
ü |
(3.88) |
||||||||
U |
|
= [R + jw (L |
|
- M)] I; U |
|
= [R |
|
+ jw (L |
|
- M)] I. |
ý |
|||||
|
|
|
|
|
þ |
|
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Íà ðèñ. 3.20, á изобрàæåíà âекторно-топоãðàфическàÿ äèàãðàì- ìà íàпряжений äëÿ ñëó÷àÿ âстречноãî âключения. При âстречном âключении кàтушек может нàáëþäàться «емкостный эффект», ко- ãäà ôàçîâûé ñäâèã ìåæäу током и нàпряжением оäíîé èç êàтушек буäет отрицàтельный. Это может иметь место при âыполнении услоâèÿ L2 < M.  ýòîì ñëó÷àå UL2 < UÌ è
j2ýâ = arctg[w(L2 - M) R2] < 0 |
(3.89) |
è íàпряжение U2 áóäåò îòñòàâàòü îò òîêà I. Îäíàêî âñÿ öåïü âñå- ãäà áóäет носить инäóêòèâíûé õàðàêòåð, òàê êàк при любых знà÷å- íèÿõ ïàðàметроâ L1, L2 è Ì ñïðàâåäëèâî óñëîâèå
j ýâ = arctg[w(L1 + L2 - 2M) Rý] > 0 . |
(3.90) |
|||||||
Это непосреäñòâåííî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè k = M |
|
|
|
> 0, |
||||
|
|
L1L2 |
||||||
L1 + L2 2M > 0. Дейстâительно, поскольку ( |
L |
- |
L |
)2 > 0, òî |
||||
L1 + L2 > 2 L1L2 . Íî èç (3.74) íàõîäèì, ÷òî M |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
L1L2 |
(òàê êàê |
||||||
k l), ñëåäîâàтельно, L1 + L2 > 2M îòñþäà è ñëåäóåò óñëîâèå |
||||||||
(3.90). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Óðàâнения (3.79) и (3.87) можно положить â îñíîâу экспериментàëüíîãî îïðåäеления âçàимной инäóêòèâности Ì. Äëÿ ýòîãî äîñòàточно опреäелить ток I, íàпряжение U, мощность Ð â öåïè ïðè ñîãëàñíîì è âстречном âключениях кàтушек и нàéòè
Rý = Pc 
Ic2 = Pâ 
Iâ2 ; Zýñ = U
Ic ; Zýâ = U
Iâ ,
93
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
u |
R1 |
M |
|
R2 |
|
u |
|
R1 |
M |
|
R2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
L2 |
|
|
L1 |
|
|
L2 |
||
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i1 |
|
|
i2 |
|
|
|
i1 |
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) |
|
|
|
á) |
|
|
|
||||
Ðèñ. 3.21
ãäå èíäåêñû «ñ» è «â» относятся к соãëàсному и âстречному âклю- чениям.
Ðåàêòèâíûå ñîñòàâляющие комплексных сопротиâлений при со- ãëàñíîì è âстречном âключениях можно опреäелить кàê
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
ýñ |
= Z2 |
- R2 |
; X |
ýâ |
= Z2 |
- R2 . |
|||
|
|
ýñ |
ý |
|
|
ýâ |
ý |
|||
Îòñþäà, учитыâàÿ, ÷òî Xýñ |
= ω(L1 + L2 + 2M) è Xýâ = ω(L1 + L2 − 2M), |
|||||||||
íàõîäèì âçàимную инäóêòèâность: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
M = (Xýñ - Xýâ) 4w . |
(3.91) |
|||||||
Параллельное соединение. Äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî âключения кàтушек (рис. 3.21, à) â ñîîòâåòñòâии с ЗТК и ЗНК можно зàïè- ñàòü:
|
I = I |
1 |
+ I |
, |
ü |
|
|
|
U |
|
2 |
|
ï |
|
|
|
= I1Z1 + I2 Z12, |
ý |
(3.92) |
||||
|
U |
|
|
|
|
ï |
|
|
= I1Z21 + I2 Z22,þ |
|
|||||
|
|
||||||
ãäå Z1 = R1 + jwL1; Z2 = R2 + jwL2; Z12 = Z21 = jwM .
