Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Максимальные, минимальные, наибольшие и наименьшие элементы ч. у. м.

Например, для отношения для P(X) минимальным и наименьшим является элемент , максимальным и наибольшим является элемент f1;2;3g

Легко проверить, что других минимальных и максимальных элементов нет

Предложение 3.1

Если в частично упорядоченном множестве

(A;4) существует наименьший (наибольший) элемент, то он единствинен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x и y наименьшие элементы,

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Максимальные, минимальные, наибольшие и наименьшие элементы ч. у. м.

Например, для отношения для P(X) минимальным и наименьшим является элемент , максимальным и наибольшим является элемент f1;2;3g

Легко проверить, что других минимальных и максимальных элементов нет

Предложение 3.1

Если в частично упорядоченном множестве

(A;4) существует наименьший (наибольший) элемент, то он единствинен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x и y наименьшие элементы, тогда в силу определения x 4 y и y 4 x.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Максимальные, минимальные, наибольшие и наименьшие элементы ч. у. м.

Например, для отношения для P(X) минимальным и наименьшим является элемент , максимальным и наибольшим является элемент f1;2;3g

Легко проверить, что других минимальных и максимальных элементов нет

Предложение 3.1

Если в частично упорядоченном множестве

(A;4) существует наименьший (наибольший) элемент, то он единствинен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x и y наименьшие элементы, тогда в силу определения x 4 y и y 4 x. В силу антисимметричности из этой пары неравенств вытекает x = y.#

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Пример ч. у. м. с более чем одним элементом минимальным элементом

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Пример ч. у. м. с более чем одним элементом минимальным элементом

Пусть X = f1;2;3g. Рассмотрим множество F(X) всех непустых

подмножеств множества X

{1, 2, 3}

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Пример ч. у. м. с более чем одним элементом минимальным элементом

Пусть X = f1;2;3g. Рассмотрим множество F(X) всех непустых

подмножеств множества X

{1, 2, 3}

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Пример ч. у. м. с более чем одним элементом минимальным элементом

Пусть X = f1;2;3g. Рассмотрим множество F(X) всех непустых

подмножеств множества X

{1, 2, 3}

Минимальными будут элементами f1g, f2g и f3g

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Линейные упорядоченные множества

Определение

÷. ó. ì. (A;4) называется линейно упорядоченным множеством или цепью, если любые два элемента A сравнимы

Бинарные отношения