Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности и разбиение множества

Предложение 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на A. Для любого x 2 A имеет место x 2 [x].

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности и разбиение множества

Предложение 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на A. Для любого x 2 A имеет место x 2 [x].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как r рефлексивно,

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности и разбиение множества

Предложение 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на A. Для любого x 2 A имеет место x 2 [x].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как r рефлексивно, то x r x

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности и разбиение множества

Предложение 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на A. Для любого x 2 A имеет место x 2 [x].

Лемма 2.1 (условие пересечения классов эквивалентности)

Пусть r отношение эквивалентности на множестве X. Для каждой пары элементов x;y 2 X их классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности и разбиение множества

Предложение 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на A. Для любого x 2 A имеет место x 2 [x].

Лемма 2.1 (условие пересечения классов эквивалентности)

Пусть r отношение эквивалентности на множестве X. Для каждой пары элементов x;y 2 X их классы эквивалентности

либо не пересекаются, либо совпадают. Более точно: 1) условие x r y равносильно [x] = [y];

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности и разбиение множества

Предложение 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на A. Для любого x 2 A имеет место x 2 [x].

Лемма 2.1 (условие пересечения классов эквивалентности)

Пусть r отношение эквивалентности на множестве X. Для каждой пары элементов x;y 2 X их классы эквивалентности

либо не пересекаются, либо совпадают. Более точно: 1) условие x r y равносильно [x] = [y];

2) условие x 6r y равносильно [x] \[y] = 0/.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x].

Бинарные отношения