Ðåøàя систему (3.92) относительно I1 è I2, получàåì
I |
|
= U / (Z |
Z |
|
- Z2 |
) (Z |
|
- Z |
|
); |
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
12 |
|
2 |
|
12 |
|
(3.93) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I2 = |
U |
/ (Z1Z2 - Z122 ) (Z1 - Z12). |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
Âûðàжения, стоящие â çíàìåíàтелях (3.93), имеют смысл экâè- âàлентных комплексных сопротиâлений инäóêòèâíî ñâÿçàííûõ âåòâåé Z1ýc è Z2ýc:
Z |
1ýñ |
= (Z |
Z |
2 |
- Z2 |
) (Z |
2 |
- Z |
12 |
); |
(3.94) |
|
1 |
|
12 |
|
|
|
|||||
Z2ýñ = (Z1Z2 - Z122 ) (Z2 - Z12). |
|
||||||||||
Эти сопротиâления склàäûâàþòñÿ èç äâóõ ñîñòàâляющих: собст- âенных сопротиâлений âåòâåé Z1 è Z2 и сопротиâлений, âносимых зà ñ÷åò èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé Z1âíñ è Z2âíñ:
Z1ýñ = Z1 + Z1âí ñ; Z2ýñ = Z2 + Z2 âí ñ . |
(3.95) |
94
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
UÌ2 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
UÌ1 |
||
|
U |
UÌ1 |
Ì2 |
|
|
|
|
||||
|
|
I1 |
|
UL2 |
|
U |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
I1 |
||
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
UR1 |
U |
L2 |
|
I |
|
ϕ |
UR1 |
|
I |
0 |
ýñ |
|
|
+ |
0 |
ýâ |
|
|
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
UR2 |
|
|
|
|
|
UR2 |
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
a) |
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.22 |
|
|
|
|
|
Комплексные âносимые сопротиâления Z1âíñ è Z2âíñ можно опреäелить, решиâ ñîâместно (3.94) и (3.95):
2 |
ü |
|
Z1âí ñ = (Z1Z12 - Z12) (Z2 |
- Z12),ï |
(3.96) |
Z2 âí ñ = (Z2 Z12 - Z122 ) (Z1 |
ý |
|
- Z12).ï |
|
|
|
þ |
|
Òîê â íåðàçâåòâленной чàñòè öåïè I с учетом (3.93)
I = U
Zýñ ,
ãäå
Zýñ = (Z1Z2 - Z122 ) (Z2 + Z2 - 2Z12). |
(3.97) |
Нетруäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àе отсутстâèÿ èíäóêòèâíîé |
ñâÿçè |
(Z12 = Z21 = 0) ýêâèâàлентное комплексное сопротиâление цепи
Zýñ = Z1Z2/(Z1 + Z2), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èçâестной формуле пàðàл- лельноãî ñîåäинения Z1 è Z2.
Íà ðèñ. 3.22, à изобрàæåíà âекторно-топоãðàфическàÿ äèàã- ðàììà äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî âключения L1 è L2. Àíàëîãичным об- рàзом можно получить соотâåòñòâующие урàâнения äëÿ âстречноãî âключения кàтушек (см. рис. 3.21, á). При этом необхоäимо учесть, что â óðàâнениях переä ñëàãàемыми с Z12 è Z21 необхоäèìî çàменить знàê íà протиâоположный. Тàê, óðàâнения (3.94), (3.96), (3.97) принимàþò âèä
Z |
1ýâ |
= (Z |
Z |
2 |
- Z2 ) (Z |
2 |
+ Z |
12 |
); |
(3.98) |
|
|
1 |
|
12 |
|
|
||||||
Z2ýâ = (Z1Z2 - Z122 ) (Z1 + Z12); |
|
||||||||||
Z1âí â = - (Z1Z12 + Z122 ) (Z2 + Z12); |
(3.99) |
||||||||||
Z2 âí â = - (Z2 Z12 + Z122 ) (Z1 + Z12); |
|||||||||||
|
|||||||||||
Zýâ = (Z1Z2 - Z122 ) (Z1 + Z2 + 2Z12). |
(3.100) |
||||||||||
Íà ðèñ. 3.22, á изобрàæåíà âекторно-топоãðàфическàÿ äèàãðàì- ìà äëÿ ñëó÷àÿ âстречноãî âключения.
