Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

2) Пусть x 6r y.

о\п Пусть z 2 [x] \[y]. Тогда x r z и y r z. В силу симметричности x r z и z r y.

По транзитивности x r y. Противоречие.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

2) Пусть x 6r y.

о\п Пусть z 2 [x] \[y]. Тогда x r z и y r z. В силу симметричности x r z и z r y.

По транзитивности x r y. Противоречие. Пусть теперь [x] \[y] = 0/.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

2) Пусть x 6r y.

о\п Пусть z 2 [x] \[y]. Тогда x r z и y r z. В силу симметричности x r z и z r y.

По транзитивности x r y. Противоречие.

Пусть теперь [x] \[y] = 0/. Если x r y, то

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

2) Пусть x 6r y.

о\п Пусть z 2 [x] \[y]. Тогда x r z и y r z. В силу симметричности x r z и z r y.

По транзитивности x r y. Противоречие.

Пусть теперь [x] \[y] = 0/. Если x r y, то y 2 [x].

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

2) Пусть x 6r y.

о\п Пусть z 2 [x] \[y]. Тогда x r z и y r z. В силу симметричности x r z и z r y.

По транзитивности x r y. Противоречие.

Пусть теперь [x] \[y] = 0/.

Если x r y, то y 2 [x]. А по предложению 2.1 y 2 [y].

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

2) Пусть x 6r y.

о\п Пусть z 2 [x] \[y]. Тогда x r z и y r z. В силу симметричности x r z и z r y.

По транзитивности x r y. Противоречие.

Пусть теперь [x] \[y] = 0/.

Если x r y, то y 2 [x]. А по предложению 2.1 y 2 [y].

Следовательно

y 2 [x] \[y] 6= 0/

Противоречие.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Теорема 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на множестве A. Семейство всех различных классов эквивалентности является разбиением множества A.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Теорема 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на множестве A. Семейство всех различных классов эквивалентности является разбиением множества A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = fFij i 2 Ig семейство различных классов эквивалентности отношения r.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Теорема 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на множестве A. Семейство всех различных классов эквивалентности является разбиением множества A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = fFij i 2 Ig семейство различных классов эквивалентности отношения r.

Для каждого i 2 I в классе Fi выберем представителя xi 2 Fi.

Бинарные отношения