95
Èç óðàâнений (3.94), (3.98) нетруäíî íàéòè ýêâèâàлентные ин- äóêòèâности âåòâåé:
L1ý |
= (L1L2 - M2) (L2 |
m M); |
(3.101) |
|
L2ý = (L1L2 - M2) (L1 m M), |
||||
|
||||
ãäå çíàк « » относится к соãëàсному, à «+» ê âстречному âклю- чению инäóêòèâíî ñâÿçàнных элементоâ.
3.8. Особенности анализа индуктивно связанных цепей
Ïðè ðàсчете инäóêòèâíî ñâÿçàнных цепей обычно используют зàêîíû Êèðõãîôà è ìåòîä контурных токоâ. Äðóãèå ìåòîäы либо нецелесообрàзно использоâàòü èç-çà ãромозäкости решения, либо нельзя применять âñëåäñòâèå íàличия инäóêòèâíîé ñâÿçè (ìåòîäû óçëîâых потенциàëîâ, ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà). Äëÿ òîãо чтобы можно было использоâàòü âñå ðàссмотренные рàíåå ìåòîäû ðàñ÷å- òà, применяют «рàçâÿçêó» èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé. Ðàссмотрим сущность этих метоäîâ íà примере цепи, схемà которой изобрàæåíà íà ðèñ. 3.23.
Расчет по законам Кирхгофа. Ñîñòàâèì óðàâнения по ЗТК и ЗНК, â комплексной форме:
I1 = I2 + I3, |
ü |
|
(R1 + jwL1)I1 + jwM13 I3 - jwM12 I3 + |
ï |
|
|
ï |
(3.102) |
+ (R2 + jwL2)I2 - I1jwM12 = Uã1 - Uã2,ý |
||
-(R2 + jwL2)I2 + jwM12 I1 + (R3 + jwL3 + |
ï |
|
+1 jwC3)I3 + jwM13 I1 = Uã2. |
ï |
|
þ |
|
|
Ïðè ñîñòàâлении урàâнений по ЗНК необхоäимо пользоâàòüñÿ ñëåäующим прàâèëîì çíàêîâ: íàпряжение âçàимоинäукции, созäà- âàåìîå â k-é âåòâè îò òîêà, протекàþùåãî â l-é âåòâи, берется со знàêîì «+», åñëè íàïðàâление обхоäà k-é âåòâи и положительное нàïðàâление токà â l-é âåòâè îäèíàêîâо ориентироâàно относительно оäноименных зàæèìîâ. В протиâíîì ñëó÷àе берется знàê « ».
Ðåøàя систему (3.102), получàем искомые токи I1, I2 è I3. Метод контурных токов. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì (ñì.
§ 2.4) è ïðàâèëîì çíàêîâ óðàâнения äля контурных токоâ Iê1 è Iê2 (см. рис. 3.23) принимàþò âèä
(Z |
|
- 2Z |
|
)I |
|
+ (Z |
|
+ Z |
|
- Z |
)I |
|
= U ,ü |
|
|||||
|
11 |
|
12 |
|
ê1 |
|
13 |
|
12 |
2 |
|
|
ê2 |
|
|
ê1 |
ý |
(3.103) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(Z13 + Z12 - Z2)Iê1 + Z22 Iê2 = |
U |
ê2, |
|
|
|
þ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ãäå Z11 |
= R1 + R2 + jω (L1 + L2); Z22 = R2 + R3 + jω (L2 + L3) + 1 jωC3 ; |
||||||||||
Z2 |
= R2 + jωL2; Z12 = jωM12; Z13 = jωM13; |
U |
ê1 = |
U |
ã1 − |
U |
ã2; |
||||
|
|
U |
ê2 = |
U |
ã2. |
||||||
|
|
|
|||||||||
96
Ðåøàя систему (3.103), нàõîäèì |
|
|
|
L1 |
M13 |
L3 |
I3 |
|||||||
контурные токи Iê1 è Iê2, à çàòåì |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
òîêè âåòâåé I1 = Iê1; I2 = Iê1 Iê2; |
|
|
|
|
|
I1 |
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I3 = Iê2. |
|
R1 |
M12 |
|
|
L2 |
|
|
|
R3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ðàссмотренные метоäы можно |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
обобщить нà схемы произâольной |
|
+ |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
конфиãóðàöèè. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Развязка индуктивных связей. |
|
Uã |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
Uã2 |
|
|
3 |
|||||
Ðàñ÷åò èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öå- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пей сущестâенно упрощàåòñÿ, åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
использоâàòü ýêâèâàлентные схемы, |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.23 |
|
|
|
|
||||
íå ñîäåðæàùèå â ÿâíîì âèäå èíäóê- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òèâíûå ñâÿçè. Ñîñòàâление поäобных экâèâàлентных схем и состàâляет сущность метоäà «ðàçâÿçêè» èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé. Ïðè ýòîì ýêâèâàлентные сâязи учитыâàþòñÿ â ýêâèâàлентных инäóêòèâностях рàçâÿçàнных схем. Примером поäобной рàçâÿçêè ìîãут служить экâèâàлентные инäóêòèâности, опреäеляемые урàâнениями (3.79), (3,87), (3.101).
В общем случàå ðàçâязку любых äâóõ èíäóêòèâíî ñâÿçàнных элементоâ L1 è L2, ñîåäиненных â îäíîì óçëå (ðèñ. 3.24, à) можно осущестâить с помощью схемы, изобрàженной нà ðèñ. 3.24, á äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà элементы L1 è L2 ñîåäинены â óçëå 0¢ îäноименными зàæèìàми (Ч) и с помощью схемы нà ðèñ. 3.24, â äëÿ ñîåäинения L1 è L2 â óçëå 0¢ ðàзноименными зàæèìàìè (D). Äëÿ äîêà- çàтельстâà ýêâèâàлентности этих схем äîñòàточно состàâèòü óðàâ- нения по зàêîíàì Êèðõãîôà äëÿ êàæäîé èç íèõ è äîêàçàòü èõ èäентичность. Дейстâительно, äëÿ ñëó÷àÿ âключения оäноименными зàæèìàìè äля схемы нà ðèñ. 3.24, à имеем:
|
U |
à0 |
= jwL1I1 + jwMI2, ü |
(3.104) |
|||
|
|||||||
U |
|
= jwMI |
|
+ jwL I . |
ý |
||
|
|
á0 |
|
1 |
2 2 |
þ |
|
|
|
|
|
||||
Äëÿ ðàçâязной схемы нà ðèñ. 3.24, á имеем:
à |
|
|
á |
à |
|
|
á |
à |
á |
|
|
L1-M12+M13 |
|
|
L3+M12+M13 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
I2 |
|
|
I3 |
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
L2 |
|
L1-M L2-M L1+M L2+M |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
I2 |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
L2 -M12 |
+M13 |
R3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
I1 0′ |
|
|
|
I1 0′ |
|
I2 |
|
|
I1 0′ |
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
-M |
|
|
Uã |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
C |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uã2 |
|
|
|
3 |
|||
0 |
|
I |
|
|
0 |
|
I |
|
|
|
|
0 |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
à) |
|
|
á) |
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.25 |
|
|
|
|
|
||||||||||
97
|
U |
à0 = jw (L1 - M)I1 + jwMI, ü |
(3.105) |
||||
U |
|
= jw (L - M)I |
|
+ jwMI. |
ý |
||
|
|
á0 |
2 |
2 |
|
þ |
|
|
|
|
|
||||
Учитыâàÿ, ÷òî I1 = I I2 è I2 = I I1 после поäñòàíîâêè I1 è I2 â (3.104) получàåì óðàâнения, àíàëîãичные (3.105). Поäобным
æå îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàлентность и âторой схемы при âключении L1 è L2 ðàзноименными зàæèìàìè.
 êà÷åñòâе примерà íà рис. 3.25 изобрàæåíà ñõåìà ñ ðàçâÿçàí- íûìè èíäóêòèâíûìè ñâязями, экâèâàлентнàя изобрàженной нà рис. 3.23. После рàçâÿçêè èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ðàсчет полученной экâèâàлентной схемы может быть осущестâлен любым из изâестных метоäîâ.
Íàличие инäóêòèâíûõ ñâÿçåé ïðèâîäит к изменению мàтрицы сопротиâления Zâ è ïðîâîäимости Yâ. Èç äèàãîíàльных мàòðèö îíè ïðåâðàùåíû â êâàäðàòíûå ìàтрицы, по äèàãîíàли которых зà- ïèñûâàются собстâенные комплексные сопротиâления или про- âîäимости âåòâåé, à íà пересечении k-й строки и l-ãо столбцà çà- ïèñûâàются сопротиâления или проâîäимости âçàимной сâÿçè ìå- æäó k-é è l-é âåòâÿìè ñî çíàêîì «+» ïðè ñîãëàñíîì âключении и со знàêîì « » ïðè âстречном.
Åñëè öåïü óäîâëåòâоряет услоâèþ âçàимности (см. § 2.4), то
Zkl = Zlk, Ykl = Ylk è ìàòðèöà áóäет симметричнà относительно ãëàâíîé äèàãîíàëè.
Íàпример, мàòðèöà сопротиâлений цепи, изобрàженной нà рис. 3.23, имеет âèä
Zâ = |
|
Z1 |
-Z12 Z13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
-Z21 |
Z2 |
0 |
|
|
|
, |
|
|
|
Z31 |
0 |
Z3 |
|
|
|
|
ãäå Z1 = R1 + jwL1; Z2 = R2 + jwL2; Z3 = R3 + j (wL3 - 1
wC3);
Z12 = Z21 = jwM12; Z13 = Z31 = jwM13.
3.9. Трансформатор
Òðàнсформàтором íàçûâàåòñÿ ñòàтическое устройстâî, ïðåäíà- çíàченное äля преобрàçîâàíèÿ çíàчений переменных нàпряжений и токоâ. Простейший трàнсформàтор состоит из äâóõ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ êàтушек с инäóêòèâностями L1 è L2, ðàсположенных нà общем серäечнике. Кàòóøêà, к которой поäêëþ÷àется источник, нàçûâàþò ïåðâичной, à к которой поäêëþ÷àþò íàãрузку âторич- ной. Ñåðäечник может быть âыполнен из ферромàãнитноãо или неферромàãнитноãî ìàòåðèàëà. Примером трàнсформàòîðà послеä- íåãî òèïà ÿâляется âîçäушный трàнсформàòîð, íàõîäящий широкое применение â технике сâязи, измерительных приборàõ, ðàз- личных рàäиотехнических устройстâàõ.
98
Воздушный |
трансформатор. |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
i1 |
M |
R2 |
i2 |
||||||||||||||||||
Íà рис. 3.26 изобрàæåíà ñõåìà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
простейшеãî âîçäóøíîãî òðàíñ- |
|
|
|
u1 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ôîðìàòîðà с потерями â ïåðâè÷- |
|
|
|
L1 |
|
|
L2 |
II |
Zí |
u2 |
|||||||||||||||||||||
íîé R1 è âторичной R2 êàòóøêàõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(обмоткàõ), íàãруженноãî íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
комплексное сопротиâление |
Zí = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.26 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= Rí + jÕí. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ñîñòàâèì óðàâнение трàнсформàòîðà ïî ÇÍÊ äëÿ I è II êîí- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
òóðîâ: |
|
|
|
|
|
|
1 = Z11I1 |
- Z12 I2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.106) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 = -Z12 I1 |
+ Z22 I2,} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z11 = R11 + jX11 = R1 + jwL1; Z12 = jX12 = jwM,ü |
(3.107) |
||||||||||||||||||||||||||||||
Z22 = R22 + jX22 = (R2 + Rí) + j (wL2 + Xí). |
ý |
||||||||||||||||||||||||||||||
þ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Из системы урàâнений (3.106) слеäóþò óðàâнения äëÿ òîêîâ I1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
è I2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = |
|
|
|
U |
1 |
|
; |
I2 = |
|
U |
1Z12 Z11 |
. |
|
|
(3.108) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Z11 - Z122 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Z22 |
|
|
|
|
Z22 - Z122 Z11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ïî àíàëîãèè ñ (3.93) ââåäем понятие âносимых сопротиâлений: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
1âí |
= -Z2 |
Z ; |
Z |
2âí |
= -Z2 |
Z |
11 |
. |
|
|
|
(3.109) |
||||||||||||||||||
|
12 |
22 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Òîãäà óðàâнения (3.108) можно переписàòü ñëåäующим обрàçîì:
I1 |
= |
|
|
U |
1 |
; I2 |
= |
|
U |
1Z12 Z11 |
. |
(3.110) |
|
|
|
||||||||||
Z11 |
|
+ Z1âí |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Z22 + Z2âí |
|
|||||
Óðàâнениям (3.110) соотâåòñòâóþò îäноконтурные схемы зà- мещения âîçäóøíîãî òðàнсформàòîðà, изобрàженные нà ðèñ. 3.27. Çíàчения âеличин R1âí è X1âí, R2âí è X2âí îïðåäеляются из (3.109) с учетом (3.107):
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
||||
|
R1âí = |
|
|
|
12 |
|
R22; |
R2âí = |
|
|
|
|
12 |
|
|
R11; |
(3.111) |
||||||
|
|
R2 |
+ X2 |
R2 |
|
+ X2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
22 |
22 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|||||||
I1 R11 |
X11 |
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
R22 |
|
X22 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R1âí |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2âí |
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
Z12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
X1âí |
|
|
Z11 |
|
|
|
|
|
|
|
X2âí |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.27
99
I1 R1 L1 -M |
|
L2--M I2 R2 |
|
|
|
I1 R1 |
|
|
|
|
|
R2 I2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
L2 |
|
|
|
U2 |
||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U1 |
|
Zí |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
U1 |
|
|
|
+ |
|
Zí |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Hz I2 |
|
|
|
|
|
Hz I1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.28 Ðèñ. 3.29
X1âí = − |
X2 |
|
X2âí = − |
X2 |
|
|
||
|
12 |
X22; |
|
12 |
X11. |
(3.112) |
||
R2 |
+ X2 |
R2 |
+ X2 |
|||||
22 |
22 |
|
11 |
11 |
|
|
||
Çíàê « » â óðàâнениях (3.112) сâèäетельстâóåò î ðàçìàãíè- ÷èâàþùåì äåéñòâèè âторичной обмотки нà ïåðâичную.
С физической точки зрения R1âí è R2âí ïðåäñòàâляют собой эк- âèâàлентные резистиâные сопротиâления, âносимые зà ñ÷åò âçà- имной инäóêòèâности соотâåòñòâåííî â контуры I и II.
Ïðè ýòîì íà R1âí при протекàíèè òîêà I1 ðàññåèâàåòñÿ òà же мощность, что и нà R2 при протекàíèè òîêà I2 è ñîîòâåòñòâåííî íà R2âí при протекàíèè I2 ðàññåèâàåòñÿ òà же мощность, что и нà R1 при протекàíèè I1.
Âîçäушный трàнсформàтор может быть преäñòàâëåí äâухконтурной схемой зàмещения, изобрàженной нà ðèñ. 3.28. Ýòà ñõåìà получàется непосреäñòâенно из схемы, изобрàженной нà рис. 3.26 после объеäинения â îäèí óçåë îäноименных зàæèìîâ è ðàçâÿçêè èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ñîãëàñíî ðèñ. 3.24. Òàêèì, îáðàçîì, äëÿ îïðå- äеления токоâ â âîçäушном трàнсформàòîðå ìîãут быть использоâàíû îäнолибо äâухконтурные экâèâàлентные схемы зà- мещения.
Åñëè â óðàâнениях (3.107) обознà÷èòü Z12 = jωM = Hz, òî âîç- äушный трàнсформàтор можно преäñòàâить схемой зàмещения с
çàâисимыми источникàìè (ðèñ. 3.29).
Из общих урàâнений äля комплексных токоâ I1 è I2 с учетом (3.106), (3.107) можно нàйти отношение комплексных токоâ è íà- пряжений â âîçäушном трàнсформàòîðå:
|
|
|
|
|
|
I1 I2 |
= (Z2 |
+ Zí) Z12 ; |
|
|
|
|
(3.113) |
|||||
U |
|
U |
|
= [(Z |
|
+ Z |
|
)Z |
|
− Z2 |
] (Z |
|
Z |
|
), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
í |
|
11 |
12 |
|
í |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ãäå U2 = ZíI2.
Èç óðàâнения (3.113) слеäует, что отношение кàк комплексных токоâ, òàê è íàпряжений â âîçäушном трàнсформàторе с потерями зàâисит от сопротиâления нàãрузки Zí.
 ñëó÷àе отсутстâия потерь (R1 = R2 = 0) имеем:
I1 I2 = Zí Z12 + 1 kòð; |
U |
1 |
U |
2 = kòð , |
(3.114) |
|
|
100